空中爆炸沖擊載荷下折疊式夾層板塑性動力響應研究

柯力， 王自力， 王哲， 劉昆， 王加夏

(江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003)

折疊式夾層板作為一種新式結構，具有良好的抗沖擊性能[1]，進行理論預報公式研究有利于快速評估艦船結構在爆炸載荷作用下的損傷變形。從設計應用角度出發，簡化的理論預報公式可以更好的指導相關結構的設計評估。

對于折疊式夾層板的力學性能，國內外學者均進行了一系列研究。由于夾層板屬于復合結構，因此在研究夾層板力學性能時，研究人員往往將芯層等效成實心板，對夾層板進行整體研究[2-3]。梁軍等[4]利用等效方法對方形蜂窩夾層板在沖擊載荷作用下的塑性殘余變形進行了理論研究，并與有限元結果進行對比，證明了該方法的可行性。尹群等[5]研究了新式芯層層艙壁結構的抗沖擊性能，分析了沖擊波單獨作用以及沖擊波和碎片聯合作用下新式芯層層艙壁的結構響應，發現新式結構的吸能效率顯著提高，在沖擊波作用下具有更優的防護性能。Li[6]和Zhu[7]應用LS-DYNA分別研究了爆炸載荷作用下鋁質球形泡沫夾層板以及矩形蜂窩夾層板的動態響應，發現球面形夾層板比柱面形夾層板具備更好抵抗爆炸載荷的性能，同時與試驗結果進行對比，證明了有限元分析技術的有效性與可行性。Langdon[8]對比分析了聚苯乙烯及鋁質蜂窩夾層板在空爆載荷作用下的試驗及數值仿真結果，發現兩者吻合度較好，在保證結果準確性的前提下，有限元仿真分析可以有效節約研究成本，提高計算效率。俞鞠梅[9]利用ABAQUS有限元軟件研究了空爆載荷作用下折疊式夾層板的防護性能，發現夾層板主要通過芯層結構的塑性變形來吸收或耗散沖擊波能量，與加筋板進行對比，折疊式夾層板在沖擊載荷下的響應衰減更快，可以有效改善結構的沖擊環境。學者們還針對圓管型夾層板抗爆性能進行了研究，結果表明芯層單元數量較少時，面板會成為主要吸能構件，芯層的數量和厚度是夾層板吸能效率的主要影響因素[10-11]。在此基礎上，還研究了不同速率縱向沖擊載荷作用下芯層的變形模式，研究發現在低速沖擊時，芯層對稱收縮，在高速沖擊時，芯層沿一側斜傾[12]。

本文以折疊式夾層板為研究對象，基于動能定理、能量守恒以及塑性力學的相關理論，建立夾層板塑性變形的簡化解析計算公式，并與相關仿真計算進行對比分析，驗證計算公式得有效性，同時對簡化公式進行完善，為夾層板結構的工程設計和抗沖擊性能評估提供參考。

1 沖擊載荷響應分析

根據爆炸沖擊載荷的作用特點，可以把折疊式夾層板的沖擊響應過程簡化為3個階段[13]：第1階段夾層板由于沖擊獲得初始動能(圖1(a))；第2階段夾層板的芯層在面板作用下出現壓縮變形(圖1(b))；第3階段夾層板面板與芯層達到共同速度后，夾層板發生整體塑性變形(圖1(c))。

.1 夾層板初始動能

夾層板在受到沖擊波作用時，其變形迅速超越彈性階段而進入塑性階段，所以在分析時忽略其彈性的影響，將夾層板視為理想剛塑性材料。爆炸沖擊波作用在夾層板上，當壓力波正入射一個剛性固定的夾層板面板時，單位面積上的反射沖量為[14]：

(1)

式中：Ai為系數，一般取200～250[15]；me為炸藥TNT當量，kg；r為爆距，m；I+為入射沖量。

在爆炸沖擊波作用下，夾層板只有迎爆面獲得初始速度，忽略邊界的影響，此時初始動能為：

(2)

式中：S為夾層板的面積，m2；ρf為夾層板材料密度，kg/m3；tf為夾層板面板厚度，m；vi為初始速度，m/s。

1.2 夾層板芯層壓縮

夾層板迎爆面獲得初始速度后，芯層開始壓縮至與迎爆面面板達到共同的速度，此時動能為：

(3)

夾層板在壓縮過程中必然伴隨著能量的轉化，爆炸沖擊波的部分能量被夾層板芯層吸收為夾層板的塑性應變能，該部分能量為：

Ea=Ei-Ek

(4)

矩形夾層板芯層壓縮變形用雙三角函數表示為：

(5)

在芯層上取微面積dxdy，則該面積上的吸能ΔEa=σ(x,y)dxdyw(x,y)，因此橫向方向吸能與變形間的關系為：

(6)

聯立式(4)～(6)可得：

(7)

