“兩三位數除以一位數”豎式計算理解的困難與教學對策

劉芳　鄺孔秀

摘 要?? ?學生在學習“兩三位數除以一位數”的豎式計算時不能把豎式的每一步與實物模型的均分過程聯系起來，是因為豎式中隱去了重要數據、運算進行了合并和簡化、數字指代繁多和疊加。為此，“兩三位數除以一位數”豎式計算的教學應還原豎式計算中隱去的數量、合并的運算，充分展開豎式計算標準形式的形成過程。

關鍵詞? ?兩三位數除以一位數 豎式計算

近日聽了一位特級教師的“兩三位數除以一位數（豎式計算）”課，教師在課堂中設計了多個環節、花了許多時間試圖讓學生把豎式計算的每一步與實物模型的均分過程聯系起來，但直到課末，仍有部分學生還是不能很好地理解這其中的對應關系。既然豎式計算的每一步與均分實物模型的步驟是一一對應的，那么學生為什么不明白它們的對應關系呢？我們先來看教材，在蘇教版中[1]，這一內容的編寫如圖1所示。

由圖可見，“小蘿卜”在實物模型層面上分析和解決問題，“小蕃茄”在語言層面分析和解決問題，“小青椒”在數學符號層面分析和解決問題。應該來說，第一個層面直觀形象，與小學生的思維發展水平吻合，小學生比較容易理解;第二個層面相對抽象，但學生在這個層面有較好的生活經驗基礎，同時依托前面的實物模型均分，也是比較容易理解的;第三個層面相對抽象，學生基于之前有關整數及其乘法的學習，特別是借助實物模型均分和語言均分的表述，也可以理解。在這三個層面中，雖然呈現的形式不同，但它們的數學意義是相同的，后一個層面均可依托前一個層面來理解，學生理解起來并不困難。

但是，轉入豎式計算后，形式上有了很大的變化。第一，豎式中出現了兩個重要數據的缺失：以上三個層面中出現的40、20在這里均沒有出現，它們需要學生在頭腦中獨立地建構出來，也即將被除數46還原為40和6，將商中的2視為20，將減數4視為40。由于這兩個重要數據的缺失，對于部分抽象思維能力不足的學生來說，容易產生困難。第二，豎式計算將若干運算進行了合并和簡化。如圖2、圖3所示，豎式計算的標準格式即是圖2、圖3兩個運算合并、簡化后的結果。這兩個運算合并、簡化后的壓縮形式不僅隱去了40、20，而且隱去了46=40+6、40÷2=20、40-40=0等運算，從而不再如兩個運算分別呈現時那么清晰、明了。因此，當學生理解上述豎式計算標準形式時，需要在頭腦中還原以上數量及運算，這自然增加了學生理解豎式計算的困難。

第三，把豎式計算的每一步與實物模型的均分過程聯系起來時，豎式計算中的數字出現了指代繁多和疊加：商中的“2”既代表均分后每一份中有2筒，又代表每一份中小棒總數量是20根;被減數4（“46”中的數字4）既代表最初的4筒，也代表這4筒中的小棒數量40;減數“4”既代表除數2與商2的積，又代表分開后的2個2筒的筒數之和為4，還代表被分開的2個2筒的小棒總數40。學生面對這么復雜的指代關系情境，需要有較高的抽象思維能力，抽象思維能力不足的學生容易出現若干指代關系難以建立的問題，不能將豎式算式中的某一步與實物模型均分操作（包括其中的數量關系）聯系起來，形成了難點。

由以上的分析不難看出，為了解決學生把豎式計算的每一步與實物模型的均分過程聯系起來的困難，豎式計算的教學需要還原豎式計算中上述隱去的數量、合并的運算，充分展開豎式計算標準形式的形成過程。

為此，不妨作如下教學改進：在完成“小青椒”這一環節后，向學生“介紹一種新的除法表示方式”，將“小青椒”的辦法表示如圖4、圖5：

圖4、圖5的豎式呈現方式將分的步驟和每一次分的結果、分掉的數量、余量、所用的除法運算都清晰地呈現出來了，也即直接將除法豎式計算的算理完整、清晰地表征出來。另一方面，它們與“小青椒”的方法直接對應，不僅是將“小青椒”的橫式計算對應地轉換成了豎式計算，也是利用了“小青椒”的解決方法來理解除法的豎式計算。

之后，教師可以進一步提出：能否將以上兩步豎式計算寫在一個豎式中？這時可以讓學生討論如何辦，然后學生匯報或師生交流討論得到如圖6所示豎式（如果學生有較好的學習基礎，也可以省去前一環節，直接呈現圖6的豎式計算）：

接著，師生進一步討論能否簡化圖6的做法，容易達成以下共識：20與3合并成23，40÷2=20、6÷2=3可以省略不寫。至此，得到了圖7的豎式。

那么，在小學數學教材的豎式計算中，是否有與以上相同或相似的處理方式呢？事實上，在四則運算的豎式計算中，“兩位數乘一位數”的豎式計算標準形式與“兩三位數除以一位數”的豎式計算標準形式相近、相似。如蘇教版數學教材中，“兩位數乘一位數”的豎式計算呈現如圖8：

可以看出，蘇教版數學教材中“兩位數乘一位數”豎式計算（圖8）與“兩三位數除以一位數”豎式計算（圖7）在呈現上有3個重要的不同：一是，前者先在左邊展示每一步計算的過程和結果，再在右邊呈現計算過程合并、簡化后的標準形式;二是，前者在左邊將每一步的乘法運算對應地以紅字形式寫出來;三是，前者十位上的數字與一位數的積同時呈現了完整的形式和簡寫的形式。顯然，在這里，教材具體而完整地為學生呈現了“兩位數乘一位數”豎式計算的過程，以及這一豎式計算標準形式的形成過程，這對學生理解乘法豎式計算的標準形式及其算理是重要的，也是十分有利的。它符合數學知識由過程到對象化的發生原理[2][3]，以及小學生的認知由具體到抽象、由繁到簡的發生原理。

反觀本文提出的“兩三位數除以一位數”豎式計算教學改進方案，與教材中“兩位數乘一位數”豎式計算的呈現是相似、相通的。特別是，兩類運算在關系上的互逆性和豎式計算結構上的對稱性，正體現了數學內在的整體對稱美。

參考文獻

[1] 孫麗谷，王林.義務教育教科書數學三年級上冊[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2] A.Sfard.On the dual nature of mathematical conception，Reflections on processes and objects as deferent sides of the same coin[J].Educational Studies in Mathematics，1991（01）.

[3] 李士.熟能生巧嗎[J].數學教育學報，1996（03）.

[責任編輯：陳國慶]