合情推理思想視域下的概率論教學研究

李榮玲

（滇西科技師范學院數理學院 云南·臨滄 677099）

0 引言

“概率論”是研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象的統計規律的一門數學課程，它通過認識、描述、分析各種隨機現象及對事件發生可能性的刻畫，幫助人們做出合理的推斷和預測，再通過檢驗、修改和完善所作的猜想，推廣到更一般結論。學好概率論，對于提升大學生數學素養，提升發現問題、分析問題、解決問題能力具有重要而深遠的意義。然而，筆者在概率論教學實踐中發現，常規的教學方式存在概念繁多易混淆，定理抽象不易懂，公式交叉不易記等諸多不足，導致學生提不出問題、也分析不了問題，更解決不了問題。凡此種種，對于我們培養“高素質研究型創新人才”極為不利。基于此，不斷改進概率論課程的教學方式，全面提升大學生數學素養，提升數學思維能力，進而提高“概率論”教學質量成為亟待解決的現實課題。

1 合情推理思想一般概述

合情推理一詞來源于美籍匈牙利數學教育家George Polya所著的《數學與猜想》，George Polya指出“數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想發現的。只要數學的學習過程反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置”。[1]目前關于合情推理的界定有多種，但在學界被廣泛認同的有兩種，一種是狹義的合情推理；另一種是更廣泛的合情推理。[2]合情推理用于探索思路，發現結論，學生利用合情推理發現問題和提出問題，是創新的基礎。因此，合情推理思想是人們在原有的認知結構基礎上，在一系列非智力因素的作用下，通過觀察、試驗、聯想、猜測、直覺、歸納和類比等，開啟非完全演繹的思維大門，順利地借助舊知識、舊經驗做出關于客體的合乎情理的推斷和猜測的數學觀念及思維形式。合情推理思想是數學發現的一種重要思想，是數學的基本思維方式之一，有時又稱為似真推理思想。

2 合情推理思想視域下的概率論教學策略

數學每一個領域的學習都需要猜想，“概率論”由于其獨特學科特點，教學過程需要合情推理方法，如果大學生學習其他數學學科提升的演繹推理能力可以影響學生的運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力和嚴謹的治學態度，通過概率論課程學習提升的合情推理意識可以影響學生的創新思維能力、創造想象能力、創新實踐能力、求異精神和冒險精神。[3]下面結合筆者多年的教學經驗，談談合情推理思想視域下的概率論教學幾點策略。

2.1 運用合情推理思想內化概率論基礎知識

概率論知識結構是由局部到整體，由簡單到復雜，環環相扣，層層遞進的。學生只有完善的基礎知識做鋪墊，才能為后續的學習做好準備。沒有計數相關工具，研究第一章隨機事件及其概率不現實，而第一章研究的是隨機試驗的局部，第二章研究的是隨機試驗的整體，沒有對隨機試驗的局部的研究不可能走到第二章，沒有一維隨機變量及其分布，接受多維隨機變量及其分布就是天方夜譚。學習時如果不重視知識形成的原始思維過程，就無法形成穩定的數學認知結構。因此，教師在教學過程中要充分利用合情推理思想引導學生提出問題，內化概率論基礎知識。例如在概率的公理化定義的學習中引入了公理后，教師如果能趁熱打鐵，接著引導學生提出猜想：最大事件的概率對應概率最大值1，最小事件的概率值是否對應概率最小值0呢？回答是肯定的，這就是概率的性質1：不可能事件的概率為零，即。證明（構造思想）

2.2 利用類比推理強化對概率論概念、定理、公式本質屬性的認知

類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一個屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。[4]世界上的事物沒有兩樣完全相同，也沒有兩樣完全不同。桑代克說過“共同要素是產生類比的客觀因素”。概念、定理、公式是概率論知識體系的基礎，是概率論基礎知識的核心，是合情推理能力的根基之一，在概率論概念教學中，如果一個新概念和大學生原有的認知結構中的舊概念有某種關聯，教師可以運用類比的思維方法將概念橫向聯系、縱向拓展、小題大做讓學生充分感受合情推理；在概率論定理和公式教學中，教師不宜直接給出定理或公式的現成內容，而是應盡量啟發大學生，讓他們通過觀察、類比、分析等步驟，探索規律，建立猜想，發現命題或公式。例如，隨機事件的獨立性是這樣界定的：對任意的兩個事件，若）成立，則稱事件是相互獨立的，簡稱與獨立。即相互獨立。

2.3 合理利用歸納完善概率論知識結構

歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理，它的思維過程是從特殊到一般。[5]在概率論學習過程中，很多學生覺得概念繁多易混淆，定理抽象不易懂，公式交叉不易記，合理利用歸納推理，考查某研究對象的局部，推斷和預測出一般結論，可以讓學生更好地理解與認同概率論知識，不斷完善概率論知識結構。

再如，若把棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理的條件隨機變量序列，…同服從兩點分布去掉，提出猜想：設隨機變量序列，…相互獨立同分布，若就是列維—林德伯格中心極限定理。再把列維—林德伯格中心極限定理中隨機變量序列，…同分布去掉，建立猜想，預測出一般結論，這就是李雅普諾夫中心極限定理。通過這些知識學習，學生經歷觀察、猜想、推理、歸納，分析等思維過程，提升大學生合情推理能力的同時，不斷完善學生概率論知識結構。

3 結語

充分利用合情推理思想開展概率論課程教學時，可使學生更加系統把握課程基礎知識，更加準確深入理解知識“哪里來”“怎么辦”“為什么”“是什么會引起什么”以及“不是什么會是什么”等問題，進一步推動學生合情推理能力的發展。應該指出，充分利用合情推理思想開展概率論課程教學，除了面向全體學生，還要注意因材施教，使每一個學生都能體會到概率論課程的基礎性和合情推理對于專業發展的重要性，從而使提升合情推理能力成為學生的自覺需求。全面提高“概率論”教學質量的同時，整體提升大學生數學思維能力。