處理歸納推理問題的幾個基本原則

◇ 江蘇 姜亞琴

歸納推理是由某一事物的局部特征探究其整體規律的一種思維方式,是由特殊到一般的推理方法.通過歸納提出問題,進而對問題進行分析、求解.在數學中很多重要公式、性質、定理的發現都是通過歸納推理得出的.高考或模擬考試中的歸納推理問題,是考查考生分析問題、解決問題能力以及創新思維的有效載體.本文提出求解歸納推理問題的幾個基本原則,供同學們參考.

1 要明確歸納對象的存在條件

例1設數列{an}的通項公式為an＝3n(n∈N*).數列{bm}定義如下：對任意m∈N*,bm是數列{an}中不大于32m的項的個數,則b3＝________;數列{bm}的前m項和Sm＝________.

解析

當m＝1時,32m＝9,由3n≤9,得n≤3,所以b1＝3;當m＝2 時,32m＝34,由3n≤34,得n≤33,所以b2＝33;當m＝3時,32m＝36,由3n≤36,得n≤35,所以b3＝35;

……

依此類推,可得bm＝32m－1,所以數列{bm}是以3為首項,32為公比的等比數列,故

點評

本題歸納的對象存在于新定義的數列中,通過準確理解新定義的概念,探究新定義數列的形式,歸納前幾項的規律,明確了新數列的本質,從而使問題順利獲解.

2 要準確應用歸納問題的背景

例2給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色,當n≤4時,在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相連的著色方案如圖1所示,由此推斷,當n＝6時,黑色正方形互不相連的著色方案共有________種,至少有兩個黑色正方形相連的著色方案共有_________種(結果用數值表示).

解析

由已知條件,可得當n＝1 時,有2 種著色方案;

圖1

當n＝2時,有3種著色方案;

當n＝3時,有2＋3＝5種著色方案;

當n＝4時,有3＋5＝8種著色方案;

當n＝5時,有5＋8＝13種著色方案;

當n＝6時,有8＋13＝21種著色方案.

因為當n＝6時,每個小正方形有2種著色方案,故共有26＝64種著色方案,黑色正方形互不相連的著色方案有21種,故根據補集法,可得至少有兩個黑色正方形相連的著色方案為64－21＝43種.

點評

本題歸納對象的背景源于“斐波那契數列”,即滿足F1＝F2＝1,Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＝3,4,5,…)的數列{Fn}.本題可設符合題目條件的著色的方案種數為an.

當n≥3時,有兩種情況：

1)第1個正方形著白色,則后面的n－1個正方形的著色方案數是an－1;

2)第1個正方形著黑色,則第2 個正方形著白色,后面的n－2個正方形的著色方案數是an－2,所以a1＝2,a2＝3,an＝an－1＋an－2(n＝3,4,5,…),進而得數列{an}的各項依次是2,3,5,8,13,21,….所以n＝6時,共有21種著色方案.

3 要敏銳識別歸納對象隱藏的關系

例3按圖2的規律擺放的圖形中,“圓點”的個數分別為1,3,6,10,… 將其記為數列{an},在數列{an}中能被5整除的數按從小到大的順利構成一個新的數列{bn},則

(1)b2020是{an}中的第________項;

(2)b2k－1＝________(用k表示).

圖2

解析

通過歸納上述規律猜想

所以b2020＝b2×1010＝a5×1010＝a5050,即b2020是數列{an}中的第5050項.

點評

本題求解中先歸納各圖形中“圓點”個數,猜想數列{an}的通項公式,再列舉歸納bn與an的關系,從而將隱含的規律一一挖掘出來.

4 要對歸納結論對錯進行判斷

例4已知數列{an}(an＞0)的前n項和為Sn,且?n∈N*,有恒成立.

(1)求a1,a2;

(2)猜想{an}的通項公式,并證明.

解析

(1)當n＝1時因為an＞0,所以a1＝1.

當n＝2 時,即a1＋a2＝將a1＝1代入得a2＝2.

(2)當n＝3時,a3＝3,故可猜an＝n.

則

同理

因為a2－a1＝1,即n≥1時均有an＋1－an＝1,故{an}是以1 為首項,1 為公差的等差數列.所以an＝n.

點評

歸納猜想得出的結論正確與否需要進行證明,數學歸納法是一種重要的證明方法.需要注意的是有時歸納推理得出的結論不一定正確,但我們可以通過對不正確的結論進行調整,以期得出更合理的猜想.