探討概率論與數理統計的教學

方煒

摘 要：概率論與數理統計是大學數學教學中的一個分支，也是比較重要的學科，它是對隨機現象的發生和事物統計規律性的研究。與其他數學知識一樣，概率論與數理統計在日常生活中的應用十分廣泛，同時對經濟、管理、軍事和科技等領域的貢獻也尤為突出。因此，如何通過豐富的教學方法來促進學生對該學科知識的學習與應用，是老師們需要認真思考的問題。基于此，本文將對概率論與數理統計的教學方法展開探究。

關鍵詞：大學數學;概率;數理統計

任何教育教學模式的試驗與研發，都是為了讓教學效果達到最優化。學生對知識的學習與理解，不僅僅體現在最后的考試卷中，知識最終的去向是生活，學以致用，在大學教育中應該得到更好的發揮。那么如何通過生動有趣的教學，吸引學生更好地學習概率論與數理統計呢？筆者將從以下三個方面闡述。

一、從概率論的角度看彩票投資問題

如果說股票只是少部分人的專利，那么彩票則更加大眾化，概率論知識同樣可以應用于此。

在講述彩票中獎概率之前，我們先來給大腦熱熱身：一枚被拋起的硬幣，落地后正面和反面朝上的概率各為多少？這是個不能再簡單的概率問題了：二分之一。即便經過無數次試驗，正面和反面朝上的比例仍為1：1。那么這是否能夠說明彩票的中獎概率同樣為50%呢，顯然不是。因為彩票所包含的元素更多，規則也比較煩瑣。新加坡有一種叫“萬字票”的玩法：從0—9十個數字中選擇，構成一組4位數，如2587、0595。但要注意，里面的每一個數字都要在0—9中重新選擇，因此，中獎概率應為1/（10×10×10×10），即萬分之一。

一注號碼投入金額為1新幣，如果全部購買所需要的成本為10000元新幣，那獎金總額為多少呢？一等獎3000新幣（1個號碼），二等獎2000新幣（1個號碼），三等獎1000新幣（1個號碼），入圍獎250新幣（10個號碼入選），安慰獎50新幣（10個號碼入選）。即便購買全部號碼，中獎金額也僅為9000新幣，還虧損1000新幣。如果按照一周三次開獎頻率，且固定一個號碼購買，也要連續買69年才能中獎。當然，這種算法僅限于理論，因為彩票中獎是隨機性的，但它確實也反映一些問題。根據新加坡政府規定，每期彩票發行后，發行者要拿回彩金的50%，也就是說，只有50%的彩金可以作為獎金發放給中獎的彩民，這樣平均算來，彩民每投資1新幣，只能獲得0.5新幣的回報，這顯然是不劃算的。

二、概率論知識在生活中的應用

隨著生活的逐漸富裕，更多的人開始把眼光放到投資行業中，以謀求更高的回報，例如對股票的投資。那么如何將概率論知識應用到股票買賣中呢？下面我們來簡要分析一下：

假設有航天動力、中科曙光、恒生電子三只股票，且三者相互獨立，如果對三只股票分別投資，那么客戶獲利的概率分別為：0.85、0.7、0.65。那么如何進行投資才能使所獲利潤最大化。

分析：根據所掌握的情況可知，航天動力、中科曙光、恒生電子三只股票獲利是獨立的，現在設定X、Y、Z依次代表航天動力、中科曙光、恒生電子，那么單獨投資這三只股票獲利的概率為：

P（X）= 0.85，P（Y）= 0.7，P（Z）= 0.65

如果從這三只股票中選擇兩支進行投資，那么概率應該是：

P（XY+XZ+YZ）

=P（XY）+ P（XZ）+ P（YZ）- 2P（XYZ）

= P（X）P（Y）+ P（X）P（Z）+ P（Y）P（Z）- 2P（X）P（Y）P（Z）= 0.85×0.7+0.85×0.65+0.7×0.65-2×0.85×0.7×0.65≈0.84

如果對三只股票同時進行投資，那么所獲利的概率為：

P（X+Y+Z）=P（X）+P（Y）+P（Z）- P（XY）- P（XZ）- P（YZ）+ P（XYZ）= 0.85+0.7+0.65-0.85×0.7-0.85×0.65-0.7×0.65+0.85×0.7×0.65≈0.99

通過對比上述三種結果，大家可以非常清楚知道，對三只股票進行投資獲益最大。

三、概率論與數理統計在刑事案件中的應用

美國橄欖球運動員辛普森在1994年的殺妻案已被越來越多人所熟知。庭審階段，為了幫助委托人洗清犯罪嫌疑，辯護律師所提出的概率論與數理統計學知識受到很多人的質疑。

法庭上，辯護律師提出：“在美國，平均每年有 400 萬女性被施以暴力，可最終只有 1400 名女性死于自己丈夫的虐待。這項數據顯示，因被虐待而死于丈夫之手的女性比重僅為1/2500。”該邏輯聽起來似乎言之確鑿，其荒謬的思維方式最終影響了法官的判斷，由于檢方沒有足夠的理由進行反駁，辛普森只好被判無罪釋放。

利用概率論和數理統計的知識對案件進行詳細分析后，我們知道，辯方律師在法庭上的辯詞只是狡辯：假設，妻子被自己丈夫虐待的事件為X，妻子被丈夫殺死的事件為Y，并以此為基礎前提，辯方律師給出了條件概率P（Y/X）=1/2500。這個邏輯本身沒有任何問題，但它與辛普森案件的性質不相符。該案件的發生前提是，妻子已經被辛普森虐待了，因此事件X已確定，那么它的概率就是100%，并且辛普森的妻子被殺也是事實，只是不確定誰是兇手。所以，上述X與Y的真實含義是，X：丈夫對妻子長期施以家暴，并且妻子被殺;Y：兇手，由此得到的條件概率為：P（Y/X）=92%，這個數字是基于在45名受到過家庭暴力，并被謀殺的女性中，有41人死于自己丈夫之手的數據統計中得出的。

檢方律師和法官之所以沒有提出反駁，是因為他們被辯方律師對概念的刻意混淆所影響了。換句話說，辯方律師的辯詞沒有從案件本身出發做出假設。另外，即便辛普森本人家暴傾向嚴重，但在沒有極具說服力的證據被提供時，仍然存在犯罪嫌疑人被誣陷的可能。無論是從數理統計的假設檢驗中降低受偽錯誤的理論出發，還是從美國法律疑罪從無的思想來看，辛普森最終都不應該被判無罪釋放。

結語

綜上所述，概率論與數理統計作為大學數學學科的重要分支，在實際生活中扮演著十分重要的角色;認真的分析與準確的判斷，對事物的進程起到重要的影響。因此，由實際問題出發帶入專業知識的學習，對學生理解教學內容和掌握技能具有特殊意義。相信通過老師對教學方法的不斷更新與探索，概率論與數理統計的教學效果會更加明顯。

參考文獻

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