條件概率的三種求解方法

張瑜

【摘? ? 要】? 本文歸納了求解條件概率的三種方法，并通過一個簡單例子驗證三種解題的方法，說明每一種的方法的優劣。

【關鍵字】? 古典概率;條件概率;樣本空間;樣本點

條件概率在概率論中是一個很重要的概念，因為由條件概率得到概率論中的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。因此何如求解條件概率也是很重要的內容。在教學中求解條件概率是一個重點，也是一個難點。比如在教學中，學生往往分不清楚這樣的兩個問題：（1）求兩次都取到正品的概率。（2）已知第一次取到正品的條件下，求第二次也取到正品的概率。于是對學生強調把問題符號化后，就可以看出第二個問題是一個條件概率的問題，這時就可以區分了。在浙江大學盛驟、謝式千等人編寫的教材《概率與數理統計》一書中提供了兩種解題方法，一種是定義法：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，先計算P（A）、P（AB），再根據定義式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求出條件概率。另外一種是對于一般的古典概率問題，先計算P（B|A），在事件A發生的條件下，把A作為樣本空間，用古典概率的方法來計算條件概率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

其中m表示事件A的樣本點數，k表示事件AB的樣本點數。在吳贛昌主編的教材《概率論與數理統計》一書中，明確提到也是這兩種方法。實際上分得細點可以說有三種方法求解條件概率：定義法，A作為樣本空間條件下求概率P（B），還有一種是在A發生的條件下，在剩余的樣本空間里考慮概率P（B）。

一、基礎知識

定義：若試驗E滿足下列條件：

（1）試驗的樣本空間只包含有限個樣本點，即? ? ?={e1，e2，…en};

（2）每個樣本點的發生時等可能的，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

則稱次試驗為等可能概型（古典概型）。

在古典概型中，若樣本空間? ? 只包含n個樣本點，即有限個樣本點（基本事件），事件A是? ? ? 中事件，并且事件A中含有k個樣本點，則事件A發生的概率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

稱P（A）為古典概率，這個式子也稱為古典概型中事件A的概率計算公式。

定義，設A、B是兩個事件，且P（A）>0，稱

為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率。

二、求解條件概率的方法

如果是一般古典概型的題，求解條件概率的方法有三種：

（1）定義法。在整個樣本空間中先計算P（A）、P（AB），再由條件概率定義計算得 。

（2）事件A作為新的樣本空間來考慮樣本點數，即在事件A發生的條件下，A作為新的樣本空間來考慮樣本點數，用古典概率的方法求條件概率P（B|A）。

（3）把剩余部分作為新的樣本空間來考慮樣本點數，即在事件A發生的條件下，這里把A發生之后的部分看作是剩余的樣本空間，而把剩余樣本空間作為新的樣本空間，用古典概率的方法求條件概率P（B|A）。

下面針對這個三個方法來舉例。

例1一盒子裝有4只產品，其中有3只一等品，1只二等品，從中取產品兩次，每次任取一只，不放回抽樣。設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P（B|A）。

解：方法1：定義法，由條件概率定義知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

先求P（A）、P（AB），而由于本題是任取產品問題，可以看成是古典概型的題，由題意知4只產品中任取兩只，每次取一只的整個樣本空間的樣本點數為C14·C13，第一次取到一等品的取法為C13·C12+C13·C11（因為第二次還沒取，有可能取到一等品，也有可能取到二等品）或C13C13（第一個C13表示的是第一次從一等品3只中任取一只，第二個C13表示的是第一次取了一只后從總的剩余的3只中任取一只），故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或

，第一次取到一等品，第二次一等品取法為C13C12，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，于是由條件概率的定義

。

方法2：在條件概率P（B|A）中，在事件A發生的條件下，將A作為新的樣本空間考慮樣本點數，即第一次取到一等品的取法為C13C13（第一個C13表示的是第一次從一等品3只中任取一只，第二個C13表示的是第一次取了一只后從總的剩余的3只中任取一只），第二次取到一等品的取法為C13C12 ，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

方法3：在條件概率P（B|A）中，在剩余的樣本空間中考慮樣本點數，即第一次取到一等品一只（第一次取了結束了就不考慮了），第二次取的時候樣本空間就從總的剩余的3只中任取一只的取法為C13，第二次取到一等品的取法為C12，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

對比條件概率的三種方法，方法3是最簡單的，用的是古典概率的方法，并且在計算分母的樣本空間時，第一次取了結束了，第二次取的時候就不考慮了。其實方法1中計算

（分母樣本空間的樣本點數為：從總的4只產品中任取一只的取法C14，分子事件A的樣本點數為：第一次取到一等品的取法C13，即第一次取時，第二次還沒發生，沒發生就不考慮）;而方法1是用定義，明確、好理解的;方法2是條件作為新的樣本空間來考慮樣本點數，比較難理解，但也是一個解題方法。

【參考文獻】

[1]盛驟，謝式千，潘承毅 編.概率論與數理統計（第四版）[M].高等教育出版社，2008：15-16.

[2]吳贛昌 主編.概率論與數理統計[M].中國人民大學出版社，2011：18-20.

[3]楊七九 主編.概率論與數理統計[M].上海交通大學出版社，2018：14.

【項目編號：2019J0245，云南省教育廳項目，教師類項目，名稱：基于探究式學習的數學教學研究】

（1984～），女（白族），云南麗江人，云南大學旅游文化學院信息學院，講師，研究生碩士學位，計算數學專業，研究方向：信息安全，網絡計算。