H∞模糊自適應容積卡爾曼濾波

劉勝，牛鴻敏，張蘭勇，郭曉杰

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在工程設計中，非線性濾波問題普遍存在于信號處理、目標跟蹤等領域，對于非線性系統而言，要得到精確的最優解較為困難，需要精確已知系統狀態的后驗狀態分布。傳統的線性濾波方法[1]不能滿足非線性系統的濾波要求，因此需要對濾波方法進行改進以滿足非線性系統濾波要求，提高濾波精度。一般常用的非線性濾波方法包括擴展卡爾曼濾波，無跡卡爾曼濾波和粒子濾波等。

擴展卡爾曼濾波結構簡單，易于執行，但是該算法采用一階泰勒級數對非線性方程進行線性局部近似，因此對于階段誤差較為敏感，對于高階系統進行線性近似會帶來較大的誤差[2-4]。無跡卡爾曼濾波采用UT變換，以確定性采樣策略逼近非線性系統的狀態后驗分布，雖然能夠減少非線性產生的誤差影響[5-6]，但其容易受到初始觀測誤差和參數變化的影響，當系統維數較高時，可能導致濾波發散等現象。粒子濾波以不確定采樣方法逼近狀態的條件概率密度函數，能夠處理任意非線性和非高斯的估計問題，但粒子濾波實現過程中計算量大，不適用于反應速度快的反饋控制系統;并且隨著迭代次數的增加，容易產生粒子退化和局部最優的問題。近年來，容積非線性卡爾曼濾波的發展受到廣泛的關注[7]，為非線性系統的狀態估計提供新的實現方式。容積卡爾曼濾波使用容積數值積分原則計算非線性變換后的隨機變量的均值和協方差，采用一組等權值的容積點對最優狀態的后驗分布進行逼近，相比于其他非線性卡爾曼濾波具有更高的非線性逼近性能和估計精度，并且其運行速度快。

標準容積卡爾曼濾波 (cubature Kalman filter, CKF)算法設計需要已知精確的系統模型，然而實際情況下，噪聲為非零均值、非高斯噪聲，系統往往受到外界環境干擾以及計算機計算字長限制等，不可避免地存在非高斯非零均值的噪聲以及系統參數攝動的情況，影響濾波的穩定性和精度。因此，近年來一些學者提出了平方根容積卡爾曼濾波方法[8-9]來避免系統發散，然而其計算復雜，濾波速度受到限制。進而，為了提高濾波系統的魯棒性，H∞濾波方法被提出[10]，H∞濾波基于魯棒理論設計，對于系統的攝動和未知特性具有一定的魯棒性，近年來一些學者結合擴展卡爾濾波、無跡卡爾曼濾波應用到電機以及電力系統狀態估計等，取得了較好的效果[11-15]。

此外，在實際工程問題中系統的先驗噪聲統計特性往往不能準確獲得，如果直接應用到CKF算法中，將引起較大的誤差。為了對未知噪聲特性進行估計，噪聲統計估值器和基于極大后驗估計的方法得到應用[16-18]，然而其遞推迭代過程計算量大，并且估值器對噪聲方差的初始值敏感。模糊自適應通過設計模糊規則，根據估計誤差自適應噪聲統計特性，其對噪聲方差的初值不敏感，并且在存在較大估計誤差的情況下，也能實現較好的估計效果[19-20]。

因此，本文提出一種模糊自適應H∞容積卡爾曼濾波方法(H∞Kalman filtering, HCKF)，對系統噪聲和觀測噪聲進行實時估計，使得濾波算法對噪聲特性具有一定的自適應能力，并且對于系統的模型攝動和不確定噪聲具有魯棒性，提高濾波的收斂速度和穩定性。

1 問題描述

考慮如下非線性動態系統狀態方程：

(1)

式中：xk∈Rn為系統的狀態估計向量；zk∈Rl為系統的觀測輸出向量；uk∈Rp為控制輸入向量，假設過程噪聲wk-1和量測噪聲vk相互獨立，且均值和方差滿足：

(2)

容積卡爾曼濾波算法將非線性濾波歸結為求解非線性函數與高斯概率密度乘積的積分問題，并采用一組等權值的2n個容積點對狀態后驗概率密度進行逼近。使用三階容積原則獲得的基本容積點和所對應的權值:

(3)

(4)

2 H∞的容積卡爾曼濾波

實際生產應用中，非線性系統存在參數攝動、未知輸入、觀測噪聲和系統噪聲為非零均值非高斯等情況，從而影響容積卡爾曼濾波性能和穩定性。與傳統的卡爾曼濾波最小化誤差均方差不同，H∞卡爾曼濾波是基于最小化最大估計誤差協方差進行設計的。因此，采用H∞卡爾曼濾波與容積卡爾曼濾波相結合，提高系統對不確定擾動、噪聲的魯棒性和估計精度。H∞容積卡爾曼濾波設計分為以下4個步驟。

