兩道一類不等式題的教學所引發的思考

葉德武

摘要：創新思維的核心思想是聯想和想象，在數學教學中，“問題是數學的心臟”，對某些結論的拓寬和推廣是培養數學思維素質中聯想和想象的最有效方法之一。

關鍵詞：主體;不等式;換元法;公式法;構造法

教學過程，是教與學的統一過程，學生是學習的主體，而學生的學習又是在老師組織引導下進行的，因此教是外因。我們知道內因是依據，外因是條件。外因必須通過內因才能起作用。因此，正確處理教與學的關系，是提高教學質量的關鍵。

課堂教學中，教師的主導和學生的主體作用主要體現在教師如何通過自己的教學，激發學生學習的自覺性和積極性，如何去引導學生主動去觀察、思考、聯想、探索，通過他們自己的努力去獲取知識，使他們不但學會知識，而且懂得如何去學，這是發揮教師的主導作用和學生主體地位的根本所在。

文章就兩道一類不等式的解題教學來展示和記述在上述理念指導下如何提高學生思維能力和改進數學課堂的教學。不等式的證明和求解，在高中課程占了很大比例，尤其是將各個章節知識的串聯、并聯，結成知識網絡起到了很大作用，又能充分訓練學生的思維。

一、 問題教學

問題1：已知a>0，b>0且a+b=1，求證：2a+1+2b+1≤22。

問題2：已知a>0，b>0，c>0且a+b+c=1，求證：3a+1+3b+1+3c+1≤32。

T：對于問題1來說，兩式2a+1、2b+1之和小于或等于22，那么又如何利用a+b=1？

S：那，可不可以看成一個整體，不妨設2a+1+2b+1=k。

T：那如何各自表示2a+1、2b+1單個主體？

S：可用近期剛講過的均值換元。

T：可以呀，在均值12k的基礎上再加減一個數，注意兩式之和為k。

（一）換元法

1. 設2a+1+2b+1=k，2a+1=12k+t2，2b+1=12k+t2，則t1+t2=0，則有2a+1+2b+1=12k+t12+12k+t22=12k2+t21+t22≥12k2。

又因為a+b=1，所以4≥12k2，即k≤22，故2a+1+2b+1≤22。

T：問題2與問題1之間有何聯系？

S：類似噢，同樣可令3a+1+3b+1+3c+1=k，這樣每一個表達式為13k基礎上再加減一個數。

T：很好！

2. 設3a+1+3b+1+3c+1=k，3a+1=13k+t1，3b+1=13k+t2，3c+1=13k+t3，且t1+t2+t3=0，以后證法與上面相同，故略。

T：我們再回到常見的幾個不等式之間關系：ab≤a+b2≤a2+b22，a≥0，b≥0，當且僅當a=b時取“=”，題目中出現了2a+1、2b+1，自然想到上式的后一個不等式，即a+b≤2（a2+b2），大家想一下如何用公式法？

S：把2a+1、2b+1看成（2）中左邊的a與b。

T：很好！

（二）公式法

ab≤12（a2+b2）（當且僅當a=b時取等號）

1. 當且僅當2a+1=2b+1=2時等號成立。

因為2·2a+1≤12（2+2a+1）=12（3+2a），

2·2b+1≤12（2+2b+1）=12（3+2b）。

將上述兩式相加，得

2（2a+1+2b+1）≤12（6+2a+2b）=4。

所以2a+1+2b+1≤22。

2. 當且僅當3a+1=3b+1=3c+1=2時等號成立。

因為2·3a+1≤12（2+3a+1）=12（3+3a），

2·3b+1≤12（2+3b+1）=12（3+3b），

2·3c+1≤12（2+3c+1）=12（3+3c），

所以將上述三式相加，得

2（3a+1+3b+1+3c+1）≤12（9+3a+3b+3c）=6，即3a+1+3b+1+3c+1≤32。

T：其實，要證2a+1+2b+1≤22，很容易想到什么？

S：兩邊平方。

T：這是什么方法？

S：分析法。

T：是的，即（2a+1+2b+1）2≤（22）2即4（2a+1+2b+1）2-32≤0，是否能想到Δ=b2-4ac≤0？開口向上拋物線函數值恒大于0，那想到什么方法？

S：構造函數法？

T：漂亮！你們真厲害！

（三）構造函數法

1. 構造函數f（x）=（2a+1·x-1）2+（2b+1·x-1）2

=4x2-2（2a+1+2b+1）x+2。

因為f（x）≥0，所以Δ≤0，

即4（2a+1+2b+1）2-32≤0。

所以2a+1+2b+1≤22;

2. 構造函數f（x）=（3a+1·x-1）2+（3b+1·x-1）2+（3c+1·x-1）2

=6x2-2（3a+1+3b+1+3c+1）x+3。

因為f（x）≥0，所以Δ≤0，以后證法同上，略。

T：大家已發現上述兩式之間聯系及共性，能否再找出一般性結論？關鍵注意題a，b的系數與結論中2的系數，用數字試一試！

二、 四個推論

用上述證法可以得到以下推論：