機械臂臂桿剛度主動控制下的末端振動特性研究1)

張玉玲 谷勇霞 趙杰亮 閻紹澤

(清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點實驗室，北京 100084)

(北京工商大學(xué)材料與機械工程學(xué)院，北京 100048)

引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，空間機械臂成為輔助甚至代替人類從事各種太空作業(yè)的重要在軌服務(wù)工具[1].空間機械臂具有質(zhì)量輕、工作半徑大、高負(fù)載能力等特征，在運動過程中會因臂桿柔性引發(fā)結(jié)構(gòu)變形和彈性振動，降低機械臂末端的定位精度和運動穩(wěn)定性，成為機械臂研究中的突出問題[2-3].

早期國內(nèi)外學(xué)者為了解決柔性機械臂的彈性振動問題對機械臂的動力學(xué)建模、控制策略及實驗方面進(jìn)行了大量的研究，理論模型不斷得到完善，控制策略也趨于智能化，極大地提高了機械臂動力學(xué)特性的分析精度.目前主要結(jié)合模態(tài)分析法等離散化方法等[4]和經(jīng)典建模方法建立理論模型，然后采用PD 控制、魯棒控制、奇異攝動等經(jīng)典控制方法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等智能控制方法抑制振動及軌跡跟蹤[5-12].Yang 等[13]結(jié)合假設(shè)模態(tài)法和Lagrange 方程建立了空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并通過復(fù)合滑模控制方法對軌跡進(jìn)行振動抑制.Pisculli 等[14]采用有限元法和Newton-Euler 及Euler-Lagrange 的混合方程相結(jié)合建立了柔性空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并采用反應(yīng)零空間和雅可比矩陣轉(zhuǎn)置控制策略相結(jié)合對機械臂系統(tǒng)進(jìn)行控制.Gao 等[15]利用假設(shè)模態(tài)法建立了兩連桿柔性機械臂的N維離散化模型，并基于全狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制實現(xiàn)了軌跡跟蹤和振動抑制.雖然這些控制算法相對成熟，但其依賴于模型的準(zhǔn)確程度，較為復(fù)雜.由于抗彎剛度、結(jié)構(gòu)阻尼是柔性機械臂的兩個主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，尤其影響彈性振動的響應(yīng)，因此將結(jié)構(gòu)振動控制方法用于機械臂的振動抑制研究具有重要意義.

結(jié)構(gòu)振動控制方法有被動控制、半主動控制和主動控制三種，其中被動控制和主動控制因外部能源問題而應(yīng)用受到限制[16].半主動控制僅需較少的能量來調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼等參數(shù)，通過結(jié)構(gòu)的振動能量產(chǎn)生控制力，其控制效果明顯優(yōu)于被動控制，接近主動控制[17].半主動控制主要包括主動剛度控制和主動阻尼控制，剛度主動控制是結(jié)構(gòu)振動控制方法中半主動振動控制技術(shù)的常用方法[18-20].目前主動剛度控制在航空航天、微電子機械等技術(shù)領(lǐng)域得到一定程度的應(yīng)用，Lew 等[21]針對地震環(huán)境中的結(jié)構(gòu)振動抑制問題，提出了一種結(jié)構(gòu)自適應(yīng)控制方法，并通過仿真驗證了方法的有效性.Li 等[22]提出了一種考慮非線性磁流變阻尼器模型的結(jié)構(gòu)振動半主動控制方法，并采用模糊系統(tǒng)對模型進(jìn)行逼近，通過控制器對抖振現(xiàn)象進(jìn)行了控制.Mevada 等[23]研究了被動剛度阻尼器和半主動剛度阻尼器的扭轉(zhuǎn)耦合建筑的地震響應(yīng)，結(jié)果表明半主動剛度阻尼器減小位移和加速度的效果要明顯優(yōu)于被動剛度阻尼器.部分學(xué)者對建筑結(jié)構(gòu)層間的主動控制力特征進(jìn)行研究，研究表明主動控制力除了阻尼項外，主要體現(xiàn)了負(fù)剛度控制特性，進(jìn)而出現(xiàn)了負(fù)剛度控制方法[24].汪志昊等[25]對結(jié)構(gòu)振動的負(fù)剛度控制進(jìn)行了詳細(xì)的研究，為負(fù)剛度控制在實際工程中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).龔微等[26]基于Benchmark 隔振模型，提出了一種磁流變阻尼器的負(fù)剛度智能隔振控制策略，仿真結(jié)果表明負(fù)剛度控制集合了主動和半主動控制的優(yōu)點，有效降低地震時隔震層的位移.之后，隨著變剛度主動控制算法的不斷優(yōu)化，剛度主動控制得到了廣泛應(yīng)用，耿士能等[27]為避免機械臂碰撞過程中產(chǎn)生沖擊與破壞，設(shè)計了一種利用溫控記憶合金改變關(guān)節(jié)內(nèi)摩擦力的變剛度方法，實驗結(jié)果表明該連續(xù)型機械臂具有良好的運動控制精度和剛度調(diào)節(jié)能力.Petit 等[28]提出了一種多關(guān)節(jié)變剛度機器人跟蹤控制的后退方法，通過對變剛度關(guān)節(jié)和多關(guān)節(jié)變剛度機器人進(jìn)行仿真和測量驗證了該方法的有效性.Lin 等[29]提出了采用變剛度的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器進(jìn)行振動控制，數(shù)值結(jié)果表明該控制方法能夠自動避免失調(diào)影響并有效抑制振動.

