厘清認知起點 厚實思維表象

項萍

【問題緣起】

“倍的認識”是一節概念課，同時又是一節重要的起始課。之前的教學，通過主題圖直接揭示概念，然后通過圈一圈、擺一擺、畫一畫等活動形式，讓學生在動手操作中形成表象，最后通過練習來加深學生對“倍”的理解。課堂反饋看上去很不錯，然而練習反饋卻令人沮喪，學生作業如下圖。

為何一節看似成功的課卻出現如此糟糕的學習效果呢？反思整個教學過程，發現可能是以下幾方面原因造成的：

一、缺乏清晰的認知起點切入“倍”的解讀

“倍的認識”是小學數學中關系教學的起始課，也是學習相對數量比較的一個抽象概念，學生理解難度比較大。學生在一二年級學習了“比多少”和表內乘除法，對兩個量之間受思維定式的影響，往往總停留在“比多少”上。而 “倍”代表著兩個數量間的比較關系，它產生的前提和基礎是兩者比較，關鍵是要找到比較量和標準量，即一方在以誰為標準，分成相同的幾份。之前的教學只重視“倍”是什么，卻輕視“倍”的數學本質，以及與乘法意義之間的聯系，學生“倍”的概念學習如空中樓閣，沒有扎實的認知基礎作支撐。

二、缺乏足夠的表象積累支撐“倍”的抽象

由于本節課是以定義的方式呈現“倍”的本質屬性，學生對概念形成過程的探究是缺失的，對“倍”的理解停留在機械記憶上，練習中生搬硬套概念，一旦遇到變式練習，因找不準“標準量”，往往無從下手。

從之前“短、平、快”式課堂教學中不難看出，學生因缺乏形成“倍”的概念所需要的表象，對“倍”本質理解只能停留在課本定義上，教師的陳述中，無法達到真正意義的理解。

基于以上的經歷和思考，結合學生的認知心理特點，對“倍的認識”教學進行了重新設計。

【再次設計】

一、讓思考“看得見”，找準“倍”的起點

任何新知識的教學，都要考慮學生已有的學習經驗、認知水平，要了解學生的興趣與困難所在，找準知識的起點，找到學習新知的最近發展區，只有這樣才能形成適合學生學習策略。

1.動起來，讓思考“看得見”。

數學思維是抽象的，摸不著看不見，但數學思維往往伴隨著具體的數學活動而展開，數學活動是思維顯性的外殼。教學時讓學生 “動”起來，教師才有機會“觀察”學生思維路徑、方向與狀態。

教學片段：

師：動物園里來了一群可愛的小動物，我們一起去看看吧！

（學生們充滿了期待的眼神看向屏幕，“哇！兔園！”）

課件動畫出示：

師：你看到了什么？

生：黑兔。（響亮并急切地說）

師：你有什么想說的？

生1：一共是6只黑兔。

生2：3只小黑兔一組。

生3：一共有6只小黑兔分成了兩組。

師：可以說是幾個幾？

生：2個3。

（安排了一個擺“3個2”的操作活動。）

作品反饋：

師：哪位同學擺的是3個2？

生1：左邊的對，右邊是2個3了。

生2：我也支持，左邊才是3個2。

……

由此可以看出，在學生齊聲回答“3個2”之后，還需要經歷動手擺“3個2”的過程。讓學生經歷操作、反思的“動”，教師才能厘清學生的思維起點，才能找準學習新知的最近發展區。在接下來的教學中才能有效地引導學生把“幾個幾”與新知“倍”的本質特征進行對接。

2.說出來，讓思考“看得見”。

語言是思維的外殼，借助語言我們可以將思維展現出來。讓學生“說”出自己的思路、想法，從中把握他們思維的水平、方向和動態。為此，課堂上要給足學生表達的時間和空間。

教學片段1：

生1：這位同學擺得不對，白兔是2只，要以2只為一組擺，擺3個2只。

生2：“2個3”表示的是以3只為一份，有2份;“3個2”表示的是以2只為一份，有3份。

學生在遇到“3個2”的粘貼情況不一樣時，通過碰撞交流，才能在喚醒舊知的同時，修正自己原本理解上的偏差。帶著正確的理解才能在后續的學習中，有效地把“幾個幾”與新知“倍”建立起知識連接點。

教學片段2：

師：白兔有2只，黑兔有3個2只，我們就說黑兔的只數是白兔的3倍。

師：你可以再說一說嗎？

生：白兔有2只，黑兔有3個2只，黑兔的只數是白兔的3倍。

師生互動，老師擺學生說。

生生互動，同桌之間一個擺一個說，再互換角色。

通過各種形式說的機會，讓學生在說的過程中，感受“倍”與“幾個幾”之間的聯系。從模仿到邊擺邊說再到你擺我說，三個層次地說，達到層層遞進的效果。

二、讓思維“可視化”，抽象“倍”的本質

對于“倍”的概念的理解，在學生探究的過程中，必須要經歷各類具體實例的觀察、比較、分析，這樣才能積累豐富的“倍”的表象，此時，抽象出“倍”的本質特征也就水到渠成了。

