一種非線性系統差的樣條約束EMBET方法

沈鵬飛 崔樂園

摘? 要：在靶場彈道解算和衛星軌道解算中，通過樣條約束的EMBET方法對測元的系統誤差的估計，大大提高了測量系統的解算精度。針對EMBET方法中通常只能估計常數、線性系統差的問題，提出了使用B樣條描述非線性系統差，并可采用Gauss-Newton迭代方法對參數進行求解。經仿真驗證，此方法可以較為準確地估計非線性系統差、線性系統差，適用于系統差函數不易描述的情形。

關鍵詞：EMBET;非線性系統差;樣條約束;B樣條;誤差估計;多徑效應

Abstract：In the trajectory solution and satellite orbit solution，the spline-constrained EMBET method greatly improves the accuracy of the measurement system by estimating the systematic error of the measurement. To solve the problem that the EMBET method can only estimate the constant and the linear systematic error，the B-spline is used to describe the nonlinear systematic err，and the Gauss-Newton iteration method is used to solve the parameters. The simulation shows that this method can accurately estimate the linear and nonlinear systematic err，which is suitable for the situation that the systematic err is not easy to describe.

Keywords：EMBET;nonlinear systematic error;spline-constrained;B-spline，error estimate;multipath effect

0? 引? 言

在靶場彈道解算和衛星軌道解算中，為了達到更高的解算精度，往往采用EMBET方法（Error Model Best Estimate of Trajectory），通過充分利用測元數據的冗余信息，在彈道解算中估計出測元數據的系統誤差，進而獲得精確的目標軌跡。該方法是試驗場外測系統開展經常性精度鑒定工作的一條較為有效和適宜的途徑[1]。一般地，EMBET方法需要達到以下使用條件[2]：

（1）需要有多臺測量設備同時跟蹤測量，使得測量信息有足夠冗余。

（2）需要有較長的觀測弧段。從時間維度增加冗余。

（3）要有較好的觀測幾何，以減小誤差模型系數間的相關性。

（4）測元數據隨機差較小。

（5）具有與實際測量較為符合的、有效的、相對穩定的誤差模型。

（6）使用較好的統計估計方法。

樣條約束的EMBET方法認為目標的飛行軌跡是有規律的，在時序上是相關的，因此可用時間函數精確表示[3]。并且其樣條模型符合彈道的物理規律，將位移、速度、加速度之間的關系通過樣條的二階連續可導函數展現，可以節省大量的待估參數，準確自校準系統誤差，減小測元隨機誤差對彈道解算的影響，從而提高解算精度。

對于系統差中的常值誤差，如多測速系統中設備的相位線性漂移誤差[4]。在多篇文章中有論述和數據實驗，而非線性系統差，常見的為大氣折射修正殘差，其表達式如下[5]：

R關于時間有非線性公式。而對于一般的、沒有已知公式描述的非線性系統差，如設備低仰角時，多徑效應產生的系統誤差，本文提出采用B樣條進行描述，并進行參數估計，從而分離非線性系統差，提高解算精度。測量過程中產生的非線性系統差，無論是設備本身、大氣折射修正殘差、多徑效應等，一般均可認為是連續的隨時間變化的函數。三階B樣條本身可以描述二階連續可導的函數，加上節點的調節，可以完全描述上述誤差。

1? B樣條函數表示方法

B樣條函數由樣條參數和標準B樣條函數構成，標準B樣條函數可以分為等距節點和自由節點兩種。等距節點為自由節點的特殊情況，自由節點B樣條函數的定義如下[6]：

2? 基于樣條約束的非線性系統誤差求解方法

在一般的彈道解算中，如果測量設備僅觀測位置相關量，比如光學測角、單脈沖雷達測角和測距，僅需采用B樣條函數表示位置即可。在高精度彈道解算中，往往有測速測元參與，觀測量與位置、速度均有關，故在解算中既需要用B樣條函數表示位置，也需要表示速度，才能建立觀測方程組。

