一道等比數列求和題的變式探究

◇ 江蘇 劉 琳

近些年的高考數學試題中,經常會出現一些由課本例題、習題等變式拓展出來的問題,這類問題大都是按照一定的數學規則和要求,結合相關知識加以變式、創新拓展.數列知識由于其特殊性,經常是數學拓展的一大熱點.

題目(北師大版《必修5》第31頁習題1-3B 組第3題)一個等比數列前n項的和為48,前2n項的和為60,則前3n項的和為( ).

A.83 B.108 C.75 D.63

解法1(性質法)由等比數列前n項和公式的性質知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數列,即48,60－48,S3n－60成等比數列,所以122＝48(S3n－60),解得S3n＝63,故選D.

點評

利用等比數列的前n項和的性質求解更簡捷,易錯之處在于誤把Sn,S2n,S3n當成等比數列求解.

解法2(特殊值法)令n＝1,由已知條件有a1＝48,S2＝a1＋a2＝60,解得a2＝12,那么則S3＝a1＋a2＋a3＝63,故選D.

點評

特殊值法非常巧妙地從特殊值n＝1 入手,把一般性的問題轉化為等比數列的前三項的關系來處理,計算量小,方法簡單.

解法3(公式法)根據題目條件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,則有

點評

利用等比數列的前n項和公式,通過列方程組求解,再利用參數之間的整體關系來處理與求解.運算量較大,過程較繁雜.

解法4(比值法)根據題目條件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,則有

點評

將等比數列求和公式的比值性質加以轉化,結合整體思維,解答更加方便快捷.

變式1已知各項均為正數的等比數列的前5項之和為3,前15項之和為39,則該數列的前10項之和為_______.

解析

由等比數列前n項和公式的性質可知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數列,即3,S10－3,39－S10成等比數列,所以(S10－3)2＝3(39－S10),解得S10＝12或S10＝－9,由于該等比數列的各項均為正數,故S10＝12.

點評

變式1與課本習題相似,把數列前n項和具體化,學生更容易接受,通過轉化對應和項的角度來處理,達到變式與應用的目的.

變式2各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn,若Sn＝2,S3n＝14,則S4n為________.

解析

由等比數列前n項公式的性質知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數列,即2,S2n－2,14－S2n成等比數列,所以(S2n－2)2＝2(14－S2n),解得S2n＝6或S2n＝－4,由于該等比數列的各項均為正數,故S2n＝6,又由于S2n－Sn,S3n－S2n,S4n－S3n為等比數列,即4,8,S4n－14 成等比數列,所以82＝4(S4n－14),解得S4n＝30.

點評

變式2從更高層次深入,通過前n項和式的關系及對應的和項的角度使問題獲解.

在數學問題得以破解后,我們可以進一步對一些典型的習題進行一些探究,從各個不同的知識、方法、能力等層面進行深入的思考,采用不同的破解方法加以分析與處理.從而幫助我們更深入地理解、掌握和研究相應的數學問題,熟練掌握數學知識與數學方法,拓寬數學基礎知識,切實提高數學能力,舉一反三,融會貫通.