巧用數學導數思想解決物理問題的思路分析

摘要：數學中的導數思想對解決物理概念的引入，分析物理量變化和求極值問題有很大的幫助，在高中物理教學中，我們可以巧用數學的導數思想解決一些復雜的物理問題。文章以高中物理魯科版教材中的瞬時速度的引入、瞬時功率推導、速度的分解、簡諧振動的速度、加速度、周期分析、交變電流中感應電動勢的分析中存在不足進行反思和改進，總結數學導數思想在解決物理問題中的一些應用。

關鍵詞：導數應用;物理定義;極值問題;斜率;交變電流

應用數學方法解決物理問題是物理教學的一項重要內容，也是高考能力考查的重要組成部分。新課程下的高中數學教材人教版的《選修2～2》新增了《導數及其應用》這一章節，使得導數在物理教學的應用成為現實，文章從導數的定義出發，針對教材中出現的一些不足和實際教學一些經驗，探索總結利用導數思想解決物理問題的一些思路。

一、 導數的第一定義和極限思想

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx時，相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。若ΔyΔx在Δx→0時極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，函數在點x0的導數記為f′（x0）。圖象上即該點切線的正切值tanα，也叫該點的斜率（如圖1）。

二、 利用導數定義導出新的物理量

（一）相關知識

瞬時速度v=dsdt、加速度a=dvdt、瞬時功率P=dWdt等。

（二）教材實例分析

【例1】必修一瞬時速度的引入是在介紹平均速度的基礎上，通過極限逼近思想，引入瞬時速度。進而介紹光電門的原理。如果能結合導數導數的意義進行分析，學生更容易理解瞬時速度是描述某個時刻或位置的位移隨時間變化快慢的物理意義。加速度的引入也是在勻變速的情況下引入，如果能再結合導數意義分析，更有利于學生理解加速度是描述速度變化快慢的物理意義。

【例2】必修二瞬時功率的引入是在介紹平均功率的基礎上，以物體勻速為情景，推導出瞬時功率的公式。如果能利用導數分析，更有利于學生理解P=Fvcosα的普適性和功率表示做功快慢的物理意義。

推導過程：P=dWdt=d（FScosθ）dt=Fcosθdsdt=FVcosθ。

【例3】必修二運動的合成分解，涉及關聯速度問題，學生總是出錯，不知道對誰速度分解？沿哪個方向分解？怎么分解（如圖2）？如果能利用導數思想，只要畫出運動的位移關系就可以輕松導出速度關系（如圖3）。

推導過程：位移關系S1=S2·cosθ，兩邊求導得V1=V2·cosθ，這樣可以大大降低錯誤率。

【例4】選修3-4介紹簡諧運動時，教材只是從振子的受力入手分析加速度，通過實驗模擬簡諧運動圖象，最后用一句“實驗和理論都表明，簡諧運動的圖象是一條正弦或余弦曲線”得出運動方程。在介紹單擺周期時，也是在實驗定性分析單擺周期與擺長關系后，便以一句“進一步的研究表明，單擺的振動周期T與擺長L的平方根成正比，與重力加速度g的平方根成反比”直接給出周期公式。物理是建立在大量實驗事實和嚴謹的數學推理之上的學科，如果能在實驗的基礎上，結合數學導數推導位移、速度、加速度、回復力的變化關系，進而求出簡諧運動的周期，對于學生的科學思維和能力提升有很大的幫助。

推導過程：如下圖4取質點在平衡位置向右開始計時。

位移方程：x=Asinωt

瞬時速度：v=dxdt=Aωcosωt（可得：vm=Aω）

加速度：a=dvdt=-Aω2sinωt=-ω2x結合a=-kxm

可得：ω=km，T=2πω=2πmk。同理可求出單擺周期T=2πLg

如果再結合函數圖象，也很容易看出速度和加速度的大小變化和方向。

三、 利用導數求極值問題

（一）相關知識

若函數在某點導數為0，說明函數在該點的變化率為0，即函數在該點取極值。可能是最大值，也可能是最小值。

（二）教材實例分析

【例1】必修一分析做變速運動和圖象問題，當速度v=0，位移s取最值。（追及：v相=0，相距s相取最值）。

【例2】必修二分析汽車啟動問題，當加速度a=0，速度取最值。

【例3】選修3-4分析簡諧運動平衡位置，加速度a=0，速度取最值。

在實際教學中，經常結合圖像分析，或者特殊位置分析法分析最值問題。如果能結合數學導數思想，速度是位移的時間導數，當速度為0，位移取最值，加速度是速度的時間導數，當加速度為0，速度取最值。更能加深學生的理解。

