銳角三角函數的幾個中考方向

朱德鋒

[摘要]初中階段學過的銳角三角函數包括正弦、余弦、正切和余切.銳角三角函數打通了直角三角形邊與角之間的通道，也是中考數學的重要考查內容.對銳角三角函數試題進行分類評析，可以使學生學會利用銳角三角函數在角與邊之間相互轉化，以及在不同三角函數之間相互轉化.

[關鍵詞]三角函數;中考;銳角;初中數學

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0009-02

初中階段學過的銳角三角函數包括正弦、余弦、正切和余切，在直角三角形里，一個角的正弦是指這個角的對邊與直角三角形斜邊的比值;一個角的余弦是指這個角的鄰邊與直角三角形斜邊的比值;正切是指一個角的對邊與它的鄰邊的比值;余切是指一個角的鄰邊與它的對邊的比值，其實還有正割與余割，正弦、余弦、正割和余割反映的是直角三角形直角邊與斜邊之間的關系，正切和余切反映的是直角三角形兩條直角邊之間的關系，根據銳角三角函數，既可以由銳角的角度得到直角三角形邊與邊的比，也可以由直角三角形邊與邊的比得到銳角的角度，因此，銳角三角函數打通了直角三角形邊與角之間的通道，中考對銳角三角函數的考查表現在以下幾個方面，

一、銳角三角函數的定義

銳角三角函數是在直角三角形中定義的，但是不在直角三角形里的銳角也有三角函數值，已知銳角三角函數值，也就是已知了直角三角形中邊與邊的比，要把銳角三角函數值轉化為邊與邊的比，必須構造直角三角形.

評注：解銳角三角形或鈍角三角形，要通過作垂線構造直角三角形，過哪一點作垂線，其原則是不能破壞圖形中特殊的角度，如30°、60。或45°，作垂線后圖形會出現兩個直角三角形，在其中一個直角三角形中得到的數據會在另一個直角三角形中使用，

二、銳角三角函數的增減性

銳角三角函數值由銳角的大小唯一確定，研究發現，銳角的正弦與正切隨角度的增大而增大，銳角的余弦與余切隨角度的增大而減小，這一結論可以通過幾個特殊角的銳角三角函數值歸納得到，也可以根據銳角三角函數的定義直接推理得到，根據銳角三角函數的增減性可以比較同名銳角三角函數值的大小，結合互余兩角的三角函數關系，還可以比較異名銳角三角函數值的大小.

[例2]（1）如圖4，在直角三角形中，當銳角取確定的值時，它的正弦值與余弦值也隨之確定，當銳角變化時，它的正弦值與余弦值也隨之變化，試寫出變化規律;

（2）利用上述規律，當銳角為18°，34°，52°，65°，88。時，比較它們的正弦值關系及余弦值關系;

（3）比較大小：（在空格處填寫“<”“>”或“=”）

若∠a= 45°，則sin a____ cosa;若∠a< 45°，則sina____cosa;若∠a> 45°，則sina ___ cos a;

（4）根據互余兩角的三角函數關系，將下列函數值按從大到小的順序排列，

評注：求同一銳角的正、余弦之差，要將這個代數式平方，再取平方根，這樣可以利用同一銳角的正、余弦的平方和等于1;已知正切值，要轉化為同一銳角正、余弦的比值，然后再代入求值，

銳角三角函數的考查還包括互余銳角三角函數關系，它是指互余兩銳角的正、余弦值相等;互余兩銳角的正、余切值相等，還包括特殊角的三角函數值，利用特殊角的三角函數值及和角、差角公式可以求出其他一些角的度數，對于銳角三角函數，掌握它的概念是根本;記住它們之間的相互關系，便于在不同三角函數之間、互余兩角之間相互轉化;記住特殊角的三角函數值是必備的基本功，它在代數式求值及解直角三角形的應用都大有用途，總之，一方面要學會利用銳角三角函數在角與邊之間相互轉化;另一方面要學會在不同三角函數之間相互轉化.

[參考文獻]

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[2]劉永東.銳角三角函數及應用[J].中學數學教學參考，2019（22）：65-68.

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[4]陳素和.銳角三角函數考點例析[J].初中數學教與學.2017（3）：28-30.

（責任編輯 黃桂堅）