地球中微子能譜計(jì)算及初步高階修正

冒 鑫，韓 然，李玉峰

(1.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094；2.中國科學(xué)院 高能物理研究所，北京 100049)

地球中微子來自于地球內(nèi)部放射性元素，如鈾(U)、釷(Th)、鉀(K)的β衰變[1-7]，由于在衰變過程中伴隨著熱量的產(chǎn)生，所以這些元素又稱為生熱元素(heat generating elements, HGEs)。地球中微子是一種探測地球內(nèi)部放射性元素分布以及結(jié)構(gòu)的新途徑[8-9]。日本的KamLAND合作組[10-11]和意大利的Borexino合作組[12-14]在實(shí)驗(yàn)上觀測到地球中微子信號(hào)后，地球中微子便一直是國際上中微子研究的熱點(diǎn)。KamLAND和Borexino的最新結(jié)果已把地球中微子的觀測置信度分別提高到了7.9和5.9倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差[14]。下一代能觀測到地球中微子的液閃探測器實(shí)驗(yàn)——加拿大SNO+[15]和中國JUNO[16-17]也處于建造當(dāng)中，即將投入運(yùn)行并取數(shù)，這無疑會(huì)極大地推動(dòng)地球中微子科學(xué)的研究。盡管實(shí)驗(yàn)已觀測到了地球中微子，但因?yàn)橹形⒆臃磻?yīng)截面太小以及目前所使用的液閃探測器缺乏有效的方向性信息，許多地球科學(xué)的問題有待進(jìn)一步研究，包括區(qū)分U和Th衰變產(chǎn)生的地球中微子、區(qū)分來自于地幔的地球中微子以及檢驗(yàn)已存的放射性生熱模型。

地球中微子能和其他本底(主要是反應(yīng)堆中微子)區(qū)分開，是因?yàn)椴煌厮プ儺a(chǎn)生地球中微子以及各種本底的能譜不同。地球中微子能譜依賴于放射性元素衰變鏈中不同末態(tài)能量的β衰變道，可用理論計(jì)算得到。目前常用的能譜是日本學(xué)者Enomoto于2005年為研究KamLAND地球中微子而計(jì)算的[18]，包含U、Th、K元素衰變產(chǎn)生的地球中微子，分別使用了U和Th衰變鏈中82條和70條衰變道信息，目前許多地球中微子的研究(信號(hào)預(yù)測以及探測靈敏度等)使用的都是這個(gè)能譜[16,19-21]。但該能譜僅考慮了庫侖相互作用，把原子核近似為沒有形狀有質(zhì)量的點(diǎn)粒子，忽略了原子核形狀等其他因素帶來的影響。地球中微子能譜的精度對于地球中微子的研究極其重要，本文使用更加詳細(xì)的衰變道信息計(jì)算238U、232Th的地球中微子能譜，并通過加入一些初步的高階修正來提高能譜的精度。

1 地球中微子

1.1 地球中微子產(chǎn)生

地球中微子是地球內(nèi)部放射性同位素β衰變產(chǎn)生的，包括238U、232Th、40K和87Rb，由于87Rb的天然豐度十分低，其產(chǎn)生的地球中微子基本上探測不到，一般不考慮來自于87Rb的地球中微子[9]。這些同位素的半衰期有的甚至比地球的壽命還長，衰變公式如下。

(1)

在衰變產(chǎn)生地球中微子的同時(shí)也會(huì)釋放出巨大的熱量，這個(gè)方式產(chǎn)生的熱能是驅(qū)動(dòng)地球演化的主要地?zé)醽碓粗籟22-23]。單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生地球中微子的數(shù)目(地球中微子亮度)和放出的熱量還存在著固定關(guān)系，可通過測量地球中微子的通量間接得知放射性生熱，這是實(shí)驗(yàn)測量地?zé)嶙罾硐氲姆绞街?，如下式所示[9]。

L=7.64m(U)+1.62m(Th)+27.10m(K)

HR=9.85m(U)+2.67m(Th)+3.33m(K)