1.3 夾層板整體變形

1.3.1 變形模式

在芯層壓縮完成之后，夾層板繼續變形產生塑性彎曲和拉伸，其動能將主要轉化為彎曲應變能和拉伸應變能。假設夾層板四周剛固，其整體塑性變形模式如圖2所示。

圖2 固支夾層板的塑性變形模式Fig.2 Plastic deformation mode of the clamed sandwich panel

在沖擊載荷作用下，夾層板形成剛性區域Ⅰ和剛性區域Ⅱ，產生塑性鉸線，位移場則表示：

(8)

其中φ可確定為：

(9)

由于夾層板的彎矩和膜力的影響，單位長度鉸線的內能耗散率為：

ED=(M+Nwi)θi

(10)

夾層板在變形過程中結構的總虛功為：

(11)

式中：M為夾層板的彎矩，N·m；N為夾層板的膜力，N；wi為鉸線處的橫向位移，m；θi為第i根鉸線的轉角，rad；li為第i根鉸線的長度，m；n為鉸線根數。

夾層板結構一般屬于對稱結構，因此變形過程鉸線處的耗散總能量可表示為：

(12)

其中θAB、θAD、θAE和θEF的值取為：

(13)

將式(13)代入式(12)，可得夾層板變形時在鉸線處的總耗散能為：

(14)

板的屈服函數可由膜力和彎矩來描述，對于夾層板而言，其屈服面的形式與截面形狀以及面板和芯層的相對強度和厚度有關，因此與普通平板有所不同，可表示為：

(15)

式中：M0為夾層板的極限彎矩；N0為夾層板的極限膜力。

對于I型夾層板(圖3)，垂直于芯層方向(X軸方向)的極限彎矩可表示為：

圖3 I型折疊式夾層板及幾何參數Fig.3 I-type folded sandwich panel and geometric parameters

M0x=σftf[(hc-wmn)+tf]+

σctc(hc-wmn)2/4(dp-df)

(16)

極限膜力可表示為：

N0x=2σftf+σctc(hc-wmn)/(dp-df)

(17)

對于U型夾層板(圖4)，垂直于芯層方向(X軸方向)的極限彎矩可表示為：

圖4 U型折疊式夾層板及幾何參數Fig.4 U-type folded sandwich panel and geometric parameters

M0x=σftf[(hc-wmn)+tf]+

σc(hc-wmn)2(dp-2df)/4dp

(18)

極限膜力可表示為：

N0x=2σftf+σc(hc-wmn)(dp-2df)/dp

(19)

對于離散型芯層折疊式夾層板(圖3、圖4)平行于芯層方向(Y軸方向)的極限彎矩可表示為：

M0y=σftf[(hc-wmn)+tf]+σc(hc-wmn)2/4

(20)

極限膜力可表示為：

N0y=2σftf+σc(hc-wmn)

(21)

對于連續型芯層折疊式夾層板(圖5、圖6)，垂直于芯層方向(X軸方向)和平行于芯層方向(Y軸方向)的極限彎矩和極限膜力相等，可表示為：

圖5 V型折疊式夾層板及幾何參數Fig.5 V-type folded sandwich panel and geometric parameters

圖6 Uc型折疊式夾層板及幾何參數Fig.6 Uc-type folded sandwich panel and geometric parameters

M0=σftf[(hc-wmn)+tf]+σc(hc-wmn)2/4

(22)

極限膜力可表示為：

N0=2σftf+σc(hc-wmn)

(23)

(24)

對于夾層板的動態響應問題，一般很難得到其最終變形的封閉形式解，為了盡可能準確地表示其變形量，本文采用屈服函數的外接方形和內接方形作為其屈服面進行求解，如圖7所示。

圖7 夾層板屈服曲線Fig.7 The yield curve of the sandwich panel

外接方形屈服面：

|N|=N0,|M|=M0

(25)

內接方形屈服面：

|N|=0.5N0,|M|=0.5M0

(26)

從理論上來說，采用外接方形作為屈服函數，求得的最終變形量會小于實際的最終變形量；而采用內接方形作為屈服函數，求得的最終變形量會大于實際的最終變形量。因此，在求得結果之后，為盡可能的減少誤差，應取其平均值作為夾層板最終變形量的計算值。

1.3.2 變形計算

當屈服曲面為外接方形屈服面時，總耗散能為：

(27)

當屈服曲面為內接方形屈服面時，總耗散能為：

(28)

夾層板芯層壓縮完成之后，在整體變形的過程中，其初始動能最終由其塑性變形能所耗散，因此：

Ep=Ek

(29)

把式(26)和式(27)分別代入式(28)，得：

(30)

(31)

把M0x、N0x、M0y、N0y分別代入式(30)和式(31)，舍去負值解，可得：

(32)

(33)

(34)

(35)

取上述解的平均值，即可得到折疊式夾層板在爆炸沖擊載荷作用下塑性變形的最終計算值：

(36)

2 數值仿真結果驗證

2.1 有限元模型

取4種典型折疊式夾層板計算其在爆炸沖擊載荷作用下的位移響應，同時利用ABAQUS對空中爆炸載荷進行數值仿真模擬，把有限元計算結果與理論計算結果對比分析，驗證本文理論方法的可行性。

