例談直角三角形性質的應用

張佳萍

[摘要]直角三角形是初中階段學習的重要圖形，許多問題都需轉化為直角三角形問題加以解決.探討直角三角形性質的應用，可以提高學生的邏輯推理能力和數學問題的轉化能力.

[關鍵詞]直角三角形;性質;初中數學

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020） 23-0031-02

直角三角形是初中階段學習的重要圖形，許多問題都需轉化為直角三角形問題加以解決，直角三角形有諸多性質可以利用.如利用直角三角形兩銳角互余，結合同角或等角的余角相等，可得到相等的角;利用含30°角的直角三角形的性質，結合勾股定理可得此類直角三角形的三邊之比;根據直角三角形斜邊中線的性質，斜邊上的中線將它分成兩個三角形，一個為鈍角等腰三角形，一個為銳角等腰三角形.利用直角三角形的勾股定理可以求線段的長，直角三角形性質的應用，一方面考查學生對直角三角形性質的掌握情況;另一方面考查學生的邏輯推理能力和數學問題的轉化能力，

一、直角三角形中“∠A+ ∠B= 90°”的應用

三角形的內角和為180°，直角三角形有一個角是90°，所以其余兩個角一定互余，在直角三角形中，作斜邊上的高線，根據直角三角形兩銳角互余，可得兩組等角，再作一銳角的平分線，可得一等腰三角形.

[例1]如圖l，在△ABC中，∠BA C=90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線BE交AD于F，試說明AE=AF.

解析：根據角平分線的定義求出∠ABE= ∠EBC，再利用∠BAC=90°，AD⊥BC于點D推出∠AEF=∠AFE，然后根據等角對等邊的性質得證，

評注：此題如果作銳角C的角平分線，交高線與對邊有兩點，這兩點與點A構成的三角形也是等腰三角形，解答思路與上述相同，需要注意的是，在本題的圖形中，同時存在四個直角三角形，其中△ABE是直角三角形不易發現，是本題的難點，

二、特殊直角三角形“a=1/2c”的應用

直角三角形有兩類特殊的三角形，它們分別是含30°角的直角三角形、等腰直角三角形，根據在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊與斜邊的關系是a=1/2c，據此，可得這類三角形的三邊之比為1：√3：2.在等邊三角形中，作任意一邊上的高，或者過邊上任一點作垂線，都會出現含30°角的直角三角形.

[例2]如圖2所示，等邊△ABC中，AD⊥BC于D，點P是AB邊上的任意一點（點P可以與點A重合，但不與點B重合），過點P作PE⊥BC，垂足為E，過E作EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：2BD= 2CF+ BE;

（2）若AB=4，過F作FQ ⊥AB，垂足為Q，PQ=1，求BP的長.

評注：本題在等邊三角形內作了三次垂直，得到了三個含30°角的直角三角形，分別三次利用這類直角三角形直角邊與斜邊的一半關系，使這條直角三角形的性質得到了充分的發揮，另一方面，第2小題有兩種情況，在解答時要通過畫各種情況的圖形找到這兩種情況，不能漏解，

三、直角三角形“斜邊中線的長=1/2斜邊長”的應用

直角三角形斜邊中線的性質是，斜邊上的中線與斜邊存在數量關系：中線長=1/2斜邊長，斜邊上的中線將它分成兩個三角形，一個為鈍角等腰三角形，一個為銳角等腰三角形，根據等腰三角形等邊對等角，可以在這樣的圖形中求線段長或角度，

評注：判定一個三角形的形狀時，這個三角形的形狀一般為直角三角形、等腰三角形或等邊三角形，這是考慮此類問題的三個方向，在解答第（3）小題時，求出∠DEC的度數使用了整體的方法，即將∠CAB+∠DBA作為一個整體處理，不能分開，

四、勾股定理的應用

直角三角形的三邊有特定的數量關系，即兩條直角邊的平方和，與斜邊的平方是相等的，也就是勾股定理.

[例4]如圖8，秋千繩索OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC=1尺），將它往前推進兩步（EB=10尺），此時踏板升高離地五尺（BD=5尺），已知OC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，BE⊥OC于點E，OA= OB，求秋千繩索（叫或OB）的長度，

評注：在直角三角形中，已知兩直角邊長求斜邊時，取已知兩邊平方和的算術平方根就是斜邊長;已知一直角邊和斜邊時，取已知邊的平方差的算術平方根就是另一直角邊長，已知一邊長及另兩邊的關系，也可以利用勾股定理建立方程求出另兩邊的長，本題在構圖時將一個梯形通過作高分割為一個矩形和一個直角三角形，從而將四邊形問題轉化為直角三角形問題，

以上僅是在三角形問題中直角三角形性質的應用，屬于直角三角形性質的直接應用，當然直角三角形性質的應用并不僅僅局限于此，在四邊形、圓、圖形變換問題中，都會用到直角三角形的性質，如在正方形中會用到等腰直角三角形性質，在矩形、菱形問題中會用到勾股定理，在應用垂徑定理時常會用到勾股定理等.

（責任編輯黃桂堅）