本文根據(jù)半主動控制中的變剛度主動控制的設(shè)計思想，通過改變機械臂臂桿的軸向受力狀況來主動改變機械臂的剛度，進(jìn)而達(dá)到振動抑制的目的，因此文中將該方法稱為“臂桿剛度主動控制”方法.在此基礎(chǔ)上，采用變形耦合法來計算機械臂的非線性變形，并結(jié)合假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日方程建立了臂桿的動力學(xué)模型；進(jìn)而設(shè)計了基于臂桿剛度主動控制方法的單自由度實驗臺，分析了機械臂在不同預(yù)緊力下末端的振動特性，結(jié)合仿真和實驗結(jié)果驗證了方法的有效性；最后采用響應(yīng)面法和基于內(nèi)部映射牛頓法的子空間置信域法優(yōu)化算法對預(yù)緊力進(jìn)行了優(yōu)化分析.該研究可為機械臂的精細(xì)動力學(xué)建模和振動控制提供一定的參考.

1 基于臂桿剛度主動控制的機械臂動力學(xué)建模

1.1 臂桿剛度主動控制方法

空間機械臂因臂桿柔性在運動過程中產(chǎn)生的彈性變形與機械臂大范圍剛性運動的耦合效應(yīng)會導(dǎo)致機械臂在其彈性變形中的振動頻率不一致，即產(chǎn)生剛化效應(yīng).另外，機械臂在旋轉(zhuǎn)運動過程中會受到離心力的作用，軸向的較大變形引起剛度減小，即產(chǎn)生軟化效應(yīng)[30].剛化效應(yīng)和軟化效應(yīng)相互作用，使機械臂在運動過程中的剛度發(fā)生變化，影響其動力學(xué)響應(yīng).

根據(jù)上述機械臂剛度變化效應(yīng)產(chǎn)生的原理和結(jié)構(gòu)振動控制中的剛度主動控制方法的設(shè)計思路，文中提出的臂桿剛度主動控制方法結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示.在管狀機械臂的臂桿中置一彈性繩索，其兩端分別連接拉力傳感器與螺栓，拉力傳感器用于測量繩索拉力大小，用螺母擰上螺栓以拉緊繩索，通過調(diào)節(jié)螺栓來調(diào)節(jié)臂桿受力進(jìn)而調(diào)節(jié)臂桿剛度來抑制機械臂運動過程中產(chǎn)生的彈性振動.

圖1 機械臂臂桿剛化調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of manipulator arm stiffening adjustment

為建立圖1 中機械臂的變剛度動力學(xué)模型，將其簡化為圖2 所示的平面管狀懸臂梁模型，虛線為變形前的機械臂，實線為變形后的機械臂.假設(shè)機械臂在運動過程中繩索與機械臂始終不接觸，因此可將繩索對機械臂的作用力簡化為一作用于機械臂末端面的集中力F.另外，機械臂的關(guān)節(jié)處作用有驅(qū)動力矩τ；l0，D0和δ 分別為變形前機械臂的長度、外徑和厚度尺寸.為驗證臂桿剛度主動控制的效果，在運動過程中同時考慮臂桿的縱向(軸向)變形和橫向(徑向)變形以及橫向變形引起軸向變形的二次耦合效應(yīng).