四、 利用導數求物理量的變化情況（單調性）

（一）相關知識

函數在某點的導數大于零，表示函數值在增加;反之減小。

（二）教學實例分析

【例1】必修一運動圖象分析，往往通過斜率正負來判斷速度或加速度的變化。但是高一年學生沒有斜率的相關知識準備，教學是以結論生搬硬套給學生，跳躍太大，過度不自然，不利于學生的理解。如果能先用一節課對導數定義和斜率意義進行講解，更有助于學生理解。

【例2】選修3-1中，分析等量同種電荷的電場在中垂線上的變化（如圖5），教學中經常用特殊位置分析法，即中點O為零，無窮遠為零，P點不為零，得出電場沿中垂線向外先變大再變小。如果能用電場疊加結合數學求導思想，不僅能找出變化情況，還能求出A點的位置及最大值;不僅可以考察學生電場的疊加知識還能鍛煉學生的數學分析能力。

推導過程：平行四邊形求P點的合電場

E1=2kQl2sinacos2aa∈0，π2

E′1=2kQl2（cos3a-2sin2acosa）

開始α小，cos2a>2sin2a，E′1>0，場強增大

后來α大，cos2a<2sin2a，E′1<0，場強減小

當cos3a-2sin2acosa=0，即tanα=22電場取最大值為43kQ9L2

五、 利用導數意義分析物理圖像

（一）相關知識

函數在某點的導數，其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率，結合導數的物理意義可以十分便捷地分析一系列物理問題。

（二）教學實例分析

【例1】必修一運動圖象分析，位移-時間圖象的斜率表示該點的瞬時速度，速度-時間圖象的斜率表示該點的瞬時加速度。

【例2】選修3-1電勢-位置圖象的斜率表示該點的電場大小。

教學中發現，學生往往把斜率和比例混在一起，我們物理經常用比值定義法來定義一些新的物理量。如電阻定義R=UI，彈簧勁度系數定義k=Fx，電容的定義C=QU，電場強度定義E=Fq等，這些在圖象分析時只能算比例。

六、 利用導數分析電磁感應

（一）相關知識

由法拉第電磁感應定律可知，電路中感應電動勢的大小與穿過電路的磁通量變化率成正比，表達式ΔΦΔt=nΔΦΔt，利用導數，其中φ=BSsinθ。

（二）教材存在問題和教學遇到的困難

（1）選修3-1《交變電流是怎樣產生的》這一節，教材先通過復習感應電流產生的條件：閉合線圈中的磁通量發生變化來介紹交流發電機的原理，而整節課卻都利用切割法分析交變電流的產生。（2）求瞬時值利用切割法分析會造成諸如如何畫截面圖，如何對切速度進行分解計算等一些困難。（3）教材利用切割法求出的最大值2nBLV，可在實際考查應用時，很少出現切割速度這個物理量，都是要建立起轉速，角速度，周期，線圈面積這些物理量的聯系。而普通學生沒有老師的進一步引導，很難得出這樣的結論。（4）切割法存在適用范圍，對于非矩形線圈，或者不是繞線圈的中心軸轉動，切割法就不能適用。

（三）反思改進

分析交變電流的變化規律，可以從磁通量入手，結合法拉第電磁感應定律，利用數學求導直接得出感應電動勢隨時間變化規律，并結合圖像分析，磁通量和電動勢的變化關系（如圖6）。

推導過程：如圖6從中性面開始計，t秒后：θ=ωt

磁通量：Φ=BScosωt

感應電動勢大小：E感=E=nΔφΔt=nΔB×sΔt=nB×ΔsΔt=nBSωsinωtEm=nBSω

感應電流大小：i=E總R總=εmR總，sinωt=imsinωt

總之，導數思想在物理研究中有著廣泛的應用，新課改導數引入高中課堂，導數在物理教學中的應用將越來越受到老師的關注。

參考文獻：

[1]廖伯琴.普通高中課程標準實驗教科書《物理》[M].濟南：山東科技出版社，2019.

[2]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2019.

作者簡介：

傅培旭，福建省泉州市，福建省泉州第十七中學。