1)時間更新。

進行容積點的計算，通過非線性函數進行容積點傳播，以及計算預測狀態向量和系統協方差矩陣。

初始化系統狀態及誤差協方差，系統噪聲均值和方差，測量噪聲均值和方差:

(5)

(6)

設期望獲取的觀測信息為:

yk=Ckxk

(7)

若Ck=I，則實際獲取的觀測量為全部狀態輸出量。根據式(4)產生基本容積點，采用Cholesky方法對協方差進行分解：

Sk-1|k-1=Chol(Pk-1|k-1)

(8)

計算容積點：

(9)

計算通過狀態函數傳播的容積點：

(10)

計算狀態估計值：

(11)

計算估計誤差協方差矩陣：

(12)

2)測量更新。

對容積點進行更新，通過量測方程傳播容積點，預測觀測向量及協方差。

首先對誤差協方差進行分解：

(13)

計算更新容積點：

(14)

計算通過量測方程傳播的容積點：

(15)

進行量測預測：

i=1,2,…,L

(16)

計算新息的方差矩陣：

(17)

計算估計協方差矩陣：

(18)

3)為了便于進行H∞濾波器設計，將容積卡爾曼濾波通過統計線性化等效為線性回歸形式。通過將統計線性化應用于狀態方程和測量方程，得到線性化近似形式。

證明：將非線性函數g=σ(y)在L個容積點(χi,ζi)處傳遞:

ζi=σ(χi)，i=1,2,…,L

(19)

設非線性函數通過統計線性化近似為：

g=Ay+B+μ

(20)

(21)

μi=ζi-(Ayi+B)

(22)

對目標函數分別對A、B求導，得：

(23)

得到：

(24)

(25)

從而計算得到估計誤差方差陣為：

(26)

(27)

現通過求取期望值以及統計線性模型近似方法求得模型的后驗統計規律，即：

(28)

(29)

因此可以得出通過統計線性化推導出的形式與通過容積點傳播得到的均值和誤差方差相同。

(30)

Fk=(PxX′,k|k-1)T(Pxx,k-1|k-1)-1

(31)

(32)

式中δk-1為統計線性近似誤差。

同理對觀測方程進行統計等效線性化得到統計回歸矩陣：

(33)

(34)

式中εk為統計線性近似誤差，用于補償系統的非線性項：

(35)

4)H∞容積卡爾曼濾波設計。

設計一個濾波器對濾波器估計誤差進行限制，保證估計誤差有界，在任意wk、vk、x0的情況下，使得觀測信息誤差最小化，盡量減少估計誤差上界。設計濾波器滿足：

(36)

(37)

則:

(38)

將式(36)轉化為不定式形式:

(39)

進行狀態更新:

(40)

(41)

Pxx,k|k-1

(42)

(43)

為了表示誤差協方差和調整參數之間的關系，應用矩陣求逆定理將式(42)求逆得到:

(44)

β為調節因子，權衡H∞濾波和最小均方根性能。

為了保證誤差方差的正定性，滿足:

(45)

即

(46)

式中eig(·)代表均值的特征值。

噪聲協方差矩陣對算法的穩定性有著重要影響。為了保證濾波算法的穩定性，許多學者通過在誤差方差和新息方差矩陣中引入附加的正定矩陣[16]：

Qk-1+ΔQk-1

(47)

通過增大Qk來增強穩定性。然而其會增大誤差方差陣Pxx,k|k-1，同時增大增益矩陣Kk，影響估計精度。

3 模糊自適應H∞容積卡爾曼濾波

標準的容積卡爾曼濾波需要假設噪聲的均值為零，且精確已知噪聲統計特性。一般情況下過程噪聲和觀測噪聲的統計特性不易準確獲得。較大的Qk-1，可以保證系統的穩定性，但估計精度下降；而Qk-1較小，則會是濾波器不穩定，從而降低濾波性能。因此采用模糊規則對過程噪聲和觀測噪聲進行估計，通過增強對噪聲的自適應力來提高濾波精度和收斂速度。

設過程噪聲方差和測量噪聲方差的模糊自適應律為：

(48)

(49)

(50)

(51)