圖2 機械臂臂桿剛度主動控制的簡化模型Fig.2 The simplified model for active control of manipulator arm stiffness

1.2 臂桿結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

將臂桿剛度主動控制下的機械臂運動過程進(jìn)行受力分析，如圖3 所示.以機械臂關(guān)節(jié)端為坐標(biāo)原點分別建立慣性坐標(biāo)系OXY和隨動坐標(biāo)系Oxy.機械臂在平面內(nèi)運動產(chǎn)生剛性轉(zhuǎn)角為θ，F(xiàn)1和F2分別為繩索作用于機械臂末端面的集中力在慣性坐標(biāo)系中的投影.

設(shè)在動坐標(biāo)系中機械臂上x處任一點P變形前的坐標(biāo)向量為u0，總變形位移為u，縱向和橫向總變形量分別為ux和uv，則

圖3 機械臂運動過程中的受力分析圖Fig.3 The force analysis during the movement of the manipulator

根據(jù)彈性梁的變形理論，考慮完全幾何非線性變形，臂桿上P點的縱向和橫向變形位移分別為[31]

式中，v1和v2分別為臂桿縱向振動和橫向彎曲振動產(chǎn)生的變形；eij為耦合形函數(shù)，其表達(dá)式為eij=，?i(x)和?j(x)為臂桿橫向彎曲振動的模態(tài)函數(shù)，qi(t)和qj(t)為與模態(tài)函數(shù)對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)，ε 為積分變量.令vc=，vc為考慮橫向彎曲變形引起軸向變形的二次耦合變形量.由此可得

根據(jù)臂桿軸向變形和徑向變形的關(guān)系，可計算得到臂桿變形后的外徑D為

機械臂為管狀構(gòu)形，為了保證臂桿結(jié)構(gòu)強度和穩(wěn)定性要求，臂桿厚度與臂桿外徑一般成正比關(guān)系

式中，kδ為機械臂截面厚度與外徑的比例系數(shù).

結(jié)合式(4)和式(5)可計算出變形后臂桿的橫截面面積和慣性矩分別為

由式(6)和式(7)可知，機械臂在運動過程中的橫截面面積和慣性矩發(fā)生變化，引起機械臂在運動過程中的臂桿剛度不斷發(fā)生變化.

1.3 臂桿動力學(xué)模型

如圖3 所示，r為臂桿上點P在慣性坐標(biāo)系OXY中的位置向量，則

式中，r0為點P在動坐標(biāo)系中的位置向量，分別為動坐標(biāo)系中u0和u在慣性坐標(biāo)系中的表示.N為從動坐標(biāo)系Oxy到慣性坐標(biāo)系OXY的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，即

由規(guī)范理論的基本思想，可得如下基本的運動學(xué)關(guān)系

由此可計算出

結(jié)合式(1)、式(3)及式(8)并考慮，可將上式表示為

基于假設(shè)模態(tài)法，采用前兩階模態(tài)對臂桿的彈性振動進(jìn)行近似描述，則機械臂的縱向振動和向彎曲振動可表示為

式中，?1i(x)和?2i(x)(i=1,2)分別為機械臂縱向振動和橫向彎曲振動的模態(tài)函數(shù)，ai和bi(i=1,2)分別為與模態(tài)函數(shù)對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo).通過查閱資料可得懸臂梁的前兩階縱向振動和橫向彎曲振動模態(tài)函數(shù)表達(dá)式[32]

將式(13)～式(16)代入式(12)可得其離散化后的表達(dá)式，進(jìn)而得到機械臂的動能為

式中，ρ 和μ分別為臂桿的密度和泊松比.由式(17)可知，機械臂系統(tǒng)的動能不僅取決于其剛性運動，還與運動過程中產(chǎn)生的彈性變形密切相關(guān).

機械臂在運動過程中的勢能包括彈性勢能和重力勢能，其中彈性勢能包括縱向振動和橫向彎曲振動兩部分變形能，總彈性勢能表達(dá)式為

將式(6)和式(7)及彈性變形的離散化表達(dá)式(13)和式(14)代入式(18)，并取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q=[θa1a2b1b2]T，總彈性勢能可表示為

式中，E為臂桿的彈性模量，K為廣義剛度矩陣.由剛度矩陣的表達(dá)式可知，剛度項中存在縱向變形和橫向彎曲變形之間的耦合，且機械臂運動過程中結(jié)構(gòu)參數(shù)隨臂桿受力發(fā)生變化，導(dǎo)致臂桿剛度不斷發(fā)生變化.同樣分析可得重力勢能的表達(dá)式為

整個機械臂系統(tǒng)所受非保守外力包括關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ，繩索作用于機械臂末端面的集中力F，根據(jù)虛功原理可求得相應(yīng)于外力的廣義力為

