二維衰減湍流的速度加速度結(jié)構(gòu)函數(shù)1)

周澤友

(清華大學(xué)能源與動(dòng)力工程系燃燒能源中心，北京 100084)

引言

在人們生活的三維世界中，從咖啡的溶解到威力巨大的臺(tái)風(fēng)，湍流現(xiàn)象是隨處可見的.而在一些自然界與工程應(yīng)用的三維流動(dòng)中，由于邊界尺寸限制或者外力的作用，其中一個(gè)維度上的運(yùn)動(dòng)被抑制，流動(dòng)呈現(xiàn)出近似二維流動(dòng)的特征.例如大氣與海洋中的大尺度流動(dòng)——由于地球半徑約為6400 km,而大氣層和海洋的厚度僅為10 km 左右,因此臺(tái)風(fēng)等的大尺度運(yùn)動(dòng)往往可以被看作二維流動(dòng).無論是三維湍流還是二維湍流，湍流場(chǎng)都是一個(gè)耗散系統(tǒng).流場(chǎng)中的湍動(dòng)能u2/2 會(huì)不斷被耗散，并需要不斷的能量補(bǔ)充來維持穩(wěn)定的流場(chǎng).在局部均勻湍流場(chǎng)中，歐拉場(chǎng)的二階混合速度加速度結(jié)構(gòu)函數(shù)(velocity-acceleration structure function,VASF)，表示兩個(gè)粒子間相對(duì)湍動(dòng)能的變化速率，與尺度間的能量傳遞率相關(guān)[1-4]

其中，δu和δa為兩個(gè)粒子間的相對(duì)速度和相對(duì)加速度，代表系綜平均，下標(biāo)R0表示是對(duì)相對(duì)距離R0在慣性區(qū)的粒子對(duì)進(jìn)行條件統(tǒng)計(jì)；ε 為湍流場(chǎng)的能量傳遞速率，其符號(hào)表示能量傳遞的方向[4].當(dāng)能量從大尺度傳到小尺度，ε >0；當(dāng)能量從小尺度傳到大尺度，ε<0.

在三維湍流中，能量從大尺度向小尺度傳遞形成正向的能量級(jí)串[5]，能量耗散率ε >0,<0，并且兩者之間的常系數(shù)“?2”也在實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證[6].自然地，人們將式(1)推廣到二維湍流的能量慣性區(qū).在二維湍流中，渦量拉伸(vortex stretching)不復(fù)存在，湍動(dòng)能的小尺度黏性耗散幾乎為零，此時(shí)大尺度的摩擦耗散起到主導(dǎo)作用.湍動(dòng)能將從能量注入尺度LF向更大的摩擦耗散尺度Lα傳遞，形成反向的能量級(jí)串[7-9].此時(shí)ε<0，這一點(diǎn)已經(jīng)在能譜[10]，三階結(jié)構(gòu)函數(shù)[11]，尺度間的能量傳遞[12]等方面都得到了證實(shí).但>0 則有待進(jìn)一步的驗(yàn)證.

二維湍流除了能量的反向傳遞，另一個(gè)重要物理過程是擬渦能(enstrophy，又稱為渦量擬能)ω2/2 的正向傳遞，其中ω 為渦量.外力在作用尺度LF以速率β 注入擬渦能，其不斷往小尺度傳遞，最終在黏性作用尺度η 下被黏性耗散掉.當(dāng)初始距離在反向能量級(jí)串區(qū)，式(1)是成立的.當(dāng)初始距離在正向擬渦能級(jí)串區(qū)，擬渦能傳遞率β 起主導(dǎo).量綱分析可得

其中，R0為兩個(gè)粒子的相對(duì)距離，正的β 代表擬渦能從大尺度往小尺度進(jìn)行傳遞，上式左右兩邊存在待定的常系數(shù).式(2)只在均勻流場(chǎng)中成立，但實(shí)際中的許多湍流場(chǎng)是衰減的.也即擬渦能只在初始時(shí)刻或者初始位置上注入，隨后注入源消失.例如海洋上形成的強(qiáng)臺(tái)風(fēng)，在登陸后由于耗散作用其氣旋強(qiáng)度會(huì)逐漸降低.

本文將對(duì)二維湍流的VASF 進(jìn)行研究，并重點(diǎn)考察衰減對(duì)VASF 的影響.在第1 節(jié)推導(dǎo)二維湍流場(chǎng)中正向級(jí)串區(qū)和反向級(jí)串區(qū)的VASF 理論公式，發(fā)現(xiàn)除了式(1)或式(2)代表的能量或擬渦能在尺度間的傳遞項(xiàng)外，還存在衰減帶來的非均勻項(xiàng).兩者一正一負(fù)，呈現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.第2 節(jié)介紹基于皂膜的二維衰減湍流的實(shí)驗(yàn)裝置.為了獲取速度，特別是加速度，以及粒子位置隨時(shí)間的演化信息，本文采用拉格朗日粒子追蹤法對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量.并實(shí)現(xiàn)了在每一步時(shí)間匹配推進(jìn)上，復(fù)雜度從N2到Nlog2N的算法優(yōu)化.第3 節(jié)對(duì)VASF 在正向擬渦能級(jí)串區(qū)的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行討論.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)尺度間擬渦能傳遞項(xiàng)是正的，但非均勻項(xiàng)為負(fù)的，并且占主導(dǎo)作用.因此在二維衰減湍流中VASF 甚至可能會(huì)小于0，其符號(hào)也失去了表征渦量擬能傳遞方向的意義.第4 節(jié)對(duì)與VASF 密切相關(guān)的彌散過程進(jìn)行討論，通過負(fù)的VASF 解釋了彌散過程后期變慢現(xiàn)象.最后一節(jié)對(duì)本文工作進(jìn)行總結(jié).

