“同心協力”策略研究

張燕琴 王才明 李勇

摘要：本文根據動力學分析、剛體的轉動定律、動量守恒定律以及動能守恒定律等物理學知識建立了理想狀態下的最佳協作策略模型以及轉矩傾斜模型，并結合現實情形對該模型進行了優化，建立了合適的指標衡量實際情況下該策略的實施效果，具有一定的參考價值。

關鍵詞：動力學分析;轉動定律;轉矩傾斜模型

“同心鼓”是一項團隊協作的項目，在同心鼓的邊緣均勻固定著多條繩子，要求每個隊員通過拉繩使球顛起，并使其有節奏在鼓面上做往返運動。在顛球的過程中，要求隊員只能手握繩子的尾部，而不能接觸其他位置。要求建立模型求解出項目的最終目標，使連續顛球的次數盡可能多。

1基于動力學分析的最佳協作策略模型

1.1碰撞過程中關系式的建立

碰撞前，在忽略空氣阻力作用的影響下，球在重力的作用下做自由落體運動，直到與鼓發生碰撞。鼓在繩子的作用下做加速運動，直到與排球發生碰撞。在此過程中，根據運動學定律，對排球而言，有

對于雙面鼓而言，在其上升過程中，θ隨其而不斷發生改變，從最初時刻的θ₀不斷減少至發生碰撞結束。

根據牛頓定律，可得到雙面鼓的加速度a_θ與繩對鼓的作用力F的關系式為

碰裝過程中，可知理想狀態下的碰撞為完全彈性碰撞，存在動能守恒與動量守恒，基于該定律得到如下關系式。

碰裝后，自排球與雙面鼓碰撞結束后，在忽略空氣阻力的影響下，排球將以重力加速度g做豎直向上的減速運動，雙面鼓在人的作用下保持某一狀態。因而在此過程中，根據運動學定律，有

1.2綜合模型的確立

理想狀態下的最佳協作策略從以下兩種情形進行考慮最佳協作策略首先需要滿足顛球高度大于40cm的條件，其次考慮第一種情形時，隊員人數n、繩子長度s、初始位置較繩子水平時下降的高度l不變，確定滿足條件繩的最小拉力值;再考慮第二種情形時，保持繩的拉力F、繩子長度s、初始位置較繩子水平時下降的高度l不變，確定滿足條件隊員人數n的最小值。

2基于矩陣作用的鼓面傾角模型

2.1傾斜角度的確定

（1）力矩的分解與合成

基于上述分析，可知作用在鼓邊緣的力可以分解該點的矢徑方向與豎直向上的方向，其中分解到矢徑方向的力對鼓面的傾斜沒有影響，故而只考慮豎直反向上的力產生的力矩。

（2）鼓面傾角公式的推導

根據上文得到的鼓面在x、y軸方向上的傾斜角度P_X、P_Y，建立空間直角坐標系對其進行推導求解，坐標系如圖3所示。

3最佳協作策略模型的優化

在問題二中，通過將各個力矩分解到x、y軸，分析每個力矩的作用效果。由于各個力矩在圓周的邊緣呈均勻分布狀態，根據圓的對稱性，可知兩個呈對稱分布的力所產生的力矩的作用效果兩兩相互抵消，如圖4所示。

觀察該圖，可以發現M₃和M₇大小相同，方向相反。對鼓產生的綜合效果不會使鼓面發生傾斜。

基于問題一中的最佳協作策略模型，主要從用力方向和力度兩個方面進行優化。鼓面保持水平時，則不需要控制每個隊員的用力方向和力度都相同，只需滿足在圓內呈對稱分布的隊員的用力時機和力度相同即可。即

其中n為隊員的個數，根據圓的對稱性可知第i個隊員與第個隊員成對稱分布。

4模型的結果

1）已知變量

由于球偏離豎直方向產生傾斜，且傾斜方向在水平面上的投影為在兩位隊員之間，且分別與兩位隊員產生的角度比為1：2，其角度關系如圖5

由于人數為10，因此相鄰兩個力之間的角度為36°，則該兩名隊員對繩子的拉力存在著某種關系，由三角形的正弦定理有

2）合理猜想

當球的傾斜方向在水平面上的投影指向某兩位隊員之間時，其原因可能是該隊員存在提前發力情況，其余隊員產生的力的大小與發力時機可視為相同，適當簡化了求解隊員的發力時機和力度的過程。

3）發力時機和力度的確定及實施效果的檢驗

以球的偏離角度B最小、球的反彈高度盡可能略大于0.4m為目標，通過Matlab程序_[2]，求解得到所有隊員的發力時機及力度，其結果如表6所示

此時球的偏離角B=0.532°，衡量該策略的實施效果的指標B修=93.42%，該指標值與1很相近，表明該策略在一定程度上的可行性較高。

參考文獻

[1] 薛艷霞，蘇振超.理論力學中等效力系的幾個性質.嘉應學院學報[J].2019.37：40-42.

[2] 司守奎，孫兆亮.數學建模與算法運用[M].北京：國防工業出版社，2015.4：430-438.