式中，re為機械臂末端點在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量.機械臂末端處變形前位置矢量為uoe=[l00]T，變形總位移為ue=[v1e+vcev2e]T，v1e，vce，v2e分別為機械臂末端處的相應(yīng)變形量.由此re可表示

設(shè)彈性繩索的剛度為k，調(diào)節(jié)螺栓的移動距離為?x.由于機械臂在運動過程中繩索與臂桿始終不接觸，則繩索作用于機械臂末端面的集中力可表示為

若機械臂末端橫向彎曲變形的截面轉(zhuǎn)角為α，則由小變形假設(shè)可得到如下近似結(jié)果

由此可得繩索作用于機械臂末端面的軸向和徑向分力大小分別為

將式(22)和式(23)代入式(21)可求得與廣義坐標(biāo)qi對應(yīng)的廣義力大小Qi(i=1,2,···,5).

根據(jù)第二類Lagrange 方程

式中，QF=?Kq+Q，Q為上述求得的作用于機械臂上，除變形引起的彈性力以外的全部主動力對應(yīng)的廣義力列陣，?Kq為彈性力對應(yīng)的廣義力.q=[θa1a2b1b2]T為廣義坐標(biāo)列陣，為廣義速度列陣.將式(17)、式(19)及式(20)代入式(26)可得機械臂的臂桿變剛度動力學(xué)模型為

式中，M(q)為5×5 的對稱、正定質(zhì)量矩陣，為包含科氏力、離心力的5 階列向量，Q為廣義力組成的5 階列向量，M(q)，，K(q)均存在縱向變形與橫向彎曲變形的耦合項.由此可知，機械臂臂桿的變剛度動力學(xué)模型呈現(xiàn)出較強的非線性、強耦合和時變特性.

2 預(yù)緊力對機械臂末端振動特性的影響

為了研究機械臂在不同繩索預(yù)緊力下的振動特性，對式(27)臂桿的變剛度模型進(jìn)行了數(shù)值仿真求解.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置如下：l0=0.6 m，D0=0.038 m，kδ=4/38；機械臂的材料參數(shù)設(shè)置如下：ρ=2.9×103kg/m3，E=68.9 GPa，泊松比μ=0.33；重力加速度為g=9.8 m/s2，機械臂關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩為τ(t)=0.1 sin(2πt)+0.5.仿真初始條件為：q=[0 0 0 0 0]T，˙q=[0 0 0 0 0]T.設(shè)置仿真時間為1 s，分別對預(yù)緊力為0，10 N，20 N 及30 N 下機械臂末端的振動特性進(jìn)行了分析，其中預(yù)緊力為0 和20 N 時X方向和Y方向加速度曲線及其頻譜分別如圖4～圖7 所示.

圖4 預(yù)緊力為0 時機械臂末端X 方向加速度及頻譜圖Fig.4 The X-direction acceleration and spectrum of manipulator end without preloading force

圖5 預(yù)緊力為0 時機械臂末端Y 方向加速度及頻譜圖Fig.5 The Y-direction acceleration and spectrum of manipulator end without preloading force

圖6 預(yù)緊力為20 N 時機械臂末端X 方向加速度及頻譜圖Fig.6 The X-direction acceleration and spectrum of manipulator end with 20 N preloading force

圖7 預(yù)緊力為20 N 時機械臂末端Y 方向加速度及頻譜圖Fig.7 The Y-direction acceleration and spectrum of manipulator end with 20 N preloading force

根據(jù)圖4 和圖5 可知，預(yù)緊力為0 時，機械臂末端X方向的加速度振動范圍為?15 m/s2～15 m/s2，而Y方向的加速度振動范圍為?10 m/s2～8 m/s2，且兩個方向的振動能量分別主要集中在82 Hz，403 Hz 兩個頻率處.由圖6 和圖7 可知，預(yù)緊力為20 N 時，機械臂末端X方向的加速度振動范圍為?15 m/s2～15 m/s2，而Y方向的加速度振動范圍為?5 m/s2～5 m/s2，兩個方向的振動能量分別主要集中在72 Hz，80 Hz，403 Hz 三個頻率處.由此可知，隨著預(yù)緊力的增大，臂桿的低階頻率略微減小，X方向的振動范圍影響較小，而Y方向的振動范圍明顯減小.因此將不同預(yù)緊力下Y方向加速度頻譜進(jìn)行對比分析，結(jié)果如表1 所示.

