借圖象之形,明物理之理

◇ 廣東 吳正文

馬克思說：“一種科學(xué)只有成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到了真正完善的地步.”物理學(xué)毫無疑問是數(shù)學(xué)化程度最高的自然科學(xué),對(duì)中學(xué)生的數(shù)理思維能力有著很高的要求.高中物理教學(xué)中,為了降低數(shù)理思維難度,教師廣泛應(yīng)用函數(shù)圖象,使抽象的問題具體化,直觀形象地揭示物理量間復(fù)雜變化的數(shù)量關(guān)系,體現(xiàn)物理情境的動(dòng)態(tài)變化過程,提高課堂教學(xué)效果,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣.

1 借一次函數(shù)圖象學(xué)習(xí)新知識(shí)

高二學(xué)生理解愛因斯坦光電效應(yīng)方程Ek＝hν－W0時(shí),普遍覺得困難.為了突破這一難點(diǎn),教師可以嘗試借用一次函數(shù)圖象,引導(dǎo)學(xué)生逐步作出函數(shù)圖象,然后給出圖1所示的板書.

圖1

圖象囊括了學(xué)生剛接觸到的幾個(gè)全新物理概念,用熟知的數(shù)學(xué)語言截距和斜率來關(guān)聯(lián)晦澀難懂的概念,揭示了它們之間的數(shù)量關(guān)系和一般規(guī)律.這種圖象、數(shù)量關(guān)系、物理意義三者融洽結(jié)合的呈現(xiàn)方式,拉近了學(xué)生與未知現(xiàn)象的距離,深入淺出地開展新知識(shí)的教學(xué),符合認(rèn)知規(guī)律,同時(shí)也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到深?yuàn)W的量子現(xiàn)象居然可以用如此簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式來描述,學(xué)習(xí)興趣倍增.高中物理中一次函數(shù)圖象出現(xiàn)頻率很高,例如胡克定律F-x圖象,勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖象,理想氣體的p-T、v-T圖象等.

2 借二次函數(shù)圖象把握臨界

問題1A、B兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)朝同一方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),B在A前,相距s0＝60m,兩質(zhì)點(diǎn)初速度vA0＝10m·s－1,vB0＝0;加速度aA＝1m·s－2,aB＝2m·s－2.問A能否追上B? 若不能,A、B間最小距離是多少?

分析借助數(shù)學(xué)方法,將物理問題翻譯成數(shù)學(xué)問題.建立一維坐標(biāo),寫出描述兩質(zhì)點(diǎn)位置的方程sA、sB,得出兩質(zhì)點(diǎn)間距離Δs＝sB－sA,若能追上,即兩質(zhì)點(diǎn)處于坐標(biāo)軸上同一位置,則Δs＝0.以A初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn),A的速度方向?yàn)檎较?有sA＝vAt＋vAt＋s0,整理得.

作出t＞0 的二次函數(shù)圖象,分析得到Δs≥10m≠0,故追不上,且t＝10s時(shí),A、B間距離最小,為10m.

在得到最后等式后

高中物理中二次函數(shù)也經(jīng)常出現(xiàn),用來描述勻變速曲線運(yùn)動(dòng)(平拋、類平拋、斜拋、類斜拋)的軌跡,也可以用來繪制勻變速直線運(yùn)動(dòng)的s-t圖象.

圖2

3 借復(fù)雜圖象之“形”明確多過程

高一學(xué)生在學(xué)習(xí)機(jī)車啟動(dòng)問題時(shí),普遍覺得有難度,特別是先以恒定加速度啟動(dòng)的情形.教師可結(jié)合牛頓第二定律和瞬時(shí)功率公式,引導(dǎo)學(xué)生繪制v-t圖象,如圖3所示.借助圖象的形狀變化,明確斜率的變化后,機(jī)車啟動(dòng)的三個(gè)過程清晰連貫起來,即機(jī)車先做勻加速運(yùn)動(dòng),后做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng),最后做勻速運(yùn)動(dòng),其中“功率—速度—牽引力—合外力—加速度”多變量間相互關(guān)聯(lián)制約的關(guān)系也逐漸清晰起來.

圖3

4 借一次函數(shù)簡(jiǎn)化反比例函數(shù)

問題2一只兔子從洞口爬出后沿一直線運(yùn)動(dòng),其速度大小與其離開洞口的距離成反比,當(dāng)其到達(dá)距洞口為d1的A點(diǎn)時(shí)速度為v1,若B點(diǎn)離洞口的距離為d2(d2＞d1),求兔子由A運(yùn)動(dòng)到B所需的時(shí)間.

分析引導(dǎo)學(xué)生做如下思考：兔子運(yùn)動(dòng)的速度v與離洞口距離d成反比,故v2＝v1d1/d2,作出v-d圖象如圖4所示,此運(yùn)動(dòng)是非勻變速直線運(yùn)動(dòng),有關(guān)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式不適用.想到驗(yàn)證牛頓第二定律時(shí)也曾遇到相同情況,即m、a成反比,作出a-1/m圖象,將反比例函數(shù)變成一次函數(shù).

圖4

圖5

設(shè)1/k＝d1v1＝d2v2,k為常量,單位為s·m－2.則有1/v1＝kd1,1/v2＝kd2,作出1/v-d圖象,為一次函數(shù),k為斜率,如圖5所示.

結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度圖象和極限思想,圖線、d1、d2以及橫軸所夾梯形(如圖5中陰影)面積的單位是的單位,即秒,此陰影面積的物理意義是兔子從d1運(yùn)動(dòng)到d2所用時(shí)間.

學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí),面對(duì)這道看似用已學(xué)知識(shí)無法計(jì)算的問題,需要攻克兩道難關(guān),一要想到繪制1/v-d圖象,化曲為直;二要在變速問題中理解速度、時(shí)間、位移三者間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上理解梯形面積的物理意義.借助一次函數(shù)之“形”巧妙地規(guī)避復(fù)雜計(jì)算,將不可算變?yōu)榭梢运?創(chuàng)造性地解決問題.

一次函數(shù)簡(jiǎn)單易算,用以簡(jiǎn)化反比例函數(shù),更多地出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中,比如探究質(zhì)量與加速度關(guān)系實(shí)驗(yàn),找尋理想氣體的壓強(qiáng)、體積的關(guān)系實(shí)驗(yàn)等.

綜上,函數(shù)圖象反映兩變量相互影響的趨勢(shì);斜率的變化反映一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化是否均勻;交點(diǎn)、拐點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)物理情境中的特殊情況.在教學(xué)中教師應(yīng)注意將“圖象形狀—數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)—物理情境或過程—物理原理”四者融合在一起,引導(dǎo)學(xué)生多角度學(xué)習(xí)物理知識(shí).