1 理論

對(duì)于二維流場(chǎng)中的任意時(shí)刻上的任意兩點(diǎn)(x,t)和(x0,t0)，這里以及下文中的上標(biāo)0表示另一個(gè)點(diǎn)的信息.這兩點(diǎn)距離為r=x?x0，中間位置為X=(x+x0)/2.時(shí)間間隔為τ=t?t0，平均時(shí)間為T=(t+t0)/2.兩點(diǎn)的速度為ui(x,t)和，加速度分別為ai(x,t)=和=.那么速度和加速度的混合結(jié)構(gòu)函數(shù)為

其中相對(duì)加速度中的相對(duì)對(duì)流項(xiàng)為

上式中用到了空間坐標(biāo)自變量(x,x0)與(X,r)的相互轉(zhuǎn)化[13]

同理可以得到相對(duì)加速度中的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為

將式(4)和式(6)代入到式(3)，取其縮并，系綜平均得到

其中，U=(u+u0)/2 是流場(chǎng)的平均速度，Dii=和Diik=分別為二階和三階的歐拉速度結(jié)構(gòu)函數(shù).上式的推導(dǎo)是一個(gè)通用的表達(dá)式，并未用到任何假設(shè).VASF 雖然是絕對(duì)坐標(biāo)X和相對(duì)距離r的多元函數(shù)，但是這兩個(gè)自變量之間沒有顯著耦合(即使Dii,Diik是這兩個(gè)自變量的二元函數(shù))，這為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析帶來了極大的便利.可以看到由3 部分組成.第1 項(xiàng)為時(shí)間的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，在穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)中為0.第2 項(xiàng)是非均勻項(xiàng)，在局部均勻流場(chǎng)中結(jié)構(gòu)函數(shù)Dii只是相對(duì)距離r的函數(shù)，對(duì)當(dāng)?shù)亟^對(duì)位置X微分為0.因此在穩(wěn)態(tài)局部均勻流場(chǎng)中，只剩下第3 項(xiàng).同三階速度結(jié)構(gòu)函數(shù)物理含義一樣，該項(xiàng)代表能量或擬渦能在尺度間的傳遞.第3 項(xiàng)在任意流場(chǎng)中是沒有普適表達(dá)式的.為進(jìn)一步對(duì)該項(xiàng)進(jìn)行分析，本文討論該項(xiàng)在不可壓均勻各向同性湍流的條件下的表達(dá)式.參考三維湍流中相關(guān)推導(dǎo)[14-16]，本文得到二維和三維湍流中該項(xiàng)的通用表達(dá)式

其中，d代表維數(shù)，在二維湍流中d=2，在三維湍流中d=3.，下標(biāo)L表示相對(duì)速度在相對(duì)距離徑向方向的投影.進(jìn)一步的，DLLL=為三階徑向速度結(jié)構(gòu)函數(shù)，在能量和擬渦能慣性區(qū)分別為[16-17]

將式(9)代入式(8)，得到VASF 中的能量/擬渦能在尺度間傳遞項(xiàng)的表達(dá)式

式中，ε >0,β >0 代表著能量和擬渦能分別從大尺度傳向小尺度.在三維均勻各向同性湍流中，能量往小尺度傳遞，=?2ε <0.而在二維均勻各向同性湍流中，能量往大尺度傳遞，擬渦能往小尺度傳遞，所以兩個(gè)慣性區(qū)間>0 皆成立[18-19].

本文從相對(duì)速度和相對(duì)加速度的定義出發(fā),重現(xiàn)了在均勻各向同性湍流中式(1)和式(2)的VASF 表達(dá)式，并確定了在擬渦能級(jí)串慣性區(qū)表達(dá)式前的系數(shù)“1/2”.而在一般湍流場(chǎng)中，VASF更普適的表達(dá)式中包含時(shí)間維度(非穩(wěn)態(tài)項(xiàng))，空間維度(非均勻項(xiàng))，尺度維度(尺度間傳遞項(xiàng))三者共同的影響.為比較這三項(xiàng)的相對(duì)大小，本文開展了基于皂膜的二維衰減湍流實(shí)驗(yàn)研究.為此接下來一小節(jié)先對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置及流場(chǎng)測(cè)量方法進(jìn)行介紹.