表1 不同預(yù)緊力下Y 方向加速度的振動頻率及其相應(yīng)的幅值Table 1 The vibration frequency and corresponding amplitude of Y-direction acceleration under different preloading force

由表1 可知，預(yù)緊力存在時，低階振動頻率略微減小，高階振動頻率不變.另外，隨著預(yù)緊力的增加，縱向一階振動及縱向和橫向彎曲耦合振動的幅值略微增大，而橫向彎曲一階振動略微減小.由于系統(tǒng)的振動能量主要取決于系統(tǒng)的低頻振動，而Y方向的振動主要為橫向彎曲一階振動，因此文中提出的基于臂桿剛度主動控制的方法在一定條件下可以抑制機械臂的彈性振動.

3 機械臂臂桿剛度主動控制下的末端振動測試

3.1 機械臂實驗臺設(shè)計

為驗證臂桿剛度主動控制對機械臂彈性振動的抑制效果，本文設(shè)計了一種平面單自由度機械臂實驗臺，如圖8 所示.該實驗臺主要包括基座和機械臂主體結(jié)構(gòu)兩大部分，其中基座具有90?的安裝可調(diào)功能；機械臂的主體結(jié)構(gòu)是臂桿剛化調(diào)節(jié)機構(gòu)，主要含有機械臂臂桿、繩索、調(diào)節(jié)螺栓和加速度傳感器等，其調(diào)節(jié)原理如圖1 所示.在機械臂運動過程中，通過調(diào)節(jié)臂桿內(nèi)繩索的預(yù)緊力來改變機械臂的受力狀況，并采用拉力傳感器和加速度傳感器對繩索預(yù)緊力和機械臂末端加速度信號進(jìn)行實時測量.加速度傳感器輸入INV-8 多功能抗混濾波放大器中，經(jīng)過電荷放大器的放大作用將采集到的電信號放大，通過INV3060F 智能信號采集分析儀采集.拉力傳感器選用蚌埠金力公司的JL-L 型號，線性度為0.1%，分辨率為2000；加速度傳感器選用美國Dytran 公司的壓電加速度傳感器3056 C，測量頻率范圍為0～5000 Hz，重量為10 g，靈敏度為15 pC/g，最大加速度可達(dá)600 g pk，二者均滿足機械臂的測量要求.機械臂關(guān)節(jié)采用直流伺服電機驅(qū)動與諧波減速器傳動的形式，臂桿采用鋁合金型材，其意義在于研究經(jīng)濟型低剛度材料的剛化問題，以便利用廉價低剛度材料取代目前所應(yīng)用的昂貴高剛度材料.

圖8 機械臂實驗裝置圖Fig.8 The experimental device of manipulator

3.2 機械臂末端振動特性分析

實驗過程中保持電機以400 r/min 的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定運行，通過調(diào)節(jié)繩索預(yù)緊力，使臂桿受力分別為0，10 N，20 N，30 N，40 N，50 N，60 N，70 N，測 量 上述8 組繩索預(yù)緊力條件下機械臂的振動情況，可得不同預(yù)緊力下機械臂末端的加速度信號及其頻譜圖如圖9 所示.

圖9 不同預(yù)緊力下機械臂末端的加速度響應(yīng)及其頻譜圖Fig.9 The acceleration and spectrum of manipulator end under different preloading force

由圖9 可知，在不同預(yù)緊力作用下，機械臂末端產(chǎn)生劇烈振蕩，且加速度信號的振動能量主要集中在0～100 Hz 之間，其中在頻率分別為5.8 Hz，16.7 Hz，25Hz 及100 Hz 附近出現(xiàn)4條比較明顯的頻譜.根據(jù)電機的轉(zhuǎn)速計算出其工頻為6.67 Hz，而5.8 Hz，16.7 Hz，25 Hz 三種頻率與電機工頻的倍頻接近，且由于機械臂系統(tǒng)各部件運動狀況復(fù)雜，臂桿剛度隨繩索預(yù)緊力的變化而發(fā)生變化，導(dǎo)致機械臂系統(tǒng)的頻率發(fā)生變化，因此推測上述3 種頻率是由電機工頻的倍頻引起的.另外，機械臂在各種預(yù)緊力下在100 Hz 處都出現(xiàn)幅值突變，而諧波減速的減速比為100，故該頻率是諧波減速器與外界激勵產(chǎn)生了共振.由以上可知，預(yù)緊力的存在對臂桿剛度影響較小，但可以使機械臂末端的振動得到一定的衰減.不同預(yù)緊力下機械臂末端振動幅值變化范圍如表2 和圖10 所示.