(2)

其中：L為地球中微子亮度，1024s-1；HR為生熱率，1012W；m為地球上U、Th、K元素的質(zhì)量，1017kg。

1.2 地球中微子振蕩及預(yù)測

sin4θ13≈0.55

(3)

其中，θij(i，j=1,2,3分別代表ve，vμ，vτ)為中微子混合角。

同位素X衰變產(chǎn)生的地球中微子，經(jīng)過振蕩到達(dá)探測器的通量可用以下表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算：

(4)

從通量計(jì)算的公式可看出，預(yù)測地球中微子通量必須建立描述元素豐度的地球化學(xué)模型以及描述地球深度、密度結(jié)構(gòu)的地球物理模型。除一些常見的全球模型[27-30]，為精確預(yù)測來自于地殼的地球中微子，還需根據(jù)實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)建立更精確的局域地殼模型[31-33]。除此之外，準(zhǔn)確的能譜也是不可缺少的。

1.3 地球中微子探測

目前，主要依靠地球中微子與有機(jī)液閃(或摻Gd液閃)里面的自由質(zhì)子(或Gd)發(fā)生反應(yīng)來探測地球中微子，如下式所示。

(5)

這個(gè)反應(yīng)為反β衰變(inverse beta decay, IBD)。在IBD反應(yīng)中，1個(gè)反電子中微子與1個(gè)質(zhì)子反應(yīng)，會(huì)釋放出1個(gè)正電子和1個(gè)中子。正電子會(huì)很快湮滅并釋放出2個(gè)能量為0.511 MeV的γ光子，形成1個(gè)快信號(hào)。中子則會(huì)出現(xiàn)一個(gè)慢化過程，通過多步的散射降低能量，最終被質(zhì)子(或Gd原子核)捕獲，同時(shí)釋放出1個(gè)約2.2 MeV(或8 MeV)的光子，形成1個(gè)慢信號(hào)，如圖1所示。同時(shí)，中子被捕獲的位置距離其產(chǎn)生頂點(diǎn)約30～50 cm。通過快慢信號(hào)時(shí)間和空間位置符合，就可從大量本底中篩選出地球中微子的信號(hào)[34]。

圖1 IBD過程Fig.1 Process of IBD

IBD反應(yīng)的閾值能量是1.806 MeV，約等于中子和質(zhì)子質(zhì)量差與電子的靜止能量之和。低于1.806 MeV的反電子中微子不能被探測到，目前所能探測到的地球中微子只來自于238U和232Th，來自于40K的不能被探測到，本文能譜計(jì)算只考慮238U和232Th。

2 地球中微子能譜計(jì)算

2.1 單個(gè)β衰變道能譜計(jì)算

只考慮單一衰變道，最大電子能量為Emax的β衰變電子能譜可用如下公式計(jì)算[9，18]：

(6)

其中：GF為費(fèi)米常數(shù)；|M|為躍遷矩陣元；Z為衰變子核質(zhì)子數(shù)；F(Z,Ee)為代表原子核庫侖相互作用的費(fèi)米函數(shù)，費(fèi)米函數(shù)可用以下公式表示。

F(Z,Ee)=2(1+γ)·

R=0.426αA1/3

α=1/137.035 989

(7)

考慮到中微子和電子總能量守恒，可把β衰變電子能譜轉(zhuǎn)變?yōu)榉措娮又形⒆幽茏V：

(8)

2.2 238U、232Th β衰變能譜

與已知末態(tài)能量(中微子最大能量或電子最大動(dòng)能)的單一衰變道相比，238U和232Th的衰變鏈要復(fù)雜得多。圖2、3分別為238U、232Th衰變到末態(tài)原子核的衰變鏈，從圖中可看出，從初態(tài)原子核衰變到末態(tài)原子核，中間包含著許多不同的中間態(tài)原子核和衰變。238U衰變鏈中共有9個(gè)中間態(tài)原子核可發(fā)生β衰變放出反電子中微子，分別是234Th、234Pa、218Po、214Pb、214Bi、210Tl、210Pb、210Bi、206Tl。232Th含有5個(gè)，分別是228Ra、228Ac、212Pb、212Bi、208Tl。其次，每個(gè)衰變母核又會(huì)衰變到不同激發(fā)態(tài)的子核，放出不同能量的電子和反電子中微子，構(gòu)成對應(yīng)不同末態(tài)能量的衰變道。