2 實(shí)驗(yàn)方法和粒子跟蹤技術(shù)

二維湍流的研究，已經(jīng)在理論和數(shù)值計(jì)算上開展了大量的工作[20-21].實(shí)驗(yàn)上，Couder 提出了基于皂膜的實(shí)驗(yàn)裝置[22]，并得到了廣泛應(yīng)用[23-27].在前人工作的基礎(chǔ)上，本文搭建了皂膜流動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái).其詳細(xì)描述可參考之前的報(bào)道[28-29]，本文在此進(jìn)行補(bǔ)充說明.皂膜實(shí)驗(yàn)裝置如圖1(a)所示.含2% Dawn 洗碗液的皂液沿著直徑為6 mm 的狹長(zhǎng)噴嘴流出.在噴嘴出口處，兩根直徑為0.32 mm 的紅色尼龍繩組成了長(zhǎng)X1=106 cm 的逐漸擴(kuò)張平面.皂液在此逐漸展開形成皂膜，并被重力不斷加速.在長(zhǎng)X2=194 cm，寬W=5 cm 的實(shí)驗(yàn)段達(dá)到充分發(fā)展.最后流入下水箱，被蠕動(dòng)泵送入上水箱，形成往復(fù)循環(huán).通過調(diào)整泵的流量，皂膜的平均速度可在1～3 m/s 的范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)干涉條紋和速度剖面測(cè)得皂膜的平均厚度在4～9μm 之間[29]，小于另外兩個(gè)維度四到六個(gè)量級(jí)，因此可以被視為二維湍流.本文的皂膜流量工況為40 ml/min，平均流速為2.7 m/s.

為了形成強(qiáng)湍流場(chǎng)，類似于三維風(fēng)洞中插入平面柵格的方式，本文在皂膜上游處水平插入一排柵格，如圖1(a)中虛線方框中所示.柵格間距M=5 mm，組成柵格的圓棒直徑為1.14 mm.柵格的布置實(shí)物圖如圖1(b)所示，柵格是以一塊鋁板為基底，在表面通過線切割開半圓形槽，放入不銹鋼針作為圓柱小棒制成，并以磁鐵加以固定.圖中兩根豎直的亮線為構(gòu)成皂膜的兩根尼龍繩，皂膜在兩根尼龍繩中間往下流動(dòng).

當(dāng)皂膜流過柵格后，會(huì)形成強(qiáng)烈湍流脈動(dòng).本文在距離柵格為S=(12.5～67.5)M的下游位置對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，如圖1(a)中的綠色區(qū)域.在對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行速度測(cè)量時(shí)，粒子圖像測(cè)速法(particle image velocimetry,PIV)是一個(gè)成熟和普遍使用的方法，該方法可以獲得速度的歐拉場(chǎng).但利用歐拉速度場(chǎng)求取加速度時(shí)，涉及到對(duì)流項(xiàng)的空間求導(dǎo)，要求流場(chǎng)空間分辨率應(yīng)達(dá)到擬渦能耗散尺度的量級(jí).此外湍流中的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)?ui/?t和對(duì)流項(xiàng)uk?ui/?xk兩者十分接近且正負(fù)相反，利用這兩者的和得到的加速度不確定度往往極大[30].為此本文采用拉格朗日粒子追蹤法(lagrangian particle tracking,LPT)對(duì)速度和加速度進(jìn)行測(cè)量[31].首先在皂液中加入直徑1μm 的示蹤粒子，粒子直徑小于皂膜厚度，因此可以忽略對(duì)皂膜的影響.一臺(tái)波長(zhǎng)532 nm，功率為100 W 的脈沖激光器照亮待測(cè)流場(chǎng)區(qū)域中的示蹤粒子.如圖1(a)所示，兩臺(tái)高速相機(jī)沿流向依次排列，在保證分辨率的情況下獲得足夠長(zhǎng)的流場(chǎng)視野.兩臺(tái)相機(jī)的合成分辨率為(2×)2560×472，可以拍得100 mm×12 mm 的狹長(zhǎng)流場(chǎng)區(qū)域.通過移動(dòng)相機(jī)和柵格的相對(duì)位置實(shí)現(xiàn)更長(zhǎng)范圍內(nèi)的測(cè)量.采用同步器將兩臺(tái)相機(jī)和激光器進(jìn)行同步，采樣頻率為5000 Hz.整個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)通過基于Qt環(huán)境下編寫的數(shù)據(jù)采集平臺(tái)進(jìn)行控制，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的自動(dòng)采集、傳輸和存儲(chǔ).

圖1 (a)二維水洞裝置圖，x 方向?yàn)橹亓Ψ较颍瑈 方向?yàn)樗椒较颍瑉 方向?yàn)樵砟ず穸确较?皂膜平面由兩根直徑為0.32 mm 的尼龍繩組成.為了形成湍流場(chǎng)，在皂膜上游水平插入一排柵格.激光器照亮距離柵格為S 的下游綠色區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)的流場(chǎng)軌跡信息被兩臺(tái)高速相機(jī)捕捉.(b)柵格布置的實(shí)物圖.上方水平排列的圓柱小棒為柵格，豎直的亮線為尼龍繩，兩根尼龍繩中間為豎直往下流動(dòng)的皂膜.由于532 nm 激光的散射，整個(gè)流場(chǎng)呈現(xiàn)綠色背景Fig.1 (a)Two-dimensional water tunnel setup, x axis is the gravity direction,y axis is the horizontal direction,z axis is the film thickness direction.The plane of soap film is consisted by two nylon ropes whose diameter are 0.32 mm.To create turbulent flow,we insert a comb in the upstream.The laser illuminates the downstream regions below the comb,whose flow trajectories are recorded by two high speed cameras.(b)The real image of comb equipment.The upper cylinders make up a comb,the vertical bright lines are nylon ropes,and the soap film flows down between the ropes.The whole flow are in green background,owing the scatter from 532 nm laser