表2 不同預(yù)緊力情況下臂桿末端振動幅值的變化范圍Table 2 The range of vibration amplitude of manipulator end under different preloading force

圖10 機械臂末端振動幅值隨預(yù)緊力的變化曲線Fig.10 The curve of vibration amplitude of manipulator end with preloading force

結(jié)合表2 和圖10 可知，隨著繩索預(yù)緊力的增加，機械臂的振動幅值變化范圍呈現(xiàn)收攏趨勢，且上限幅值和下限幅值的大小幾乎都隨著預(yù)緊力增加而減小.說明文中提出的臂桿剛度主動控制方法在一定條件下可以有效抑制機械臂末端的彈性振動.

4 預(yù)緊力的優(yōu)化分析

繩索預(yù)緊力越大，會導(dǎo)致機械臂存在較大內(nèi)應(yīng)力，影響其結(jié)構(gòu)性能，而實際機械臂在不同工況下需要滿足不同的功能要求和精度要求，因此需要選擇既滿足精度要求又保證結(jié)構(gòu)性能要求的預(yù)緊力，而不是無限增大預(yù)緊力.為了獲取預(yù)緊力與機械臂末端振動響應(yīng)的關(guān)系，采用響應(yīng)面法來近似表示系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)[33].為反映機械臂末端的振動劇烈程度，選擇臂桿末端的振動幅值范圍來表示性能函數(shù)，即

式中，φ 為極限狀態(tài)函數(shù)，u和d分別上限幅值和下限幅值.為準(zhǔn)確獲得極限狀態(tài)函數(shù)，采用二次多項式來近似表示性能函數(shù)，即

式中，f為預(yù)緊力的大小，a=(a0,a1,a2)T為回歸系數(shù)的矢量.

結(jié)合表2 不同預(yù)緊力下機械臂末端振動的上限幅值和下限幅值，可得響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計點和響應(yīng)點如表3 所示.

根據(jù)式(29)所示的響應(yīng)面函數(shù)和表3所示的設(shè)計點及響應(yīng)值，可以求得回歸系數(shù)a，并由此可得響應(yīng)面函數(shù)為

基于內(nèi)部映射牛頓法(interior-reflective Newton method)的子空間置信域法(subspace trust-region)優(yōu)化算法對式(30)的響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)處理，將預(yù)緊力作為設(shè)計變量，機械臂末端振動最小化作為目標(biāo)函數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型為

表3 響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計點和響應(yīng)值Table 3 Design points and response values of the response surface function

根據(jù)式(31)獲得的最優(yōu)預(yù)緊力的大小為70 N，如圖11 所示.說明在本文實驗條件下，預(yù)緊力為70 N 時，機械臂末端的振動得到最大衰減，可以獲得較高的末端精度.

圖11 預(yù)緊力與響應(yīng)值關(guān)系曲線Fig.11 The curve of preloading forces and response values

5 結(jié)論

為抑制機械臂在運動過程中因臂桿柔性引發(fā)的結(jié)構(gòu)變形和彈性振動，本文提出了臂桿剛度主動控制方法.采用變形耦合法研究了機械臂運動過程中臂桿徑向彎曲變形對軸向變形的影響，并基于假設(shè)模態(tài)法對柔性機械臂進(jìn)行離散化描述，結(jié)合Lagrange 方程建立了臂桿的變剛度動力學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上，設(shè)計了基于臂桿剛度主動控制方法的單自由度實驗臺，通過調(diào)節(jié)臂桿內(nèi)繩索預(yù)緊力來調(diào)節(jié)臂桿剛度，研究了機械臂在不同預(yù)緊力下末端的振動特性.實驗和仿真結(jié)果表明，隨著預(yù)緊力的增加，本文提出的基于臂桿剛度主動控制的方法可以有效抑制機械臂末端的振動，提高機械臂的運動穩(wěn)定性和末端定位精度.采用響應(yīng)面法建立了機械臂末端的振動響應(yīng)與預(yù)緊力的關(guān)系，并基于內(nèi)部映射牛頓法的子空間置信域法優(yōu)化算法得到了響應(yīng)面內(nèi)的最優(yōu)預(yù)緊力.該研究可為機械臂的精細(xì)動力學(xué)建模提供一定的理論參考，并為研究經(jīng)濟型低剛度材料的剛化問題提供了方向，以利用廉價低剛度材料取代目前所應(yīng)用的昂貴高剛度材料.