圖2 238U 的衰變鏈Fig.2 Decay chain for 238U

基于238U和232Th衰變鏈中所有衰變道信息，使用式(6)計(jì)算每個(gè)衰變道的中微子能譜并將其歸一化，再根據(jù)每個(gè)衰變道在衰變鏈中所占的比例疊加，就可計(jì)算出同位素X衰變產(chǎn)生的地球中微子能譜，如下式所示。

圖3 232Th的衰變鏈Fig.3 Decay chain for 232Th

(9)

其中：Σ為反應(yīng)截面；Rij為母核i衰變到子核j的β衰變在衰變鏈中所占的比例；Ik為第k個(gè)衰變道在該β衰變中所占的比例；N為該衰變道能譜的歸一化系數(shù)。將衰變鏈頭元素比例設(shè)為1，β衰變i→j在衰變鏈中的占比Rij可根據(jù)分支比逐步推導(dǎo)得到：

Rij=RparentRbranch

(10)

其中：Rparent為母核i在衰變鏈中的占比；Rbranch為i到j(luò)β反應(yīng)的分支比。

對于每個(gè)衰變道在β衰變i→j的比例Ik以及末態(tài)能量，實(shí)驗(yàn)上已有相對完整的測量，可從核數(shù)據(jù)庫(National Nuclear Data Center, NNDC)中查到。

圖4 計(jì)算得到的地球中微子能譜Fig.4 Geo-neutrino spectra by calculation

表1 238U衰變鏈中有效的衰變道Table 1 Effective β transition in 238U decay chain

表2 232Th衰變鏈中有效的衰變道Table 2 Effective β transition in 232Th decay chain

2.3 與Enomoto能譜對比

圖5為計(jì)算的238U、232Th能譜與Enomoto能譜的比較結(jié)果，圖中虛線是計(jì)算能譜與Enomoto能譜的比例?？煽闯?，基本上比例接近1，差別較大的是1.806 MeV以下的低能部分，主要是因?yàn)樵诘湍懿糠直敬斡?jì)算使用了許多新的衰變道。

圖5 計(jì)算的238U、232Th能譜與Enomoto能譜對比Fig.5 Comparison of calculated 238U and 232Th energy spectra with Enomoto’s energy spectra

3 初步高階修正

式(6)在計(jì)算β衰變能譜時(shí)，包含描述自由電子在原子核庫侖場作用下運(yùn)動(dòng)的費(fèi)米函數(shù)，是對該運(yùn)動(dòng)方程最主要的修正，但也把原子核假設(shè)成了沒有形狀有質(zhì)量的重核，從而忽略原子核形狀帶來的影響[35]。其次，β衰變的光子輻射以及弱磁相互作用等也會(huì)帶來一定的影響，對精確計(jì)算能譜來說這些影響不可忽略。

3.1 β衰變的分類

β衰變是一種輻射β粒子(正負(fù)電子和中微子)的衰變[36]，是一種弱相互作用，包括β+衰變(放出正電子)和β-衰變(放出電子)。β衰變根據(jù)發(fā)射β粒子的角動(dòng)量和自旋可分為不同的類別[37]，不同類別衰變難易程度不同。輕子的軌道角動(dòng)量(L)和自旋角動(dòng)量(S)之和是總角動(dòng)量(J)，在衰變中原子核總角動(dòng)量是守恒的，如下式所示。

Ji=Jf+Lβ+Sβ

(11)