在獲得原始的粒子圖像后，首先通過亞像素定位獲得示蹤粒子在像素坐標(biāo)系上的位置.第二步經(jīng)過標(biāo)定還原到真實(shí)的物理空間坐標(biāo)系.對(duì)于單臺(tái)相機(jī)的二維標(biāo)定，一般是假設(shè)皂膜平面和標(biāo)定板平面重合.但在兩臺(tái)相機(jī)的二維標(biāo)定中，可以求得皂膜平面和標(biāo)定板平面的距離并調(diào)節(jié)使之真正重合.接下來一個(gè)重要的步驟是實(shí)現(xiàn)粒子在不同時(shí)刻的匹配，這是LPT算法的核心以及計(jì)算資源消耗最大的一步.每一個(gè)瞬時(shí)場(chǎng)都有數(shù)百個(gè)粒子，從上一個(gè)時(shí)刻到下一個(gè)時(shí)刻需要實(shí)現(xiàn)這上百個(gè)粒子的一一匹配.由于粒子的形態(tài)大小是無法區(qū)分的，因此一般是通過歷史的位置、速度和加速度場(chǎng)信息進(jìn)行匹配[31].假設(shè)每個(gè)時(shí)刻粒子平均個(gè)數(shù)為N.若采用暴力匹配算法，對(duì)t時(shí)刻的Nt個(gè)粒子，需匹配t+1 時(shí)刻的Nt+1個(gè)粒子，每推進(jìn)一個(gè)時(shí)間步的復(fù)雜度為N2.但本文注意到皂膜流場(chǎng)是長(zhǎng)100 mm 的狹長(zhǎng)形區(qū)域.流場(chǎng)的豎向脈動(dòng)速度方差約為0.2 m/s，考慮到大約5 倍脈動(dòng)速度的事件概率很低以致可忽略不計(jì).那么在高達(dá)5000 Hz 的拍攝頻率下，粒子的位置波動(dòng)為0.2×5/5000=0.2 mm.因此本文事先就可以預(yù)估出粒子下一個(gè)時(shí)刻的位置限定在±0.2 mm 范圍內(nèi)，而不必在整個(gè)100 mm 的流場(chǎng)范圍內(nèi)進(jìn)行匹配.

基于上面的分析，本文提出實(shí)現(xiàn)粒子時(shí)間匹配的兩步走快速匹配算法.首先對(duì)每一個(gè)時(shí)刻內(nèi)的流場(chǎng)粒子以x坐標(biāo)為基準(zhǔn)進(jìn)行排序，例如快速排序等，復(fù)雜度為Nlog2N.其次在已經(jīng)排序好的t+1 時(shí)刻流場(chǎng)中，通過二分查找等算法迅速完成±0.2 mm 位置范圍的定位，復(fù)雜度為log2N.對(duì)這±0.2 mm 預(yù)判區(qū)的粒子進(jìn)行一一匹配，一般預(yù)判區(qū)內(nèi)粒子個(gè)數(shù)為O(1).這一個(gè)步驟需要對(duì)t時(shí)刻的每一個(gè)粒子進(jìn)行依次操作.因此每推進(jìn)一個(gè)時(shí)間步的復(fù)雜度為

為此基于對(duì)特定流場(chǎng)的分析實(shí)現(xiàn)了快速的LPT 算法.其實(shí)也可以在亞像素定位步驟中，按照x坐標(biāo)依次遍歷識(shí)別粒子，從而節(jié)省上述算法中的空間排序步驟.此外實(shí)際計(jì)算中，為了保證匹配準(zhǔn)確率，本文會(huì)同時(shí)驗(yàn)證t+1 時(shí)刻和t+2 時(shí)刻的粒子信息.為了表述方便，上文中只闡述根據(jù)t+1 時(shí)刻信息進(jìn)行匹配的算法.但兩種算法都可以通過上面的思路進(jìn)行改善，將推進(jìn)復(fù)雜度從O(N2)降低至O(Nlog2N).匹配問題體現(xiàn)在生產(chǎn)生活中的方方面面，本文提出的O(Nlog2N)匹配算法是基于粒子位置信息的強(qiáng)預(yù)測(cè)性.對(duì)于有著同樣性質(zhì)的問題，可以將本文思路進(jìn)行推廣并應(yīng)用.

在獲得流場(chǎng)軌跡信息后，最后一步是通過位置場(chǎng)進(jìn)行速度和加速度場(chǎng)的計(jì)算.根據(jù)粒子軌跡信息，可以通過對(duì)空間位置的一次時(shí)間微分得到速度.進(jìn)一步地，直接對(duì)空間位置的二次時(shí)間微分得到加速度，而不需要通過速度場(chǎng)再來計(jì)算加速度，從而LPT方法實(shí)現(xiàn)了加速度的準(zhǔn)確測(cè)量.實(shí)際計(jì)算中，由于軌跡信息在時(shí)間上是離散的，一般是通過對(duì)位置信息卷積速度核函數(shù)和加速度核函數(shù)以分別得到速度和加速度[31].

