例談在高考數學二輪復習中微專題的設計策略

◇ 廣東 張曉華

高三數學的二輪復習是使知識系統化、條理化的關鍵時期,也是提升學生素質、發展能力的關鍵時期,要提升效率就必須在細節上下功夫,經筆者研究發現微專題是行之有效的方法.微專題是指立足于學情、教情、考情,選擇一些切口小、角度新、針對性強的微型復習專題,也可以是一個相關聯的、可以單獨研究的知識體系,或者某種數學思想方法,力求解決復習課中的真問題、小問題和實問題,可以避免二輪復習中出現“一錯再錯”“一講再講”的低效狀況.

1 微專題設計原則

1)針對性.微專題解決的是學生遇到思維障礙或方法盲點中的共性問題,或是高考試題中所出現的新熱點和難點問題,因此,在專題設計前要有明確的目標意識,以問題解決為導向,問題目標清晰、具體、易于落實,精選典型例題,經過層層鋪墊,逐漸深入,最終達到預期的目標.

2)時效性.在二輪復習中學生會進行大量的訓練和測試,教師要做有心人,根據學生答題效果,及時發現班級共性問題,及時分析、總結,精心設計微專題,及時“介入”,趁熱打鐵,才不會“延誤病情”.如果教師對學生的共性問題反應遲緩,就會錯過及時糾偏的好時機,即使亡羊補牢,效果也會大打折扣.

3)小型性.微專題強調微小,但“小而精”,知微見著.微專題入口小、容量小,以適合一節或兩節課解決的問題為主,例題選擇不求多但求精,常常要對例題適當“瘦身”,只有這樣才能達到高效和實用的效果,一定要注意與二輪大專題復習的區別.

4)可發展性.在滿足了前三點后,微專題的意義基本實現.但在二輪復習階段,小目標解決后的反思和升華顯得尤為重要.從2019年高考試題不難發現,高考不僅要求學生具備基礎知識和解題能力,還應該在思維上有一些創造性和創新性的發展.因此,在例題的設置和順序的編排上,需從單一到綜合,將對比、變式、多解等方法靈活運用,使我們微專題的目標體現更突出、更多維,能啟發學生聯想、提煉與高中數學其他知識的橫向聯系,分析在高中數學思想方法中的位置等,不斷升華.

2 微專題設計方法

1)從學生遇到的難點中設計微專題

解決學生解題中的難點是設計微專題的一個著力點.確定目標后,需要設計微專題的選例,一般采取由易到難的原則.選擇一個相對起點低的例題,讓學生理解相應知識和方法,層層遞進,逐步達到難點解決所需要的高度.

例1在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝4,點P是平面ABCD內一點,且PA＝2,PC＝21,則PB→·＝________.

這是一道筆者用過的月考試題,該題難度系數只有0.2,但學生反映花了很多時間進行求解,部分學生似乎有思路卻又算不出來.很多學生看到矩形馬上建立坐標系用向量坐標化的方法求解,但發現點P坐標無法確定,從而部分學生又用兩點距離公式求P的坐標,部分學生還想到以A和C為圓心建立圓的方程求交點P,還有學生想到用向量間線性關系轉化PB→·,但由于涉及的向量太多而放棄.

該題是以極化恒等式為背景的一道向量綜合題,在高考、數學競賽和模擬考試中常常能看到它的身影,在二輪復習時有必要設計一個微專題進行講解.例如,選3道例題,分別取自于高考試題和模擬試題,從簡單到復雜,從有中點到題中沒有直接給中點,再到形如例1的試題.運用極化恒等式求解,難度逐級抬升,學生能較好地理解這個定理,并能自覺地運用定理,還能總結什么時候用該定理,對向量數量積的求法有了一個更完整的體系,能力得到升華.

例1的選例(1)：(2012年浙江卷)在△ABC中,M是BC的中點,AM＝3,BC＝10,則·的值是________.

例1 的 選 例 ( 2)：(2016 年 江 蘇 卷)如 圖1 ,在△ABC中,D_是BC的中點,E,F是AD_上的兩個三等分點的值是________.

例1的選例(3)：如圖2,正△ABC內接于_半徑為1的圓O,點P是圓O上的一個動點,則PA→·PB→的取值范圍是________.