1.畫下來，讓思維顯“形”。

文字描述的數學概念是抽象的，如何讓隱藏在文字背后的數學本質顯現出來，又能讓教師“觀察”到學生的思維過程。畫圖是簡潔、易行的方法之一。

教學片段：

讓學生用“畫”的方式經歷3次探究“誰是誰的幾倍”的過程。

第一次：

第二次：

第三次：

經歷這么多層次的圖形表征之后，學生在圈圈畫畫中強化對“倍”的初步感知，積累了豐富的“倍”的表象，為后續抽象“倍”的概念奠定了堅實的基礎。

2.比起來，讓思考建“模”。

沒有碰撞就沒有思維的推進，學生只有在與別人分享、對話，產生火花的過程中，才會質疑、辨析，從而逐步調整自己原有的建構。為此，在此教學環節設計了兩次“比”的過程：

教學片段：

（1）海星的只數是水母的幾倍。

師：你發現了什么？

生：水母又多了一只。

師：那海星的只數是水母的幾倍呢？

展示學生的作品。

師：說說你是怎么想的？

生：我想水母有3只，海星有12只，圈一圈，我發現海星里面有4個3只，所以海星的只數是水母的4倍。

師：說得真好。

師：再來看看這位同學的，跟她不一樣的地方在哪？

生1：上面畫的是虛線，下面畫的是實線。

生2：下面寫的是水母的只數是海星的4倍，寫反了。

師：可以反過來嗎？

生1：不可以，反過來的話水母的只數就比海星多了。

生2：海星里面有4個3只，所以應該是海星的只數是水母的4倍。

生3：多的是少的的幾倍。

（2）海星的只數是海龜的幾倍。

課件只出示一個量。

師：請說一說誰是誰的幾倍？

生1：我覺得海星是水母的幾倍？

生2：海星是海龜的幾倍？

生3：上面只有海星，不知道誰是誰的幾倍？

師：看來大家都覺得題目缺少信息，你們需要幾個量？

生：求誰是誰的幾倍，需要兩個量。

師：是的，海龜爬的有點慢，看！它來了。

課件出示：

生獨立思考并完成，然后展示交流。

師：說說你是怎么想的。

生：我發現海龜有4只，以海龜一份的量為標準，海星的只數是3個4只，所以海星的只數是海龜的3倍。

通過設計不同層次的觀察、分析、比較、交流活動，幫助學生厘清“倍”的本質特征是兩個量之間的比較關系，兩個數量比較時，分清誰是標準量最為重要。為此，在活動中設計了標準量數量的變化、位置的變化，通過非本質屬性辨析，為學生理解“倍”的本質屬性積累豐富的認識經驗。

同時，在學生交流、表達自己想法的過程中，師生之間、生生之間的互動辨析，一方面豐富學生“倍”的表象，另一方面也幫助學生厘清了思維上的模糊點，學生對“倍”的概念也由具體認識逐步走向抽象理解。

三、讓學習“摸得著”，完善“倍”的建構

學生在認識倍的過程中，從“倍”的直觀模型到抽象“倍”的數量關系，不僅需要積累“倍”的表象，還需要在練習中，糾正認識過程中的思維偏差，從而完善“倍”的建構。他們學習“倍”的路徑看得見、摸得著，為今后進一步學習提供了豐富的數學學習經驗。

1.擺一擺，豐富“倍”的模型。

教學片段：

師：用小棒擺一擺。

第一行：

第二行：

第二行的根數是第一行的3倍。

師：你們擺的都不一樣，為什么都說第二行的根數是第一行的3倍呢？

生1：因為第二行里面都有3份。

生2：我發現第一行擺一份，第二行擺這樣的幾份，根數就是第一行的幾倍。

師：下面的同學擺的對嗎？能表示第二行是第一行的3倍嗎？

生1：不能，看不出來第二行里面有3份。

生2：有3份，第一行有2根，2根為一份，第二行里面有3個2根，只不過他沒有2根2根地擺。

師：沒有2根2根地擺，可以嗎？

生：可以，只要第二行擺的根數含有3份第一行的根數就可以啦。

通過練習讓學生體會到，只要多倍量里面含有幾個一倍量，那么多倍量就是一倍量的幾倍。打亂小棒的擺放，讓學生從關注直觀模型，跨越到關注小棒的數量，幫助學生對倍的認識逐步從感性上升到理性。讓學生的思維從“倍”的直觀模型過渡到抽象“倍”的本質內涵。

2.畫一畫，豐富“倍”的內涵。

教學片段：

師：畫三角形，如果圓的個數是三角形的1倍，你會畫嗎？

師：圓的個數還可以是三角形的幾倍呢？你會畫嗎？請想一想，再畫一畫。

提供材料幫助學生突破并完善“1倍”關系的建構。同時讓學生去思考，知道“幾倍量”如何確定“一倍量”呢？借助這樣“可視化”的操作，來幫助學生在思辨中提升自己的思維，完善“倍”的建構。

“可視化”的教學，既能讓老師看得見學生的學，找準起點，又能促進學生的學，建立表象，抽象出數學本質。讓學生真正經歷知識的形成過程。