趣說平方根和立方根

林革

同學們學習了平方根和立方根的相關知識后，對“√”“3√”等都已經熟悉并能自如地使用，可以切身體會到在使用它時的便利性，不過，對于根號的由來和演變，許多人也許并不清楚.說起來，這可是一段相當曲折的過程呢！

古時候，埃及人用記號“「”表示平方根，印度人在開平方時，在被開方數的前面寫上ka.公元2世紀的羅馬人則用拉丁詞語latus（正方形的邊）表示平方根，這個詞的首字母1后來成為歐洲重要的表示平方根的符號，在16世紀，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算，并且后面跟著拉丁文“平方”的第一個字母q，或拉丁文“立方”的第一個字母c，來表示開的是多少次方.例如，現在的、√4352，當時就寫成R.q.4 352.

1624年，英國人布里格斯分別以1、13、II表示平方根、立方根和四次方根.后來，法國數學家笛卡兒（1596-1650）在《幾何學》一書中正式創設了符號“√”并自然演變成“√ ”，繼而被人們普遍接受并采納.只要你注意到“√”和“√一”的不同，就能理解其演變過程.因為“√一”包含兩個部分：左邊的“√”是由字母r演變而來的：至于上面的那條“短線”，則相當于現在使用的括號.所以，“√ ”實際上是一個結合符號.

“√”表示開平方，本來“√一”的左上角應該寫一個數字2，但因為數學上經常會出現開平方的情形，所以干脆約定俗成把2略去，只用“√一”表示開平方.但開立方、開4次方……則必須在“√一”的左上角寫上3，4，…，例如3√27，4√81等.

由此可見，根號的演變并非一帆風順，也是“大浪淘沙始見金”的過程.事實證明，只有最簡潔直觀、最方便實用的形式才能經得起時間的考驗.同時說明，任何一個新生事物的誕生絕非易事，只有經歷不斷完善的過程，才能真正為人們所接受.

大家都知道，開方是指求一個數的方根的運算，較之更為常見的加、減、乘、除四則運算，開方要困難得多，碰到需要開方的問題總是件讓人頭疼的事，如今的人們需要非特殊數的方根數據時，通常會查閱現成的《中學數學用表》，而更省事的做法就是使用計算器或電腦.而在《中學數學用表》沒有出現之前的時代，開方是件人們唯恐避之不及的難事，比如在歐洲被稱為“黑暗時代”的中世紀，大部分有文化的讀書人竟然不會開方.正因為這樣，《數學一人造的宇宙》中介紹的一種開方妙法格外引人注目，這種源自古巴比倫人的獨特算法，令人擊節嘆服.下面就以√19為例，向大家介紹別具一格的“巴比倫開方法”.

首先，我們可以通過計算器或查表得√19≈4.358 898 944.這樣的近似值把19的平方根寫到小數點后第9位，精確度已經夠高，無需繼續拓展延伸，就放在一邊作為參照數值.

其次，就用“迭代”（迭代顧名思義就是指不停地代換，也指循環執行的意思）來具體解釋“巴比倫開方法”的操作步驟.

第一次，設4為、√9的起始近似值，然后進行如下計算：19÷4=4.75.接著求起始近似值4與商4.75的平均數，即（4.75+4）÷2=4.375，可以判斷，4.375的平方更接近于19.所以接下來就用相對準確的4.375替代4.

第二次，仍采用與第一次一樣的兩次計算，其中的4由4.375代換，如法炮制的計算就是19÷4.375≈4.343.再求4.375與4.343的平均數，即（4.343+4.375）÷2=4.359，仍可以判斷.4.359的平方更接近于19.所以接下來就用更為準確的4.359替代4.375. 第三次，19÷4.359≈4.358 798，（4.358 798+4.359）÷2=4.358 899.

第四次，19÷4.358 899 ≈4.358 898 9，（4.358 898 9+4.358 899）÷2=4.358 898 95.

第五次.19÷4.358 898 95≈4.358 898 937，（4358 898937+4358 89895）÷2 ≈4.358 898 944.

至此，經過五次迭代后，所得√19的近似值已經與參照數值完全吻合，說明這種遞推結果非常精確，

而更令人驚奇的是，如果在假設√19的起始近似值時隨意離譜，比如設為7，居然也不礙事，只要按照上述步驟繼續操作，就會發現逐次接近、√19的近似值4.358 898 944.

毫無疑問，這種奇特的開方法在科技文化相對落后的上古時代出現實屬不易，而其中的“迭代”還能自動糾錯，更堪稱奇觀.

接下來，我們再來談談有關立方根的速算.為了強化這種巧妙策略，不妨從別開生面的數學游戲著手，你準備好了嗎？

請你先在心中任意選一個兩位數，然后把它三次方的計算結果告訴我，我能立即報出你選的兩位數.相信許多同學都半信半疑：真這么神？沒錯，只要你算出的結果正確，那我報出的結果也一定正確.

幾個回合下來，屢試不爽的結果肯定讓你有所察覺，其中一定有竅門.事實的確如此，下面就來揭秘：

我們先計算1至9的立方數，1³=1，2³=8， 3³=27， 4³=64， 5³=125， 6³=216，7³=343， 8³=512. 9³=729.

不難看出，原數與立方數的末位數字除了兩對特殊對應關系2←→8、3←→7，其余的都對應相同.鑒于這個對應規律，可以把你報的結果分成兩節，從右到左的三個數字按原來順序作為第一節，余下的作為第二節，由第一節的末位數字確定立方根的個位數字，再由第二節的數確定立方根的十位數字.比如：你報的是314 432.把314 432分成兩節，由第一節432的末位數字2確定立方根的個位數字為8.由第二節314介于63和7：之間，按“就小脫大”法確定立方根的十位數字為6，因此314 432的立方根為68.再比如：你報的數是571 787，把571 787分成兩節，由第一節787的末位數字7確定立方根的個位數字為3，由第二節571介于83和93之間，按“就小脫大”法確定立方根的十位數字為8，因此571 787的立方根為83.有興趣的同學不妨驗證一下.

看完以上有關根號的介紹以及求平方根和立方根的巧算和速算，現在你對平方根和立方根是不是有了新的認識？