3 VASF實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

通過LPT測(cè)量，本文獲得了皂膜流場(chǎng)中粒子軌跡上的速度和加速度.進(jìn)一步對(duì)軌跡進(jìn)行時(shí)間排序，得到速度和加速度的歐拉場(chǎng).假如本文對(duì)歐拉場(chǎng)中任取兩點(diǎn)來計(jì)算式(7)中的VASF 或者兩階及三階速度結(jié)構(gòu)函數(shù)，那么得到的將是待測(cè)區(qū)域的統(tǒng)計(jì)特性的平均值.但皂膜流場(chǎng)的脈動(dòng)速度在主流x方向是不斷衰減的，β 和ε 都是空間位置x的遞減函數(shù).理想情況下，按照定義式(7)，要想計(jì)算各部分在當(dāng)?shù)匚恢脁的值，需要選取x?r/2 和x+r/2 兩個(gè)點(diǎn)的速度進(jìn)行計(jì)算.但實(shí)際上這樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)極少，難以形成收斂的統(tǒng)計(jì)量.為了獲取收斂的結(jié)構(gòu)函數(shù)，本文采用泰勒凍結(jié)假設(shè).流場(chǎng)的脈動(dòng)速度u雖然在不斷衰減，但平均速度U=2.7 m/s 幾乎保持不變.流場(chǎng)的湍流強(qiáng)度，因此滿足泰勒凍結(jié)假設(shè)[32].泰勒凍結(jié)假設(shè)并非適用于所有的流場(chǎng)，但在三維風(fēng)洞中的運(yùn)用已經(jīng)得到廣泛的認(rèn)可[33].Belmonte 等[34]在二維皂膜流動(dòng)中，也已經(jīng)驗(yàn)證了泰勒凍結(jié)假設(shè)的正確性.該假設(shè)認(rèn)為湍流場(chǎng)的信息被凍結(jié)著以對(duì)流速度進(jìn)行傳遞，那么

因此速度的二階結(jié)構(gòu)函數(shù)為

在風(fēng)洞中使用熱線法測(cè)速時(shí)，也是利用泰勒凍結(jié)假設(shè)獲得在熱線當(dāng)?shù)匚恢锰幍慕Y(jié)構(gòu)函數(shù)[35]，自變量相對(duì)距離只包含時(shí)間距離.相同的，式(13)參與運(yùn)算的是兩個(gè)在當(dāng)?shù)匚恢脁的點(diǎn)的脈動(dòng)速度信息，得到的是當(dāng)?shù)豿的二階結(jié)構(gòu)函數(shù).唯一不同的是，這里自變量相對(duì)距離r?Uτ 既包含兩點(diǎn)之間的空間距離r，也包含時(shí)間距離τ.為了獲得當(dāng)?shù)匚恢脁上的真實(shí)條件統(tǒng)計(jì)，空間波動(dòng)范圍r的選取不宜太大.一般的，本文設(shè)置其最大值為r=0.2 mm，也即計(jì)算在位置x±0.2 mm 處的當(dāng)?shù)亟y(tǒng)計(jì)特性.r的范圍是根據(jù)擬渦能耗散率尺度選定的，其值為0.3～0.5 mm[28]，并隨著往下游的發(fā)展而逐漸增長(zhǎng).

圖2(a)展示的是利用泰勒凍結(jié)假設(shè)計(jì)算得到的，當(dāng)?shù)匚恢脁的二階結(jié)構(gòu)函數(shù)Dii(r;x).如右邊的顏色坐標(biāo)所示，不同的顏色代表不同的當(dāng)?shù)匚恢脁.在距離柵格下游的12.5M一直增長(zhǎng)到67.5M，顏色也從深藍(lán)變?yōu)樯罴t.根據(jù)Kraichnan 的理論[7]，在正向擬渦能級(jí)串區(qū)，結(jié)構(gòu)函數(shù)由β 控制.量綱分析得到Dii～β2/3r2.圖2(a)顯示在r

圖2 (a)運(yùn)用泰勒凍結(jié)假設(shè)，計(jì)算當(dāng)?shù)叵掠挝恢脁±0.2 mm 處的Dii 與尺度r 的關(guān)系.不同的顏色代表對(duì)應(yīng)的距離柵格的距離x/M.兩臺(tái)相機(jī)一次的拍攝視野只有100 mm=20M.為獲得距離柵格更寬范圍的統(tǒng)計(jì)特性，本文通過移動(dòng)?xùn)鸥袷瓜鄼C(jī)距離柵格S/M=12,20,30 和50，分4 次實(shí)驗(yàn)完成.(b)?<δuiδai>與尺度r 的關(guān)系，在正向級(jí)串區(qū)表現(xiàn)出r1.5 的冪次律.圖中的各顏色代表不同的空間位置，同(a)中一致.本圖和上圖的豎直實(shí)線為尺度r=0.35M，其與各種顏色線的交點(diǎn)即為各下游位置在r=0.35M 上的?<δuiδai>和DiiFig.2 (a)Using Taylor frozen flow hypothesis,we calculate the relationship between Dii and r in local downstream location x±0.2 mm.Different colors correspond to different separation below the comb x/M.The capture window of two cameras is 100 mm=20 M in each time.To obtain a wider regions statistics,we set the relative separation between camera and comb as S/M=12,20,30 and 50.(b)The relationship between ?<δuiδai>and r,which shows r1.5 power law in direct enstrophy range.The colors mean different downstream locations which are the same with(a).The vertical solid line lies in r=0.35M，whose cross points with different colorful lines are ?<δuiδai>and Dii in r=0.35M

