基于共軛積的復多項式矩陣實表示

王會珍 趙娟萍 周 喜

（鄭州職業技術學院，河南 鄭州450100）

1 概述

多項式矩陣方程在控制領域中有著十分重要的地位。雙邊多項式矩陣方程AX+YB=C 在解決多輸出監控和追蹤問題時意義重大，另外，控制系統中的最優控制問題也和該多項式矩陣方程的解密切相關。多項式矩陣方程XF-AX=C 在分析控制系統的穩定性方面有著重要的作用，當F=AH（矩陣A 的共軛轉置矩陣）時，該多項式矩陣方程就變成了眾所周知的Lyapunov 矩陣方程。由于多項式矩陣方程在控制系統中的重要地位，那么多項式矩陣方程的求解問題就顯得越發重要。文獻[4]利用兩個矩陣的合相似性研究了矩陣方程AX-XB=C 解的存在性。文獻[5]研究了齊次Yakubovich 方程X-AXF=BY 的解。文獻[6]通過一個對稱的算子矩陣、一個可控性矩陣和一個可觀性矩陣構造了矩陣方程XF-AX=C 的解。文獻[1]中利用共軛積給出了一些多項式矩陣方程的完全解。

另外，在對一些復雜的多項式矩陣方程求解的過程中，有時會遇到復數的情況，眾所周知，復數的計算過程要比實數復雜的多，那么為了簡化復多項式矩陣的運算，其中的一種方式就是將復域的運算映射到實數域。文獻[3]構造了四元素矩陣的實表示矩陣，并用這種實表示矩陣給出了四元素矩陣方程的完全解。

本文將共軛積與實表示兩種思想相結合，提出了基于共軛積的復多項式矩陣實表示，文中的第二部分提出了實表示的定義并得出了實表示和共軛積之間的關系，左實表示的定義以及左共軛積和左實表示之間的關系在本文的第三部分給出詳細介紹，第四部分研究了實表示和左實表示之間的關聯，并用兩種實表示作為工具給出了兩種共軛積之間的關系，第五部分對本文進行總結。

2 基于共軛積的復多項式矩陣實表示

共軛積的定義以及相關性質和結論是研究基于共軛積的多項式矩陣實表示的重要前提，關于共軛積的相關定義和結論在文獻[1]中有詳細說明，在此不做介紹。本部分主要基于共軛積給出了多項式矩陣實表示的定義，并研究了共軛積和實表示之間的關聯，給出了多項式矩陣實表示的一個簡單性質。

依據上述定義，接下來給出基于共軛積的多項式矩陣實表示的一個重要性質。該結論對利用實表示研究共軛積起著十分重要的作用。

此結論的證明過程可以根據定義1 直接得出，過程比較簡單，在此不做詳細介紹。

3 基于左共軛積的復多項式矩陣實表示

左共軛積的定義以及相關性質和結論是研究左共軛積框架下多項式矩陣實表示的重要前提，關于左共軛積的相關定義和結論請參考文獻[2]，在此不作介紹。共軛積和左共軛積的最大區別是兩者所選取的共軛的位置不一樣，這兩種共軛積之間互相獨立也有一定聯系。

本部分主要是將共軛積框架下的多項式矩陣實表示運用到左共軛積，給出了左共軛積和左實表示之間的關系，并給出多項式矩陣左實表示的一個簡單性質。

該結論的證明過程與定理1 的證明類似，在此不再做詳細介紹。

4 實表示和左實表示之間的關系

由于共軛積和左共軛積的最大區別是所選取的共軛的位置和元素不一樣，這兩種共軛積之間互相獨立也有一定的聯系。本部分將用左實表示與實表示作為工具給出基于兩種共軛積的復多項式矩陣的重要結論。

5 結論

多項式矩陣方程在控制領域中有著十分重要的地位，控制系統中的許多問題都可通過求解多項式矩陣方程來解決。共軛積的提出為求解多項式矩陣方程提供了新的方向，但是共軛積最大的缺點就是不符合交換律，在深入研究共軛積的性質和應用時就很受限制。本文提出了基于共軛積的多項式矩陣實表示，并將這種實表示推廣到左共軛積框架下，給出了基于左共軛積的多項式矩陣實表示的定義，并研究了兩種實表示之間的代數關系，得出了定理1 和定理2，這兩個定理的提出很大程度上簡化了共軛積框架下多項式矩陣的運算。由于控制系統的能觀性和能控性也與多項式矩陣密切相關，接下來以實表示作為工具研究基于共軛積的多項式矩陣行列式和秩的概念將會有更大的意義。