在式（9）、式（10）中，n1、n2、n3、n是三個分量和測元系統差的內節點個數。式（9）的實際意義是用樣條函數系數 ， ， 來代表時間段[a，b]內一段彈道的位置和速度，式（10）的實際意義是用樣條函數系數? 來代表時間段[a，b]內某測站的系統差。假設在100 s的時間段內，共有2 000個采樣點，逐點表示彈道需要12 000個參數，而用樣條函數（采用1 s的節點距）只需要600個左右的參數就可以足夠精確地表示出來，這一優點在通過測量方程解算彈道時充分體現出來。仿真計算表明，采用樣條函數逼近彈道的精度很高，對于平穩飛行段，位置表示精度達到10-5 m，速度表示精度達到10-4 m/s，它同樣可以精確地表示連續的非線性誤差。

非線性最小二乘問題式（13）不能直接求解[7]，一般采用迭代解法，比如Gauss-Newton算法、Marquardt算法、Hartley算法、Fletcher算法等。本文采用的是Gauss-Newton算法。針對非線性觀測式（12），將其關于彈道位置、速度的初始彈道參數和系統誤差參數進行泰勒展開，轉化成線性方程，迭代求解B樣條系數，再代入式（9）、式（10）獲得B樣條描述的彈道和非線性系統誤差[8]。

3? 實例

3.1? 仿真條件

為了驗證基于B樣條約束的非線性系統誤差的EMBET方法原理的正確性和彈道解算精度，本文采用某理論彈道的40 s自由段，采用在彈道兩側布站幾何較好的8個測速站，測站測元為距離和變化率，采用理論彈道計算理論測元值，加入隨機誤差和以下兩種系統誤差分別進行仿真。

（1）測元隨機差為0.03 m/s，在測站1上加入一個正弦函數系統差se=sin（w（t-t0）），w=1/4。

（2）測元隨機差為0.03 m/s，在測站1上加入線性系統差se=0.1+0.01t。

3.2? 估算結果

采用Gauss-Newton迭代方法解出彈道樣條函數系數及系統誤差樣條函數系數，代入式（9）、式（10）得到彈道參數與系統誤差大小。對于正弦系統差，分別有系統誤差估計結果，如表1所示，同時解算出的彈道誤差如圖1～圖4所示。

從表1可以看出，使用B樣條描述系統差，不僅可以較為精確地估算出非線性系統差，還可以估計線性系統差。從圖1、圖2、圖3、圖4可以看出，在估計出系統差的同時此方法可以解出高精度的彈道。

4? 結? 論

本文實例中給出的是正弦函數系統差，代表的是無法使用有限泰勒展開進行近似的一類系統差。利用B樣條描述系統差，具有可準確描述非線性函數和分段描述的優點，對多徑效應等情形可以有效應用。實例中只對一個測站測元含有系統誤差的情形進行了估計，針對多測元非線性系統誤差情形需要進一步研究。

參考文獻：

[1] 劉利生，楊永亮，曹坤梅，等.基于軌道約束“EMBET”技術的自鑒定方法及應用 [J].飛行器測控學報，2002，21（4）：70-73.

[2] 劉炳申，劉春魁，杜海濤.靶場外測設備精度鑒定 [M].北京：國防工業出版社，2008：345-346.

[3] 朱武宣，高耀文.基于樣條約束“EMBET”的再入軌道測量數據融合方法 [J].飛行器測控學報，2005，24（6）：49-53.

[4] 郭軍海，吳正容，黃學德，等.多測速雷達彈道測量體制研究 [J].飛行器測控學報，2002，21（3）：5-11.

[5] 黃捷.電波大氣折射誤差修正 [M].北京：國防工業出版社，1999：154-156.

[6] 郭軍海.基于最優節點樣條逼近的觀測數據平滑方法[J].中國空間科學技術，2000，20（3）：43-48.

[7] 王正明.彈道跟蹤數據的校準與評估 [M].長沙：國防科技大學出版社，1999：305-314.

[8] 陳偉玉，陳偉利，葉正茂.樣條約束的EMBET中最優化問題與算法改進 [J].裝備指揮技術學院學報，2002，13（4）：86-89.

作者簡介：沈鵬飛（1989—），男，漢族，河南滑縣人，工程師，碩士，主要研究方向：彈道數據處理、機器學習。