同計(jì)算式(13)一樣，運(yùn)用泰勒凍結(jié)假設(shè)，本文也計(jì)算了各下游位置的VASF，如圖2(b)所示.在二維均勻各向同性湍流中，式(10)表明無論在正向級(jí)串區(qū)還是反向級(jí)串區(qū)，VASF 的尺度間傳遞項(xiàng)，.但實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示所有下游位置的所有尺度上VASF<0.而皂膜實(shí)驗(yàn)是穩(wěn)態(tài)的，構(gòu)成VASF 的第一項(xiàng)為零.因此這告訴人們構(gòu)成VASF 的第二項(xiàng)，非均勻項(xiàng)不可忽略.并且非均勻項(xiàng)為負(fù)，即使尺度間傳遞項(xiàng)為正，但由于非均勻項(xiàng)絕對(duì)值更大，導(dǎo)致整體的VASF 為負(fù).在正向級(jí)串區(qū)中，非均勻項(xiàng)

其中，DNN=為二階橫向結(jié)構(gòu)函數(shù)，δuN為相對(duì)速度在垂直于相對(duì)距離方向上的橫向分量.由于皂膜平均速度U=2.7 m/s 幾乎保持不變，因此本文將空間變量換為時(shí)間變量x=Ut.在均勻各向同性二維湍流的正向級(jí)串區(qū)，Dii=4DNN/3.上式第二個(gè)關(guān)系是考慮到正向區(qū)的速度場(chǎng)是線性的，將相對(duì)速度進(jìn)行泰勒展開并只保留第一階項(xiàng)，δru～ωr.最后一個(gè)關(guān)系是由于β=?d(ω2/2)/dt.可見非均勻項(xiàng)對(duì)VASF 是負(fù)的貢獻(xiàn)，與預(yù)期一致.此外在均勻各向同性湍流場(chǎng)中，其隨尺度的冪次律為r2.非均勻項(xiàng)與尺度間傳遞項(xiàng)雖然有著相反的符號(hào)，但有著相近的冪次律，也與圖2(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的綜合VASF 的r1.5冪次律十分接近.出現(xiàn)的冪次律偏差可能和Dii一樣，是由于有限慣性區(qū)間等因素導(dǎo)致.

通過上述的分析，本文發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中負(fù)的VASF 很有可能是流場(chǎng)非均勻性導(dǎo)致.接下來，本文對(duì)此進(jìn)行定量的計(jì)算和比較.對(duì)于VASF，實(shí)驗(yàn)中可以直接測(cè)得在不同位置和不同尺度下的值，如圖2(b)所示.選定正向級(jí)串區(qū)的某一個(gè)尺度r=0.35M，圖2(b)中的豎向與各顏色曲線的交點(diǎn)，即為不同位置x處在r=0.35M的值.這些值如圖2(a)中的紅色圓圈所示，其隨著往下游的發(fā)展而逐漸衰減.對(duì)于組成VASF 三部分分量，如式(7)所示.其第一項(xiàng)為0.對(duì)于第二項(xiàng)，在均勻各向同性湍流中，本文可以得到其理論的表達(dá)式(14).而皂膜流場(chǎng)并不滿足均勻各向同性的條件，本文轉(zhuǎn)而采用實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量的方式.同VASF 一樣，圖2(a)中的豎向與各顏色曲線的交點(diǎn)，即為不同位置處Dii(x)=Dii(tU)在r=0.35M的值.對(duì)其進(jìn)行對(duì)空間求導(dǎo)，可獲得非均勻項(xiàng).其值小于0，本文對(duì)其取負(fù)號(hào)，如圖3(a)的綠色方塊.因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)比較離散(分辨率為0.5 mm)，進(jìn)行微分操作后數(shù)據(jù)點(diǎn)有一定的離散.但不難看出，非均勻項(xiàng)的值與VASF的值十分接近，且變化趨勢(shì)高度一致.進(jìn)一步的，將兩者畫成散點(diǎn)圖，如圖3(b)所示，中間的實(shí)線表示兩者完全相等.而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)幾乎落在直線附近，表明兩者幾乎相等，兩者的相關(guān)系數(shù)為0.905，平均值相差6%.在正向級(jí)串慣性區(qū)的其他尺寸，如r=0.15M和r=0.85M也觀察到同樣的現(xiàn)象.

圖3 (a)在尺度r/M=0.35 下，紅色圓圈為VASF，對(duì)其取負(fù)號(hào)使之為正.綠色方塊為構(gòu)成VASF 的第二項(xiàng)，非均勻項(xiàng)，并也對(duì)其取負(fù)號(hào).藍(lán)色星形為構(gòu)成VASF 的第三項(xiàng)，尺度間傳遞項(xiàng)的實(shí)驗(yàn)值.這三者在不同空間位置tU/M 的值.(b)縱坐標(biāo)為?<δuiδai>的對(duì)數(shù)值，橫坐標(biāo)為?<(Un/2)?Dii/?Xn>的對(duì)數(shù)值，數(shù)據(jù)基本都落在圖中等值線附近Fig.3 (a)In scale r/M=0.35,the red circles are VASF which have been multiplied by ?1.Green squares are inhomogeneous term which is the second term of VASF.Blue stars are the scale-to-scale transfer term which is the third term of VASF.We plot their values in different downstream location tU/M.(b)The ordinate is the logarithmic value of?<δuiδai>,the abscissa is the logarithmic value of?<(Un/2)?Dii/?Xn>,most of the data lies around the contour line