其中：Ji為初態(tài)原子核角動(dòng)量；Jf為衰變末態(tài)原子核角動(dòng)量。根據(jù)輕子是否攜帶軌道角動(dòng)量可分為允許衰變和禁戒衰變。L=0時(shí)為允許衰變，其中S=0時(shí)為超級(jí)允許衰變，也叫Fermi衰變，這種衰變非?？?，半衰期很短；S=±1時(shí)為 Gamow Teller衰變。L不等于0時(shí)為L度禁戒衰變，隨著度數(shù)的增加，反應(yīng)也越來越難發(fā)生。另外，根據(jù)初末態(tài)核角動(dòng)量變化量(ΔJ)與軌道角動(dòng)量(Lβ)是否相等，可把衰變分為是唯一的還是不唯一的，相等則不唯一，不相等則唯一。

低禁戒程度的衰變分類總結(jié)列于表3，根據(jù)NNDC數(shù)據(jù)庫中的衰變道信息，238U、232Th衰變鏈主要包含5度以下的禁戒衰變，高禁戒度的可根據(jù)以上方法遞推。

表3 β衰變分類Table 3 Type of β decay

對于通過能量守恒計(jì)算的中微子譜，高禁戒度的β衰變修正影響較小[35，38-41]，且在地球中微子能譜中的占比很低，本文假設(shè)所有衰變均是Gamow Teller類型的允許衰變(ΔJP=1+)來進(jìn)行初步的修正。

3.2 主要的高階修正項(xiàng)及對單一衰變道的修正量

主要考慮4項(xiàng)高階修正，分別是電磁相互作用有限形狀修正項(xiàng)、弱相互作用有限形狀修正項(xiàng)、輻射修正項(xiàng)以及弱磁修正項(xiàng)，如下式所示。

(12)

有限形狀修正是由于實(shí)際的原子核并非點(diǎn)粒子，主要表現(xiàn)為原子核電荷分布或超荷分布不是一個(gè)點(diǎn)，可分為電磁相互作用形狀修正和弱相互作用形狀修正。為描述有限形狀修正，須先明確原子核半徑，原子核半徑和原子的質(zhì)量數(shù)A有關(guān)，計(jì)算能譜時(shí)使用的是簡化公式(式(7))，本文采用更詳細(xì)的Elton公式[42]。

R=0.002 9A1/3+0.006 3A-1/3-0.017A-1

(13)

0.41(R-0.016 4)(αZ)4.5

W=Ee/me

(14)

bx的取值列于表4[43]。

表4 參數(shù)bx取值Table 4 Value for parameter bx

(15)

其中：

(16)

其中：

弱磁修正項(xiàng)用δWM表示，對于不同禁戒度的β衰變，弱磁修正的方式有所不同[45]，另外，還需考慮額外輕子動(dòng)量帶來的修正，叫做形狀因子。考慮到238U和232Th β衰變道以允許衰變類型為主，2度及以上禁戒衰變道數(shù)僅占5%，本文初步假設(shè)所有衰變道均是1+的GT衰變，并加入GT類型的弱磁修正，對應(yīng)的形狀因子為1，不帶來影響。

(17)

其中：MN為核子質(zhì)量，等于質(zhì)子和中子的平均質(zhì)量；gA=1.26，為軸矢量耦合常數(shù)；μv=4.7，為核子同位旋矢量磁矩。

以末態(tài)能量為3.270 MeV的214Bi→214Po衰變道為例，加入以上4項(xiàng)高階修正，修正量如圖6所示，可知，對于214Bi→214Po衰變道的修正，這4項(xiàng)高階修正引起的相對誤差在7%以內(nèi)，電磁相互作用有限形狀修正影響最大，GT類型的弱磁修正影響最小，而弱相互作用有限形狀修正和輻射修正介于兩者之間。從圖6可看出，在該能量范圍內(nèi)，電磁相互作用和弱相互作用有限形狀修正接近線性分布。

