行列式概念的啟發式教學探討

楊靜

摘 要 從行列式產生的幾何背景出發，提出行列式概念的一種啟發式教學方案。利用行列式定義的建立過程，充分訓練學生發現、歸納、證明知識的能力，培養學生的科研素質和創新思維。

關鍵詞 線性代數 行列式 啟發式教學 知識發現

0引言

行列式是線性代數中的基本概念，也是教學過程中的重點和難點。如何幫助學生正確理解行列式的定義并熟練運用其相關性質解決問題是行列式教學中的主要目標。

目前國內在行列式教學中采取的主流教學方式為：從較為簡單的二階和三階行列式定義出發，引出一般n階行列式的定義，并證明該定義具備的若干良好性質。而大部分線性代數教材中行列式的內容也是按照這個思路編寫的。筆者在線性代數課程的教學實踐中發現，這種教學思路給出的行列式定義往往較為抽象，而由于缺乏對行列式的直觀認識，容易導致學生學習熱情降低。分析發現該問題產生的原因是在教學過程中，教學活動往往從定義出發而不是從問題背景出發來展開的。因此本文借鑒文獻[3，4]中行列式概念建立的思想，探討如何從幾何背景出發，通過觀察總結得到行列式的若干性質，引導學生從幾何的角度建立行列式的定義，并證明這些幾何性質導出的行列式計算公式是存在且唯一的。

1二階行列式定義的導出

首先以平面上兩向量為鄰邊的平行四邊形面積作為引例導出二階行列式的定義。

給定兩個平面向量，考察以它們為鄰邊的平行四邊形的有向面積函數，面積的符號由到轉角的符號決定。易知該面積函數具備以下性質：

即兩向量重合時，平行四邊形面積為零。

上述性質均可通過引導學生對平行四邊形的有向面積進行分析得到。在歸納總結的過程中，學生可以建立對行列式性質的直觀認識。然后教師可以啟發學生根據平行四邊形面積的上述幾何性質推導得出有向面積函數的代數表達式。推導過程如下：

此時，教師可以引導學生得出結論：平面上由兩個向量，確定的平行四邊形其有向面積函數唯一存在，可以將此面積定義為這兩個向量的行列式，記為。

2 階行列式定義的導出

通過觀察二階行列式滿足的性質（1.i）-（1.iii），再次引導學生能否可以將這些性質推廣到高維空間多個向量的情形，同時也讓學生思考具備相應性質的多個向量的運算法則又如何呢？學生經過初步嘗試，可以建立如下的n階行列式定義，而定義滿足的性質均可由二階行列式的性質推廣得到。

定義：設為n維空間中的向量，稱滿足下列性質的映射D為階行列式：

與二階行列式的導出步驟類似，教師可引導學生探索滿足性質（2.i）-（2.iii）的映射D的存在性和唯一性。事實上，大部分大一的學生都能夠參照二階行列式的導出方法對映射D的存在性進行論證，并在論證過程中給出n階行列式的計算表達式。與此同時，教師也可以引出唯一性的問題，即n階行列式的表達式是否唯一？

唯一性的論證是培養學生邏輯思維能力的一個環節。數學中的唯一性論證通常采用的是反證法。這里可假設存在另一個不同于D的映射D，只需證明任意在D和D下的像均相同即可。換句話說，也就是二者的差為零。這個結論的證明可以利用行列式的多重線性性和規范性加以完成。

至此，在老師的啟發和引導下，學生經過自己的主動思考與探索已將n階行列式的定義完整導出。在上述教學方案中，行列式這個抽象的知識點不再是簡單的向量間的運算，而是具備某些良好性質的數學對象。學生在這個定義導出的過程中可以從不同的角度獲得對行列式的多種理解。

在以上的教學過程中，教師通過充分調動學生的好奇心、探索欲和求知欲，使學生從被動的知識接受者的身份變成了主動的知識發現者，讓他們不僅學到了專業知識，更重要的是在教授知識的過程中逐漸訓練了學生觀察、歸納、總結和發現知識的能力。在經過長期的積累后，這種能力將成為他們解決困難問題時自信心和創造力的來源。

3總結

本文主要探討一種行列式定義的啟發式教學思路。與目前主流的由代數定義到行列式性質的教學方式相比，從幾何角度出發以問題為導向的教學方式可以將學生代入數學知識發現者的角色，跟隨老師的引導重新“發明”行列式的定義。這個過程不僅能夠提高學生學習的積極性和主動性，增進學生對行列式概念的深入理解，同時也有助于提升學生從具體知識到抽象知識的歸納總結能力，培養學生的科研思維。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014：1-23.

[2] 王萼芳，石明生.高等代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013：50-67.

[3] 李尚志.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2006：105-130.

[4] Charles W.Curtis.Linear Algebra：An Introductory Approach （Fourth Edition）[M]. New York： Springer， 1984：132-160.