現(xiàn)對(duì)構(gòu)成VASF 的第三部分，代表能量和擬渦能傳遞的(1/2)?Diik/?rk進(jìn)行討論.流動(dòng)的衰減主要是在主流x方向，因此本文可以通過對(duì)x方向求導(dǎo)，進(jìn)而獲得非均勻項(xiàng).但能量和擬渦能的傳遞在各個(gè)方向是同量級(jí)的，在均勻各向同性湍流場(chǎng)中是相等的，本文無法選擇球坐標(biāo)系中某一個(gè)方向rk進(jìn)行求Diik的微分.為評(píng)估該式大小，本文采用均勻各向同性湍流場(chǎng)中的結(jié)果.根據(jù)式(10)，在正向級(jí)串區(qū)，(1/2)?Diik/?rk=βr2/2=4DLLL/r.通過泰勒凍結(jié)假設(shè),獲得DLLL(t;r=0.35M).從而得到(1/2)?Diik/?rk在尺度r=0.35M上的值，如圖3(a)中的藍(lán)色星形所示.可以看到代表擬渦能在尺度間傳遞的該項(xiàng)在各空間位置上都為正數(shù).由于數(shù)據(jù)是在長(zhǎng)度為±0.2 mm 的狹窄區(qū)域進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并且三階矩收斂性較二階矩更差，因此數(shù)據(jù)的波動(dòng)比較大.但依然可以看到藍(lán)色數(shù)據(jù)約為紅色和綠色數(shù)據(jù)的1/2～1/4.并且隨著往下游的衰減，相差會(huì)越來越大.可見在衰減的皂膜流場(chǎng)中，是非均勻項(xiàng)對(duì)VASF 占主導(dǎo).

在二維衰減湍流中，尺度間的傳遞項(xiàng)始終為正.說明了即使是在衰減流場(chǎng)中，擬渦能也是往小尺度傳遞.衰減效應(yīng)對(duì)二維湍流擬渦能的傳遞方向不會(huì)造成本質(zhì)的影響.但衰減會(huì)對(duì)VASF 造成顯著的影響.由于非均勻項(xiàng)為負(fù)值，即使尺度間的擬渦能傳遞項(xiàng)為正值，VASF 仍為負(fù)值.在非均勻二維湍流中，本文從理論上發(fā)現(xiàn)不可以忽略非均勻項(xiàng)的效果，進(jìn)一步從實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)該項(xiàng)甚至?xí)鲗?dǎo)VASF.關(guān)于三維湍流中非均勻項(xiàng)對(duì)VASF 的影響還有待進(jìn)一步研究.

4 彌散

VASF除了表征尺度間的能量/擬渦能傳遞，也和湍流場(chǎng)的彌散作用密切相關(guān).彌散過程描述了粒子位置隨時(shí)間的演化.這是人們?nèi)粘Ｉ钪械囊环N常見的物理現(xiàn)象.例如PM 2.5 顆粒在大氣中的運(yùn)動(dòng)，污染物在海洋中的擴(kuò)散，病毒在人群中的傳播.研究彌散過程可以幫助人們理解、預(yù)測(cè)、還原追蹤這些過程.其可通過考察兩點(diǎn)的相對(duì)距離平方隨時(shí)間的演化來進(jìn)行研究，其中x0(t)和x(t)分別為兩個(gè)粒子在時(shí)刻t的空間位置.下標(biāo)R0表示對(duì)初始距離為R(0)=R0且在慣性區(qū)的兩個(gè)粒子做系綜平均.當(dāng)彌散時(shí)間不太長(zhǎng)時(shí)，本文對(duì)R(t)進(jìn)行在t=0 時(shí)刻進(jìn)行泰勒展開[6,37]

其中，δu0和δa0分別為t=0 時(shí)刻的相對(duì)速度和相對(duì)加速度.那么.本文接下來只選取在正向級(jí)串區(qū)的R0粒子對(duì)進(jìn)行討論.主要是考慮到，在皂膜流場(chǎng)中，空氣阻力帶來的能量衰減主要集中在大尺度.此外若初始尺度R0在反向級(jí)串區(qū)，R(t)很快將會(huì)超過流場(chǎng)的相關(guān)尺度.此時(shí)兩個(gè)粒子不再相關(guān)，會(huì)進(jìn)入Taylor 線性彌散區(qū)間，也即.

圖4 (a)在距離柵格20M～40M 范圍內(nèi)，兩個(gè)粒子對(duì)的相對(duì)距離平方<(R(t)?R0)2>隨著時(shí)間的關(guān)系.不同的顏色代表不同的初始距離R0.子圖的黑色直線為(t/τF)2，并不是數(shù)據(jù)擬合曲線.(b)考慮VASF 對(duì)相對(duì)距離的影響后，補(bǔ)償?shù)膹浬㈥P(guān)系Fig.4 (a)In the region which lies in 20M～40M below the comb,the dispersion relationship of two particles <(R(t)?R0)2>with time.Different colors correspond to different initial separations R0.The black line in sub-figure is(t/τF)2,which is not the fitting curve.(b)Considering the effect of VASF,the compensated dispersion relationships

