分離常數法解決高考導數恒成立問題

◇ 福建 韓 旭

導數大題通常是高考數學試卷中的壓軸題.《普通高中數學課程標準(2017 年版)》指出導數思想豐富、內涵深刻、應用廣泛,對學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象和數學運算等核心素養進行了有效考查.總結歷年各省市的數學高考題中的導數大題,發現第一問多考查求函數解析式、求函數的切線方程、判斷函數單調性、求函數的極值最值等;第二問多考查高階導數的相關知識、洛必達法則下的導數問題、恒成立問題、根的分布情況、不等式的證明等.

筆者在分析高考題后發現導數中的恒成立問題在所有題型中出現的頻率最高,并且該問題常出現在導數大題的第二問中,是拉開學生分數的關鍵.因此分析和總結恒成立問題的題型和解答方法是十分必要的,本文主要對導數中的恒成立問題展開分析.

1 什么是導數中的恒成立問題

1)題中有明顯詞語

如“恒成立”“恒有”“總有”“都有”“對任意……有……”“存在……有……”等.

2)和定義域有關的說法

3)和最值有關的說法

如f(x)在[α,β]上最大值為2,用恒成立的角度考慮問題可以轉化為f(x)≤2在[α,β]上恒成立.

2 分離常數法解決導數恒成立問題

分離常數法是利用導數求參數范圍的首選方法,所謂分離常數是指想要求哪個參數就把哪個參數看成常數放在不等式的一側,其余量放在不等式的另一側,再構造新函數h(x),結合題意求解.

2.1 直接求得導函數零點

例1設a∈R,f(x)＝ax3－3x2,若g(x)＝f(x)＋f′(x),x∈[0,2],在x＝0處取得最大值,求a的取值范圍.

解析

依題意有g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax3＋(3a－3)x2－6x≤0在x∈[0,2]上恒成立,即

當x＝0時,解得a∈R.當0＜x≤2時,解得a≤,令再求h(x)的最小值即可.

h′(x)＝恒小于0.h(x)在(0,2]上單調遞減,則當x＝2時,h(x)有最小值h(2)＝,故.

2.2 無法求出導函數零點

當無法直接求出h′(x)＝0的根,或不能直接判斷h′(x)的正負,無法得到h(x)增減性(如當h′(x)是由y＝ax,y＝logax,y＝sinax,y＝ax等函數中至少兩類構成時,x的值無法解出)時,我們可以在h(x)的基礎上設新的函數t(x),利用t(x)的最值進行解題(實質是求高階導數).

例2f(x)＝ex－1－x－ax2,當x≥0 時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

解析

依題意有ex－1－x－ax2≥0,即ax2≤exx－1.

當x＝0時,解得a∈R.

當x＞0時再求h(x)的最小值即可.

令t(x)＝xex－2ex＋x＋2,t′(x)＝xex－ex＋1.(發現仍無法求出t′(x)＝0的根,故繼續求導.)

則t′(x)在x＞0上單調遞增,故t′(x)＞t′(0)＝0.因此t(x)在x＞0 上單調遞增,t(x)＞t(0)＝0.所以h′(x)＞0,h(x)在x＞0 上單調遞增,則有h(x)＞h(0).故即.

綜上所述,a≤.

2.3 區間端點值不為0

若在計算中得到t(x)大于某一正數或t(x)小于某一負數,則可用零點定理進行估根.

[零點定理](介值定理推論)函數f(x)在閉區間[a,b]上連續且有f(a)·f(b)＜0,則?ξ∈(a,b),使f(ξ)＝0.

例3成立,求整數k的最大值.

解析

接下來對t(x)＝0估根.因為t(3)＝1－ln3＜0,t(4)＝2－ln4＞0,則存在ξ∈(3,4),使得

分析其單調性,如表1.

表1

所以k＜ξ.又因為3＜ξ＜4且k∈Z,則kmax＝3.