則自適應H∞容積卡爾曼濾波系統結構圖1。

圖1 模糊自適應HCKF系統結構Fig.1 The structure of the fuzzy adaptive HCKF system

4 仿真分析

為了驗證模糊自適應HCKF算法的有效性，選用以下一般非線性系統進行仿真驗證，假設系統的過程噪聲和觀測噪聲不準確，采用標準的CKF和模糊自適應HCKF的算法對系統狀態進行估計比較，并驗證統計線性化的有效性，從而具有一定的普遍性和適用性。

系統的狀態方程為：

x(k)=0.5x(k-1)+8cos(1.2(k-1))+

w(k)+2.5x(k-1)/(1+x2(k-1))

(52)

觀測方程為：

z(k)=x2(k)/20+v(k)

(53)

首先對統計線性化算法(30)～(35)的有效性進行驗證，系統的噪聲統計特性為q=0，r=0，Q=0.06，R=0.01，P0=10。仿真結果如圖2、圖3所示。

從圖2和圖3的仿真結果可以得出，通過統計線性化方法對非線性系統的近似可以達到較好的效果，近似值與真實值基本相符，誤差較小，因此可以通過統計線性化方法來近似非線性系統，從而進一步進行濾波器的設計研究和分析。

圖3 統計線性化近似誤差Fig.3 Error of approximation

圖2 統計線性化近似Fig.2 Statistical linearization approximation

為了驗證模糊自適應HCKF算法的有效性和魯棒性，分別采用標準的容積卡爾曼濾波及模糊自適應HCKF濾波方法在以下2種情況下進行仿真實驗。

Case1：q=0，r=0，Q=0.06，R=0.01。

Case2：q=0.4，r=0.2，Q=0.06，R=0.01。

Case3：q=0.4，r=0，Q=0.06，R=0.01。

Case4：q=0，r=0.2，Q=0.06，R=0.01。

實際的噪聲協方差為Qe=0.05，Ra=0.01，采用模糊自適應算法對噪聲協方差進行估計。由于篇幅限制，本文僅給出Case1和Case2的結果仿真圖。Case1，Case2，Case3和Case4的仿真誤差統計結果在表中給出，以進行結果對比，得出相關結論。

在Case 1 情況下對系統的狀態進行估計比較，在CKF和模糊自適應HCKF 2種算法下的估計結果和估計誤差如圖4、圖5所示。

圖4 Case 1情況下不同濾波方法估計Fig.4 Estimation of different filtering method of Case 1

圖5 Case 1情況下不同濾波方法的估計誤差Fig.5 The estimation error of different filtering method of Case 1

在Case 2 情況下對系統的狀態進行估計，在CKF和模糊自適應HCKF這2種算法下的估計結果和估計誤差如圖6及圖7所示。

圖6 Case 2情況下不同濾波方法估計Fig.6 Estimation of different filtering method of Case 2

圖7 Case 2情況下不同濾波方法的估計誤差Fig.7 The estimation error of different filtering method of Case 2

從仿真結果圖3～圖6研究中可以發現當系統噪聲和觀測噪聲均值為零時，模糊自適應HCKF和CKF 算法的估計效果相當，估計誤差均值和均方差相差較少，都能較好的估計系統的狀態值；當系統噪聲和觀測噪聲均值不為零時，模糊自適應HCKF 的估計效果優于CKF。

為了便于更精確的比較2種算法的估計結果，本文分別對2種算法的誤差均值和誤差均方差值進行計算和比較，統計結果如表1所示。

(54)

(55)

由表1和表2可知，在分別存在系統噪聲、觀測噪聲以及同時存在系統噪聲和觀測噪聲的情況下，HCKF誤差均值和均方根值小于標準容積卡爾曼，因而提出的HCKF濾波方法能夠有效的減少噪聲產生的影響，在存在非零均值噪聲情況下具有一定的魯棒性和較高的估計精度，并且在噪聲統計特性不準確的情況下，模糊自適應可以有效的估計不準確的噪聲協方差，提高估計效率和收斂速度，防止濾波發散。

表1 Case 1和Case 2的估計誤差及均方差Table 1 The AVE and RMSE of Case 1and Case 2

表2 Case 3和Case 4的估計誤差及均方差Table 2 The AVE and RMSE of Case 3 and Case 4

5 結論

1)在濾波過程中，在存在噪聲統計特性不準確及非零均值噪聲協方差的情況下，與標準的容積卡爾曼濾波相比，本文提出模糊自適應HCKF能夠更好的估計非線性系統的狀態值，具有較高的估計精度和魯棒性。

2)提出的模糊自適應規則能夠較好的估計不準確的噪聲協方差，從而避免濾波發散，提高收斂速度。

3)本文提出的濾波方法可以較好地推廣到任意非線性系統，應用廣泛，具有一定的工程應用價值。