考慮重力的帶電微粒在磁場中的運動

◇ 廣東 李 晨

不計重力的帶電粒子垂直射入勻強磁場,粒子將在入射平面內做勻速圓周運動,這是高中物理電磁學部分的典型問題,但一個重力不能忽略的帶電微粒在磁場中將做怎樣的運動呢?

1 帶電微粒以水平方向的初速度射入一個豎直方向的勻強磁場

帶電微粒在豎直方向的運動與磁場平行,不受磁場的影響.于是,在洛倫茲力和重力的共同作用下,微粒實際的運動為水平方向的勻速圓周運動和豎直方向的自由落體運動的疊加,其軌跡應是處在某個圓柱體側面上的一條等直徑、變螺距的螺旋線,如圖1-甲所示.由于豎直方向的運動特點,如果將圓柱體的側面展開,運動軌跡應能拼接成一條完整的拋物線,如圖1-乙所示.

圖1

2 勻強磁場方向水平,帶電微粒沿垂直于磁場的方向水平入射

例如,一個質量為m、重力不能忽略且帶電荷量為＋q的帶電微粒,以水平初速度v0向左射入垂直紙面向里的勻強磁場中.為了看清其運動軌跡,不妨設帶電微粒具有一對等大且反向的分運動速度,在圖2中用v和v′表示.由于它們是同時存在,因而不會對微粒的實際運動有任何影響.假如則與向右的速度v′對應的洛倫茲力Fv′＝qv′B＝mg,且方向向上,可將重力抵消.微粒由于具有向左的初速度v＋v0,而受到的洛倫茲力為Fv＋v0＝q(v＋v0)B.于是可把微粒運動看成下列兩個分運動的合成：1)水平向右的勻速直線運動,速度為v0),周期的逆時針方向的勻速圓周運動.所以微粒的合運動仍是在同一豎直面內的周期性曲線運動.但其軌跡曲線不再封閉,而是一條向右伸展的螺旋形曲線,如圖3-甲所示.

其實在這種情況下,不論初速度v0方向如何,帶電微粒的運動軌跡都是一類名叫“旋輪線”的數學曲線.它們和一個正在水平地面上勻速滾動的車輪邊緣上的某些點相對地面的運動軌跡相似.例如,圖3-乙所示的等幅旋輪線(擺線)是帶電微粒在v0＝0時的運動軌跡,它和車輪的邊緣某點的運動軌跡相似.而圖3-丙所示的短幅旋輪線是帶電微粒初速度v0向右(且)時的運動軌跡,它和車輪輪轂上某點的運動軌跡相似.

圖3

3 磁場方向水平,帶電微粒以水平初速度平行磁場入射

如圖4所示,三維坐標系的z軸負方向表示勻強磁場B的方向,帶正電的微粒從y軸上的P點沿z軸負方向以速度v0入射.因為初速度v0沿B方向,故微粒在此方向上的運動不受磁場影響.由于垂直于B方向無初速度,微粒應和圖3-乙中描述的運動相似,故此時微粒的運動可看成三個分運動的疊加：1)在xOy平面內做半徑周期的逆時針勻速圓周運動;2)沿x軸正方向以速度做勻速直線運動;3)沿z軸負方向以速度v0做勻速直線運動.微粒的運動軌跡是一條比較復雜的三維曲線,但不難發現其在xOy平面的投影就是圖3-乙所示的曲線.

綜上所述,筆者討論了考慮重力的帶電微粒在勻強磁場中運動的三類不同情況.結果說明,即使微粒不再做勻速圓周運動,我們仍可以利用運動的疊加原理去定量計算其在某時刻的速度或位置情況,甚至還可將其推廣到質點在任意其他恒力(如電場力)與洛倫茲力共同作用下的運動學問題的計算.

圖4