以可視化助力兒童思維發展

王蓓

數學教學的任務是發展兒童的數學思維，提升兒童的思維品質。可視化學習讓抽象的數學知識具象化，讓隱性的思維顯性化，是發展兒童思維能力最有效的學習方式之一。

人教版數學五年級上冊第六單元的“三角形的面積”，是在學生已經掌握了三角形的特征，以及長方形和平行四邊形面積公式基礎上進行教學的，重點是引導學生在探索三角形面積公式的過程中，通過對圖形特點的觀察與分析，有意識地培養其空間想象力，滲透轉化的數學思想。在本課教學中，我借助可視化教學，從學習素材、操作過程、探究思路、研究成果四個方面引領學生有效參與學習，助力思維發展。

一、學習素材的可視化，助力思維起步

在學習“三角形的面積”之前，學生已經學會了把沒有學過的圖形通過“剪拼”的方法，轉化成已經學過的圖形，來研究它的面積。但教材呈現的是用兩個完全相同的三角形進行拼組，即“倍拼”的方法研究。從“剪拼”到“倍拼”，學生思維有一個大跨越，課堂上如果教師只是簡單給予學生兩個三角形讓他們去拼，學生只能是機械操作，不知其所以然，失去了探究的意義。因此，教師要精準把握學生的思維起點，以學定教，讓知識的形成過程更加合理、自然。基于以上思考，我精心設計了如下的前置性作業，讓學生課前先學。

【教學思考】

學生雖然對三角形十分熟悉，但如果讓他們自行探究面積公式，不少學生會束手無策。因此，我以學生十分熟悉的直角三角形為切入點，引導他們自主探究方格圖上直角三角形的面積，學生依據生活經驗，發現直角三角形的面積是它所在的長方形面積的一半，很自然地喚醒學生的學習經驗，為后續研究一般三角形面積埋下伏筆。

將直角三角形置于方格圖這一背景中，實際上就是把面積探究的素材可視化，它具備兩大優點：一是借助方格圖讓三角形的面積可數。方格圖讓抽象的面積具象化，可以直接數出所包含的面積單位。方格圖還利于學生發現三角形和與它等底等高的長方形之間的聯系，自然而然發現他們面積之間的關系。二是借助方格圖讓動手操作更便捷。學生在想一想、畫一畫、算一算的過程中充分調動眼、腦、手多感官合作，從而不斷嘗試多角度探究直角三角形的轉化路徑，以畫促思。

二、操作過程的可視化，助力思維碰撞

由于學生個體的差異性以及已有知識儲備不一，學生對探究材料的學習會呈現出個性化思考。教學中，我基于學生的思維起點，由淺入深地展示可視化學習成果，引領學生在讀懂他人作品的同時進行思維互補，從而完善個人的認知結構。

【教學片段】

師：老師這兒搜集了幾份前置作業，我們一起來看看吧！

出示第一份作業：

生：我是用數方格的方法來求的。滿格的有8個，不滿格的也有8個，兩個不滿格的可以合成一個滿格，所以直角三角形的面積是8+8÷2=12（cm2）。

師：通過數方格的方法，數出滿格和不滿格的數量就能計算出直角三角形的面積。

出示第二份作業：

生1（指圖）：我是把下面陰影部分的三角形剪下來，再拼到上面，這樣就把直角三角形轉化成了一個長方形。因為長方形的長是4cm，寬是3cm，面積是4×3=12（cm2），所以直角三角形的面積就是12cm2。

師：誰有問題和他交流？

生2：請問3是怎么來的？

生1（指圖）：這條長的直角邊是6cm，我從它中間這里剪開，6÷2=3（cm）。

師（追問）：不從中間剪能轉化成長方形嗎？

生1：不行。

師：從這剪開行嗎？這兒呢？（指到除中點外任意一點）如果沿著中點剪呢？

課件演示“剪拼法”。

師：看來，運用剪拼的方法能將直角三角形轉化成我們學過的長方形，再根據長方形面積進行計算，這種方法非常巧妙！瞧，我們班上還有高手！

出示第三份作業：

師：誰看懂他的方法了？

生1：他是在原來直角三角形上面添補了一個直角三角形，就轉化成一個長方形。長方形面積是24cm2再除以2就得到直角三角形面積。

師：補的這個三角形有什么特點？

生2：和原來的一樣。

師：你怎么知道一樣呢？

生2（指圖）：因為長方形對邊相等，補上去的三角形兩條直角邊也是4cm和6cm。

師：你觀察得真仔細！

展示第四份作品：

（不出聲）

學生恍然大悟

【教學思考】

學生在研究直角三角形面積時呈現出三種不同的思維水平，其中“數方格”是基礎，“剪拼”是學生已有經驗的有效遷移，“倍拼”是學生已有認知經驗的“變式”。無論是剪拼還是倍拼，都是要把三角形面積轉化為已知平面圖形的面積來解決問題。

實際中，“剪拼”是有一定難度的，因為剪拼須找到三角形的中位線（學生還未觸及）。因此，在幫助學生理解“剪拼”法時，我以學生的質疑“3從哪里來？”為突破口，引導學生想象非中位線剪無法拼組的過程，接著展示沿中位線剪拼成功的過程，通過前后對比，學生對“怎么剪拼、為什么剪拼”有了初步的感知。