3.3 與210Bi β實(shí)驗(yàn)譜的比較

目前實(shí)驗(yàn)上缺乏對238U和232Th整體β衰變能譜的測量，本文使用210Bi原子核β衰變的測量能譜[46]與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，210Bi β衰變主要包含末態(tài)能量為1.162 MeV的衰變道，如圖7所示，圖7a為210Bi的實(shí)驗(yàn)及計(jì)算的微分能譜，圖7b為加與不加修正能譜與實(shí)驗(yàn)?zāi)茏V的相對差別隨電子動(dòng)能的變化。從圖7可知，加入修正可使能譜的精度有所提高，且能量高的部分更顯著。

圖6 對單一衰變道(214Bi→214Po，Ep=3.27 MeV)高階修正結(jié)果Fig.6 High-order correction to single beta transition(214Bi→214Po, Ep=3.27 MeV)

圖7 210Bi實(shí)驗(yàn)和計(jì)算β能譜比較Fig.7 Comparison of experimental and calculated β spectra for 210Bi

3.4 對238U和232Th地球中微子能譜進(jìn)行修正

對238U和232Th共196個(gè)不同末態(tài)能量的衰變道加入以上4項(xiàng)高階修正，最后得到的地球中微子能譜修正量如圖8、9所示。與單一衰變道相比，4項(xiàng)高階修正項(xiàng)單獨(dú)對能譜帶來的修正量大小排序相同，由于接近線性分布的電磁相互作用和弱相互作用有限形狀修正占主要部分，總的修正量也體現(xiàn)為線性，如圖8、9中紅線表示，可知，238U能譜高能部分的最大誤差達(dá)8.5%，232Th最高4.5%，對于精確計(jì)算能譜，這是不可忽略的。

圖8 238U 能譜高階修正結(jié)果Fig.8 High-order correction to 238U spectrum

圖9 232Th 能譜高階修正結(jié)果Fig.9 High-order correction to 232Th spectrum

4 總結(jié)

地球內(nèi)部放射性元素衰變釋放出的熱量是驅(qū)動(dòng)星球演化的主要能源之一，而地球內(nèi)部放射性元素分布以及其物理結(jié)構(gòu)很難利用現(xiàn)有技術(shù)手段進(jìn)行準(zhǔn)確研究。地球中微子實(shí)驗(yàn)探測的進(jìn)展，給這一系列問題的解決提供了契機(jī)。而能譜對于地球中微子研究是不可缺少的前提條件，精確計(jì)算的能譜對于地球中微子的預(yù)測、本底分析等具有重要的意義。

本文利用核數(shù)據(jù)庫中的最新數(shù)據(jù)計(jì)算了238U和232Th β衰變放出的地球中微子能譜，分別使用了113和83條衰變道的信息，相比目前使用較多的Enomoto計(jì)算的能譜增加了許多低能端的衰變道。除此之外，考慮到能譜計(jì)算時(shí)只包含了庫侖力的影響，而忽略了原子核形狀、輻射、弱磁相互作用等帶來的影響，本文在計(jì)算能譜的基礎(chǔ)上，對單一衰變道和總的238U和232Th能譜加入了電磁相互作用有限形狀修正、弱相互作用有限形狀修正、輻射修正以及1+類型的GT允許β衰變的弱磁修正。對于這4項(xiàng)高階修正單獨(dú)帶來的相對誤差，單一衰變道和能譜修正的結(jié)果較類似，依次是電磁相互作用有限形狀修正引起的修正量最大，弱相互作用有限形狀修正和輻射修正次之，GT允許β衰變的弱磁修正量最小。對于238U能譜，4項(xiàng)高階修正總的修正量最大達(dá)8.5%，對于精確計(jì)算能譜，這些影響是不可忽略的。本文添加高階修正后的地球中微子能譜，可應(yīng)用于地球中微子的精確預(yù)測及分析。

在添加弱磁修正過程中，考慮到高禁戒度衰變在所有衰變道中占比很小，把所有衰變道近似為1+類型的GT允許β衰變。雖然這種類型衰變占能譜主要部分，但在以后進(jìn)一步的研究中，需針對不同禁戒度的衰變道加入對應(yīng)的弱磁修正以及形狀因子修正。