基于多元表征相結合的分數除法教學探析

王振恒

【摘要】“分數除法”一直是小學數學教學的重難點。許多學生只是單純記住分數除法的計算方法，卻對其背后的算理并不理解，甚至不少數學教師對于分數除法教學中，對“為什么要把分數除法轉化為乘法計算”也無法給予合理的解釋。它的算法有遵循的規則，但是其理論很難融合。通過連接與分數有關的概念并使用直觀圖形表示，教師可以促進學生對算理的理解。

【關鍵詞】分數除法;多元表征;算理

在大量研究中，大多數學生僅記得分數除法的算法，卻并未真正搞懂其所依托的算理。因此，當涉及分數除法時，學生通常是一團糟。人教版教材中已經出示多種證明的方式，但由于編排順序、例題跨度、教學方法缺乏統一性等諸多客觀原因，使得教師在實際教學中難以有效實現編者的教學意圖。因此筆者結合人教版分數除法教學內容，探討如何有效利用教材，提升學生分數除法學習的有效性。

一、完善相關例題，形成層次性

從整體來看，分數除法計算法則的得出過程缺乏系統性。首先，計算的教學只安排了兩個例題，而蘇教版卻安排了四個例題。對比之下，教材中例題所對應的類型雖然全面，但例題間各類型的跨度較大。其次，例2同時包含了整數除以分數、分數除以分數的算法，內容量過大，導致學生無法深刻理解分數除法與分數乘法的轉換過程。分數除以分數的教學中，又直接出示了異分母分數的計算，并且教學過程中既沒有圖示，也沒有必要的算理性的說明，大多數學生只能囫圇吞棗地套用法則。

數學的學習，不僅僅需要記住規則定律，更需要通過不同的途徑對同一個問題進行探討和研究，知其然而知其所以然，在不斷發現、不斷總結的過程中，思想才能升華。因此教師應當合理安排教學素材，適時做好鋪墊與拓展。教材中是把分數除以整數作為起點，在整數除以分數、分數除以分數的教學時卻比較簡略。因此，在接下來的教學建議以下表為例，做部分補充與鋪墊（表格中加粗部分的內容，就是需要教師添加的教學素材）。

按照上表這樣的順序，能夠更有層次地學習分數除法中的各種類型，以便學生更好地理解各類型之間的聯系。

二、數形表征結合，理解計算法則

教材中多次采用了數形結合的方式，如何深入探究，挖掘其背后的價值？如何真正讓圖形發揮其應有的作用？在數形結合的教學中，我們絕不能淺嘗輒止，要統一表征形式，以便學生更好地理解數與形的聯系點，從而借助圖形的直觀性，真正理解分數除法與分數乘法的轉換關系。

例1中的分數除以整數，都采用了條形圖的形式進行表示，這樣就能夠在形式上與之前的分數乘法產生聯系。但例2整數除以分數時，并未沿用這種形式，而是引入了線段圖的方式，并且又是以行程問題的情境出示的，其難度對于基礎一般的學生而言，無疑是非常大的。誠如數學家保羅·洛克哈特所言，這樣的情境對于分數除法的新授課弊大于益。筆者認為，用簡單的平均分問題代替，會讓學生的關注點更集中。而在分數除以分數中，教材并未探究圖形的表示方法，而這恰恰是學生知識技能的難點，需要教師適時地幫助突破。

在大量研究中，大多數學生僅記得分數除法的算法，卻并未真正搞懂其所依托的算理。因此，當涉及分數除法時，學生通常是一團糟。人教版教材中已經出示多種證明的方式，但由于編排順序、例題跨度、教學方法缺乏統一性等諸多客觀原因，使得教師在實際教學中難以有效實現編者的教學意圖。因此筆者結合人教版分數除法教學內容，探討如何有效利用教材，提升學生分數除法學習的有效性。

一、完善相關例題，形成層次性

從整體來看，分數除法計算法則的得出過程缺乏系統性。首先，計算的教學只安排了兩個例題，而蘇教版卻安排了四個例題。對比之下，教材中例題所對應的類型雖然全面，但例題間各類型的跨度較大。其次，例2同時包含了整數除以分數、分數除以分數的算法，內容量過大，導致學生無法深刻理解分數除法與分數乘法的轉換過程。分數除以分數的教學中，又直接出示了異分母分數的計算，并且教學過程中既沒有圖示，也沒有必要的算理性的說明，大多數學生只能囫圇吞棗地套用法則。

數學的學習，不僅僅需要記住規則定律，更需要通過不同的途徑對同一個問題進行探討和研究，知其然而知其所以然，在不斷發現、不斷總結的過程中，思想才能升華。因此教師應當合理安排教學素材，適時做好鋪墊與拓展。教材中是把分數除以整數作為起點，在整數除以分數、分數除以分數的教學時卻比較簡略。因此，在接下來的教學建議以下表為例，做部分補充與鋪墊（表格中加粗部分的內容，就是需要教師添加的教學素材）。

按照上表這樣的順序，能夠更有層次地學習分數除法中的各種類型，以便學生更好地理解各類型之間的聯系。

二、數形表征結合，理解計算法則

教材中多次采用了數形結合的方式，如何深入探究，挖掘其背后的價值？如何真正讓圖形發揮其應有的作用？在數形結合的教學中，我們絕不能淺嘗輒止，要統一表征形式，以便學生更好地理解數與形的聯系點，從而借助圖形的直觀性，真正理解分數除法與分數乘法的轉換關系。

例1中的分數除以整數，都采用了條形圖的形式進行表示，這樣就能夠在形式上與之前的分數乘法產生聯系。但例2整數除以分數時，并未沿用這種形式，而是引入了線段圖的方式，并且又是以行程問題的情境出示的，其難度對于基礎一般的學生而言，無疑是非常大的。誠如數學家保羅·洛克哈特所言，這樣的情境對于分數除法的新授課弊大于益。筆者認為，用簡單的平均分問題代替，會讓學生的關注點更集中。而在分數除以分數中，教材并未探究圖形的表示方法，而這恰恰是學生知識技能的難點，需要教師適時地幫助突破。

如何更好地解決這些難點，筆者認為可以弱化情境，由分數意義出發進行探究，并統一用條形圖進行表示。如上表中所提，先教學整數除以幾分之一，從例1的分數的意義“包含除”入手，4÷看作求4里面有幾個，則可以直觀求得8個。同時也可以從除法的意義入手，4÷看作一個數的（一半）是4，求這個數。

至此，通過多元化的表征形式，從算法到算理，構成了一個完整的知識結構。不僅如此，因為學生已經有了之前的學習基礎，相信能夠更容易理解分數除法與四則運算的緊密聯系，同時通過通分法與顛倒相乘法的對比，明白數學中的許多運算法則其本質都是人為的一種選擇。當下分數除法計算教學中，將分子分母顛倒相乘的計算法則，只是一種合適的數學選擇。

【參考文獻】

[1]顧志能. 教學，多站在教育的角度——從分數除法教學談起[J]. 小學教學（數學版），2011.

[2]姜榮富. 理通則法明——分數除法算理理解的教學路徑[J]. 小學教學（數學版），2013.

[3]王琳. 海峽兩岸小學數學教科書的比較分析[D]. 天津師范大學，2012.

[4]于新華，楊之. 數學理解的層次性及其教學意義[J]. 數學教育學報，2005.