相對而言“倍拼”就顯得簡單多了。被可視化的學生作品就是一種無聲思維，它向學生傳遞著“為什么要倍拼、怎么倍拼”的數學信息。學生借助可視化的作品理解他人的思考過程變得簡單多了。數學思維也在看一看、想一想、說一說等活動中碰撞、內化、發展。

三、探究思路的可視化，助力思維發展

學生在研究直角三角形面積計算時已經積累了較為豐富的數學活動經驗，初步感悟“剪拼”“倍拼”兩種轉化的思想方法。運用這些方法，學生在探究一般三角形面積時就能夠觸類旁通，舉一反三。

【教學片段】

師：直角三角形面積能轉化成長方形和平行四邊形來計算，任意一個三角形都能轉化成我們學過的圖形嗎？請拿出準備好的探究材料在小組里操作驗證。

探究材料：每個小組顏色不同的3個銳角三角形或3個鈍角三角形，剪刀一把;其中1號和2號三角形完全一樣。

小組合作后匯報：

組1（演示）：我們將1號和2號兩個銳角三角形拼成了一個平行四邊形，3號和1、2號都拼不成。

教師板貼學生倍拼后的作品。

組2（演示）：我們組1號和2號兩個鈍角三角形也拼成了一個平行四邊形，3號和1、2號都拼不成。

師：老師很奇怪，3號為什么總是拼不成呢？（同時呈現三個三角形）

生：3號和它們不是一樣大。

師：你怎么知道的？

生（演示）：我可以將3號和1號重疊在一起，發現它們的邊不相等。如果把1號和2號重疊在一起，發現它們能夠重合。

師：“重合”這個詞用得非常好！當兩個三角形能夠完全重合時，我們就說它們“完全一樣”（板書）。兩個完全一樣的三角形一定能拼成什么圖形？

生：平行四邊形。

師：還有不一樣的轉化方法嗎？

組3（演示）：我們組用的是剪拼法。先找到銳角三角形兩條邊中點的連線，再沿著這條線剪下一個三角形，將它拼到下面梯形的邊上，這樣就拼成了一個平行四邊形。

教師將學生剪拼后的作品板貼

……

【教學思考】

心理學家皮亞杰認為“兒童的智慧源于操作”。有效的可視化操作活動不但能夠激發學生的學習興趣，還能讓學生在操作中經歷、體驗。課堂上，我給學生充分的時間剪、拼、展示、交流，引導他們在三個三角形的操作比較中感悟關鍵詞“完全一樣”，在“剪拼”和“倍拼”具體操作過程中感受轉化的策略，進而得出結論：無論怎樣的三角形，只要兩個完全相同一定能拼成一個平行四邊形，從而發現三角形的面積是它拼成的平行四邊形面積的一半。無論怎樣的三角形，只要沿著兩條邊中點的連線剪開，一定能拼成一個平行四邊形，從而感知三角形的面積和轉化后的平行四邊形面積相等。

由特殊的直角三角形到普通的三角形，可視化操作讓每一位學生在多角度操作驗證中獲得真實有效的體驗，直觀感知了圖形的轉化過程，積累了豐富的基本數學活動經驗，學生的思維變得更加靈活、深刻。

四、研究成果的可視化，助力思維進階

三角形轉化為平行四邊形后，學生的探究不能嘎然而止，建立并運用三角形面積公式的模型才是本課教學的知識目標。為此，在課堂上引領學生有效觀察拼成的平行四邊形，自主推導三角形的面積公式，形成完善的三角面積公式的模型。

【教學片段】

出示探究要求：

1.選擇一個你喜歡的圖形（轉化后的圖形）進行研究。

2.仔細觀察轉化后的平行四邊形與原三角形，你有什么發現？

3.你能推導出三角形面積公式嗎？

學生自主探究后匯報。

生（指圖）：我選擇的是“倍拼法”后的圖形。我發現轉化后平行四邊形的底就是原三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高，原三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以，三角形面積=底×高÷2。

師：誰聽明白了？

生1、2……

師：轉化過程中什么變了？什么沒變？

生：底和高都沒有變，面積變了。三角形的面積只有平行四邊形面積的一半。

師：所以三角形面積=平行四邊形面積÷2=底×高÷2。誰研究了“剪拼法”后的圖形？

生（指圖）：我發現轉化后平行四邊形的底等于原三角形的底，平行四邊形的高等于原三角形的高的一半，也就是高÷2。平行四邊形的面積等于底乘高，所以三角形面積=底×高÷2。

師：你們聽明白了嗎？

生1、2……

師：在這個變化過程中什么變了？什么沒變呢？

生（指圖）：三角形面積沒有變，底也沒有變，高變小了，只有原來高的一半。

得出結論：三角形面積=底×高÷2，用字母表示為S=ah÷2。

【教學思考】

學生在計算三角形面積時經常漏了除以2，究其原因，是在三角形面積公式推導過程中學生沒有深刻理解除以2的根本原因。用“倍拼法”來推導面積公式，學生能夠比較輕松地發現三角形與拼成的平行四邊形在底和高的長度、面積方面的變化，進而得出結論。而用“剪拼法”來推導面積公式，學生發現三角形和拼成的平行四邊形面積和底都不變，平行四邊形的高只有原三角形高的一半，所以三角形面積要除以2。

教學中，學生兩次經歷觀察、比較、推理、抽象等學習過程，在“變與不變”的思維歷程中建模、用模，讓數學學習真正發生，學生抽象思維能力得到有效的發展。