極坐標系中的三種“點”問題

◇ 山東 張世強

在極坐標系中,我們經常會遇到點與點的三種特殊的位置關系,即同一個點、共線的點、共圓的點這三種“點”的問題.由于極坐標與平面直角坐標之間的差別,在解決這三種“點”的極坐標問題時,經常會由于平面直角坐標知識的負遷移而導致錯誤,在解答此類問題時一定要加以重視.

1 同一個點

在極坐標系中,一個點的極坐標可以有多種表達形式,即極坐標系中的點與它的極坐標不是一一對應的.

例1“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析

由ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2可得兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)是重合的;而若兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合,可得當ρ1＝ρ2 時,θ1＝2kπ＋θ2(k∈Z);當ρ1＝－ρ2時,θ1＝(2k＋1)π＋θ2(k∈Z);所以“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的充分不必要條件,故選擇A.

點評

在解決同一個點的問題時,一定要注意點的極坐標是不唯一的.

2 共線的點

在極坐標系中,要研究點共線的點問題時,往往可以把點的極坐標轉化為平面直角坐標,再結合平面直角坐標中的相關知識來處理問題.

例2在極坐標系中,已知三點試判斷A,B,C三點是否在同一條直線上.

解析

方法1由的直角坐標分別為那么所以kAB＝kAC,因此A,B,C三點在同一條直線上.

方法2由于那么

點評

解答此類問題,常用的方法是將極坐標問題轉化為平面直角坐標問題,再利用平面直角坐標的相關知識加以求解.

3 共圓的點

在極坐標系中,要判斷點是否在相應的圓上,一般把圓的方程與點的坐標都轉化為平面直角坐標方程中對應的坐標,再利用相關的知識加以判斷.

例3圓M的極坐標方程為判斷點是否在M上.

解析

點評

本題可直接根據相應的極坐標方程確定相應的圓心與半徑,再巧妙轉化為相應的平面直角坐標方程,從而實現順利求解.