本文所述誤差計算方法：

(37)

為了便于分析和比較，爆炸載荷沖量用無量綱參數表示：

(38)

式中：M=2ρftc+hcρc表示單位面積夾層板的質量，kg。

計算時選取合理的結構尺寸，并假定彈性模量E=2.10×105MPa，泊松比μ=0.3，材料密度ρf=7 850 kg/m3，材料屈服強度σf=235 MPa，最大等效塑性應變取為0.3。用shell單元建立有限元模型(圖8所示)，單元類型取4節點減縮積分四邊形單元(S4R)，結構四周剛性固定。具體幾何參數見表1。

圖8 四種典型折疊式夾層板有限元模型Fig.8 The finite element model of four typical folded sandwich panels

表1 折疊式夾層板幾何參數Table 1 Geometric parameters of the folded sandwich panels mm

為了驗證本文提出的理論預報公式的可行性，選擇5中爆炸載荷進行對比分析。各工況炸藥量me依次選取1.2、3.6、6.0、9.6、14.4 kg，系數Ai取平均值225，考慮近場爆炸，爆距r取1.0 m。

在有限元數值模擬中，材料類型為理想彈塑性材料(供有限元仿真輸入使用)，計算不同沖量作用下，折疊式夾層板的最大塑性變形量。由于背爆面中心點可以反映整個夾層板的最大塑性變形，因此在有限元數值分析中選取夾層板背爆面中心點為典型測點，研究不同夾層板的變形量。

2.2 中心位移對比分析

從圖9中可以看出，在沖擊載荷作用下，4種夾層板的位移曲線變化趨勢相同，均隨著載荷沖量的增加而逐漸增大，且隨著沖量的繼續增大，理論解的增長趨勢較仿真解更大。比較分析外接屈服面和內接屈服面的理論值可以發現，采用外接方形屈服函數求解得到的夾層板最大塑性變形比仿真值大，采用內接屈服函數得到的最大塑性變形比仿真值小；取外接值和內接值的平均值作為理論值與仿真值吻合度較高。而從圖形變化趨勢可以看出，如果繼續增加炸藥量，理論值與仿真值的差距將會增大，該理論公式將不再適用。4種夾層板的理論解和仿真結果如表2所示。

圖9 4種典型折疊式夾層板沖量-位移曲線Fig.9 Impulse-displacement curves of four typical folded sandwich panel

表2 不同折疊式夾層板的理論解與仿真值Table 2 Theoretical solution and simulation value of different folded sandwich panels

從表2中可以看出，在同一爆炸沖量作用下，Uc型折疊式夾層板的位移最小，這是由于Uc型夾層板與上下面板存在接觸區域，接觸面積較大，一定程度上相當于增加了夾層板面板的厚度，因此抗沖擊能力較強。

在不同爆炸沖量作用下，本文的計算解與仿真解在數值大小和整體趨勢上吻合度較好，理論值與仿真值誤差均在20%以內，并且大多數在10%以內，這說明本文提出的簡化計算方法在一定沖量范圍內具有可行性和實用性。

2.3 變形模式對比分析

從圖10、11中可以看出，夾層板的中部變形量與理論值較為接近，但在靠近中部區域的兩側，夾層板變形量基本大于理論值。利用內接屈服面函數求得的位移值與夾層板兩側變形值較為接近，但最大值偏大。利用外接屈服面函數求得的位移值在整個結構中均小于仿真值。由于簡化解析采用剛塑性材料模型，位移曲線具有明顯的折點，因此與實際變形模式相比這種偏差不可避免，但本文簡化解析方法也能在一定程度上反映結構的變形情況，具有一定的參考價值。

圖10 X軸方向中心線位移Fig.10 Displacement curves of the center line in X axis

圖11 Y軸方向中心線位移Fig.11 Displacement curves of the center line in Y axis

總體來說，在夾層板的整體變形過程中，理論值與仿真值的變化趨勢基本一致，沿X軸方向均存在一定程度的平臺區，而沿Y軸方向則并不明顯，兩者峰值吻合較好，但在邊緣區域仿真值大于理論值。利用內接屈服面函數求解，能更好地反映其部分區域的變形情況，但峰值偏大；而利用外接屈服面函數求解則始終小于仿真值，且兩者偏差較大。

3 結論

1)將折疊式夾層板在爆炸沖擊載荷作用下的動態響應分成3個階段，結合每一階段的響應特點，采用動能定理、能量守恒定律和剛塑性材料模型簡化分析響應過程，研究夾層板在沖擊載荷作用下的塑性響應求解方法，并推導出適用于多種折疊式夾層板的塑性變形簡化計算公式。

2)在小計算量內，計算不同沖量作用下多種形式折疊式夾層板的塑性變形，并與有限元仿真結果進行對比，發現2種結果吻合較好，證明了所得理論預報公式的可行性與實用性，并為夾層板的工程設計提供參考。

3)在芯層數量相同的情況下Uc連續型夾層板結構具有更優的抗爆性能，并且利用內接屈服面函數能更好的反映夾層板局部區域的變形情況。