圖1

圖2

2)從高考創新題型中設計微專題

每年高考的創新題型總能引起熱議,會出現各種新穎的解法和思想背景的分析.根據筆者多年的經驗,創新題型的再次出現是大概率事件.例如,2012年全國卷中出現的“光線反射”問題,緊接著在2013年湖南卷中再次出現,而且都是壓軸題.

例2(2012年全國卷)四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E是AB邊上的一定點,點F是BC邊上一定點運動的點P自點E開始沿著直線往點F運動,每當碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當點P第一次碰到E時,P與正方形的邊碰撞的次數為.

例3(2013年湖南卷)在等腰直角△ABC中,AB＝AC＝4,點P是邊AB上異于A,B的一點,光線從點P出發,經BC,CA發射后又回到點P(如圖3).若光線QR經過△ABC的重心,則AP為( ).

圖3

3)從學生易錯點中設計微專題

二輪復習時在概念理解、定理運用、方法步驟、隱含信息等方面都可以發現學生的易錯點.例如,在復習概率時學生在一些概念的認識上仍然模糊,學生對于有放回與無放回、有序與無序等概率的計算模棱兩可,錯誤率高,因此需針對該問題仔細設計選例,突出具體概念上細微的差別,引導學生再次理解概念的本質和區別,啟發學生抓關鍵字眼進行分析.

例4從一批有10 個合格品與3 個次品的產品中,一個一個地抽取,設各個產品被抽到的可能性相同,若每次取出的產品都不放回該產品中,試求取到合格品為止時所需抽取次數ξ的分布列.

例4的選例(1)：從一批有10 個合格品與3 個次品的產品中,一個一個地抽取,設各個產品被抽到的可能性相同,若每次取出的產品都放回該產品中,試求3 次抽取中,前2 次取到次品,第3 次取到合格品的概率.

例4的選例(2)：從一批有10 個合格品與3 個次品的產品中,一個一個地抽取,設各個產品被抽到的可能性相同,若每次取出的產品都放回該產品中,試求3 次抽取中,有2 次取到次品,1 次取到合格品的概率.

例4的選例(3)：從一批有10 個合格品與3 個次品的產品中,一個一個地抽取,設各個產品被抽到的可能性相同,若每次取出的產品不放回該產品中,試求3 次抽取中,有2 次取到次品,1 次取到合格品的概率.

4)從教材習題中設計微專題

教材的習題是可以不斷挖掘的寶藏.2019年高考全國卷Ⅰ理科的第21 題是概率與數列綜合的壓軸題,知識跨度大,對遞推數列的化歸處理能力要求較高.縱觀教材,發現也有這樣的問題(如例5,它是一個二階線性遞推數列求通項的經典題目,考查整體運算和化歸轉化思想).因此,設計微專題可以通過一題多解的方式學習湊配法、待定系數法、特征根法等.

例5(人教A 版數學《必修5》第二章復習參考題B組第6 題)已知數列 {an}中,a1＝5,a2＝2,an＝2an－1＋3an－2(n≥3),對于這個數列的通項公式作一研究,能否寫出它的通項公式?

例5的選例(1)：(2009年全國卷Ⅱ)設數列{an}的前項和為Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.

(1)設bn＝an＋1－2an,證明 {bn}是等比數列;

(2)求數列 {an}的通項公式.

例5的選例(2)：(2013年安徽卷)設數列{an}滿足a1＝2,a2＋a4＝8,且 對 任 意n∈N*,函數f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx滿足f′()＝0.

(1)求數列 {an}的通項公式;(2)略.

例5的選例(3)：(2019年全國卷Ⅰ 理科第21 題刪減)已 知pi(i＝0,1,…,8),p0＝0,p8＝1.pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2,…,7).

(1)證明：{pi＋1－pi}(i＝1,2,…,7)為等比數列;

(2)求p4.

微專題能較好地契合高考命題“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的四翼要求,能有效解決二輪大專題復習口徑大的問題.教師應做個“有心人”,時刻關注學生、關注高考,處處都有好“切口”,設計好題組,把教學內容微專題化,把微專題講好練透,促進學生的知識體系、能力體系的建構,提升學生的思維能力,提高學生的應用能力.