一種新的球面大圓距離積分解算模型

柳洪剛 張軍

摘? 要：球面距離解算是航海學和大地問題計算的一個重要的、基礎性內容，可為艦船航跡規劃、目標運動要素計算提供基礎。以現有大圓距離解算的球面三角公式為基準，對論文構建模型的準確性進行了仿真檢驗，仿真結果表明，在兩點兩點間大圓距離不斷變化的情況下，該文模型的解算誤差始終控制在10-8（m）的數量級上，論文構建的距離解算模型有效，計算精度與球面三角公式相當。

關鍵詞：球面大圓距離? 球面三角? 積分解算

中圖分類號：U666.1 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）06（a）-0189-02

在一般航海計算中，通常視地球為圓球體，并在球面上解算大地問題。而在高精度航海計算中，常采用參考橢球體參數，首先將橢球面元素投影到球面，在球面上解算大地問題，再將求得的球面元素按投影關系變換為橢球面上相應的元素[1]。由此可見，無論是一般計算還是高精度計算，球面大地問題解算是重要基礎。

球面大地距離主要指的是兩點間大圓劣弧長，通常采用球面三角公式進行距離解算。論文以球面距離解算為研究對象，在分析了現有解算從大圓性質特點出發，提出并構建了全新的球面大地距離解算模型。

1? 現有大圓距離解算模型簡述

據不完全統計，大地問題解算方法目前有70多種[2]。這些方法中比較經典的有直接對大地線微分方程進行積分的方法和利用地圖投影理論解算大地問題的方法。第一種方法利用大地線在大地坐標系中的微分方程，直接在橢球面上進行積分運算，這種積分通常不能直接計算，可將大地線微分方程積分問題轉化為級數收斂問題或通過高斯法、龍格庫塔法等進行數值積分。第二種方法的基本原理是根據不同法則建立橢球面到球面的對應關系，進而在球面上研究大地問題解算，最后轉化到橢球面上，貝塞爾大地投影就是其中非常典型的一種方法。

大圓距離解算是大地問題解算的一種特殊情況和基礎問題[3]，其是在地球近似球面上研究兩點間最短距離的問題。較常用的計算方法主要是基于球面三角的大圓公式。

如圖1所示，pN為球面北極，p1、p2為球面上兩點，其球面緯度分別為φ1、φ2，球面經差為△λ，大圓弧p1p2的長度為D，α1、α2為球面角。

在地球圓球體上，距離解算問題主要求解兩點間大圓劣弧長，因此可歸結為解算圖1中極球面三角形△p1p2pN，通過球面三角公式：

大圓距離由上式求解，以“m”為單位，則有[4]：

現有模型主要基于球面幾何以及極球面三角形解算兩點間大圓距離。

論文嘗試一種新的思路，即從球面微分三角形△pxpx′py′及球面幾何約束條件著手，分析大圓弧幾何特性，構建一種新的大圓距離積分解算模型。

2? 大圓距離的積分解算模型

在圖1中，假設在大圓弧p1p2取任意一段弧長為無限小的圓弧pxpx′，px、px′間的球面緯差為dφ，py′在過py點的子午線上并與px′同緯度，F為px點的大圓弧方位角，這樣三角形△pxpx′py′可近似看作球面直角三角形，令點px和py′點緯度差為dφ，則pxpy′長度可表示為：

這種積分求取兩點間大圓弧距離的方法不需要兩點的經度或經度差信息，只需兩點的球面緯度及其中一點的大圓弧方位角，即可實現大圓距離的解算。

3? 模型解算的準確性檢驗

為驗證積分法的準確性，以球面三角公式（2）解算的大圓距離為基準，檢驗該文構建模型的解算誤差。令其中一點p1（123.0°N，33.0°N），設置點p2位置，令p2經度變化范圍為[123.0°E，125.0°E]，緯度變化范圍為[34.0°N，35.0°N]，計算大圓距離的解算誤差。此處取地球半徑R=6377830（m）。

在p2點的經緯度變化區間內積分法解算的大圓距離如圖2所示，誤差曲面如圖3所示。由圖3可見，積分法求解大圓距離的準確度非常高，誤差控制在10-7（m）的數量級上。

為進一步驗證模型的準確性，兩點相對位置、距離不斷變化，進行了上百次的仿真驗證。另選取一組典型仿真結果如圖4、圖5所示。其中p1坐標（120.0°E，30.0°N），p2經度變化范圍為[120.0°，E，128.0°E]，緯度變化范圍為[32.0°N4，0.0°N]，由圖可以看出，該文模型的解算誤差始終控制在10-8（m）的數量級上。

4? 結語

球面大圓距離解算是大地問題解算的一個重要方面。該文完成了積分法解算大圓距離的推導過程及解算的準確性仿真分析。在兩點經度未知而大圓方位角已知的情況下，積分法能很好地完成大圓距離解算，且積分法推導出的公式計算相對簡單，準確度很高。在一般航海計算中或地圖投影將橢球面計算問題轉化為球面幾何問題后，也可利用積分法進行相關問題的解算。

參考文獻

[1] 王建強，胡明慶.貝賽爾大地主題解算分析[J].測繪科學，2012，37（1）：30-31.

[2] 周振宇，郭廣禮，賈新果.大地主題解算方法綜述[J].測繪科學，2007，32（4）：190-191.

[3] 王志明.混合航線的快速計算法[J].中國航海，2002（1）：37-39.

[4] 范業明，王解先，劉慧芹.大地主題的數值解法[J].工程勘察，2007（1）：61-63.