從子圖中可以看到在各個(gè)尺度上，相對(duì)距離平方都呈現(xiàn)出t2的增長(zhǎng)規(guī)律，表明式(15)中的第一階t2項(xiàng)在初始時(shí)刻是明顯的主導(dǎo)作用.當(dāng)用來歸一化縱坐標(biāo)，各個(gè)尺度的數(shù)據(jù)都落在同一條黑色直線(t/τF)2上，進(jìn)一步驗(yàn)證了式(15)，并與Batchelor[39]提出的彌散過程中t2理論一致.但發(fā)展一段時(shí)間之后，例如t>0.8τF，可以看到相對(duì)距離平方的發(fā)展比t2要慢.這種變慢的彌散過程可以從主圖中更明顯地看出來，主圖是用來無量綱化縱坐標(biāo).假如式(15)中只有t2項(xiàng)，那么數(shù)據(jù)應(yīng)該落在值為“1”的水平虛線上.但在t>0.2τF之后，出現(xiàn)了更加緩慢的增長(zhǎng).此時(shí)(R(t)?R0)2=1～2 mm，相對(duì)距離R(t)仍在慣性區(qū)范圍內(nèi)，甚至還是在正向級(jí)串區(qū).兩個(gè)粒子還表現(xiàn)出相關(guān)性，大尺度的影響也應(yīng)該很微弱.說明主要是式(15)中的t3項(xiàng)起到顯著影響.t3項(xiàng)和t2項(xiàng)的相對(duì)關(guān)系為

其中C1=O(1),C2=O(1)分別為VASF 和二階速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的常系數(shù).可見在t=C2τF/C1時(shí)t3項(xiàng)將不可被忽略，這與本文的觀察一致.在二維均勻各向同性湍流場(chǎng)中，>0，從而t3項(xiàng)是正的，會(huì)使得后期的彌散過程比t2更快，與本文的實(shí)驗(yàn)觀察相反.對(duì)于這一矛盾，本文可以通過上一節(jié)關(guān)于VASF 的討論來解釋.在衰減流場(chǎng)中，VASF 是負(fù)的非均勻項(xiàng)和正的尺度間傳遞項(xiàng)相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果.若衰減效應(yīng)足夠強(qiáng)烈，非均勻項(xiàng)足夠大，VASF 是可能小于零.因此本文在彌散過程中看到的負(fù)的VASF 和二維湍流中正的尺度間擬渦能傳遞兩者并不矛盾.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證VASF對(duì)彌散過程的影響，本文繪制補(bǔ)償VASF的粒子相對(duì)距離平方隨時(shí)間的演化，如圖4(b)所示.可以看到各個(gè)尺度都很好的落在理論值“1”附近.出現(xiàn)的些許波動(dòng)可能是由于粒子對(duì)的初始距離選取有一定的容差R0±0.5 mm.在t>0.5tF之后，粒子的相對(duì)距離R(t)≈10 mm，相關(guān)性逐漸減弱，轉(zhuǎn)到泰勒線性擴(kuò)散區(qū)間.由于初始尺度R0越大，越快進(jìn)入該區(qū)間，因此可以看到紅色曲線代表的大初始尺度也越早出現(xiàn)偏離.由此本文定量上解釋了彌散過程在后期變慢是由于負(fù)的VASF 項(xiàng)導(dǎo)致.

5 結(jié)論

一直以來，湍流場(chǎng)中的二階速度加速度結(jié)構(gòu)函數(shù)(VASF)被認(rèn)為與能量或者擬渦能在尺度間的傳遞相關(guān).本文從加速度定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)VASF 除了尺度間傳遞項(xiàng)，還有非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)和非均勻項(xiàng).在穩(wěn)態(tài)的局部均勻各向同性湍流中，只有尺度間傳遞項(xiàng).但實(shí)際湍流流動(dòng)中，很多都是衰減的非均勻湍流.為研究非均勻項(xiàng)對(duì)VASF 的影響，本文搭建了基于皂膜的二維衰減湍流.通過LPT 測(cè)量方法及改進(jìn)的Nlog2N的粒子匹配算法，獲得了速度場(chǎng)和加速度場(chǎng).實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示二維湍流尺度間傳遞項(xiàng)在正向級(jí)串區(qū)的尺度間傳遞項(xiàng)均為正，證實(shí)了擬渦能往小尺度傳遞，說明衰減并不影響其傳遞方向.采用泰勒凍結(jié)假設(shè)，得到當(dāng)?shù)乜臻g位置的非均勻項(xiàng).在衰減湍流中，非均勻項(xiàng)為負(fù)，并且大于正的尺度間傳遞項(xiàng).因此是非均勻項(xiàng)主導(dǎo)二維衰減湍流的VASF，使之為負(fù)數(shù).最后本文對(duì)與VASF 密切相關(guān)的彌散過程進(jìn)行了討論，實(shí)驗(yàn)觀察到兩個(gè)粒子相對(duì)距離平方先以t2冪次律增長(zhǎng)，之后變?yōu)楦徛脑鲩L(zhǎng).這種緩慢增長(zhǎng)可以用負(fù)的VASF 來解釋，也即是由于衰減放緩了彌散過程.總的來說，本文通過理論分析和LPT的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)衰減不改變擬渦能的傳遞方向.但是衰減在VASF 和彌散過程等問題上會(huì)產(chǎn)生顯著的影響，在這些問題的討論上衰減作用將不可忽略.

致謝感謝徐海濤教授對(duì)本工作的指導(dǎo)和建議，感謝清華大學(xué)對(duì)本工作的資助.由衷感謝審稿人給出的寶貴意見使得本文得到進(jìn)一步的改善.