用球體分割法解決最大平面圖“四色問題”

浙江省寧波市奉化公路運輸有限公司 焦永溢

最大平面上的任何一個三邊形都可拉大成為最外面的一圈。如果在最大平面圖中間的某個三邊形中又存在一個或多個的點，就是說這個三邊形的外面與里面都是有許多的點。這種情況下仍舊可把這個三邊形拉大到球的最大圈（赤道）上，這個三邊形外面的點與里面的點就分別成了南北半球上的點。如果沿著這三邊形的這一圈線（也就是赤道）把球切成兩半，除了這三條線和三個點分別屬于兩個半球所共有，其他的點和線就南北分開，各不相干。而半球體與球體在拓撲上是完全一樣的，就是說可以把原來的一個球體分割成為各自獨立的兩個球體，接下來分析各點如何著色，就完全是在兩個各不相干的球面上分析了。如果這分開來的球面上又有這種三邊形中包含一個或多個點的現象出現，又可重復上述操作，把三邊形外的點與內的點分割開來，成為各不相干的兩個球，一直能分割到每個球上再沒有這種三邊形內外都有點的狀況。這就好比一個芋頭上長出一個甚至多個芋子來，可以把這些芋子掰下來單獨成為球體來看待，芋子上如再長出芋孫，也可把芋孫掰下來單獨成為一球體；子球可以大于母球，所以各球之間不分母子，更可以看成是連體兒，把各球分割開來好比是給連體兒做分離手術。

其實除了三邊形內外都有一個或多個點的情況，一邊形（就是只有一個點，比如地球上的海洋）分別包圍一個或多個點（比如地球上各個島和陸地）的情況；還有二邊形（就是二個點相互有二條連線）內外分別包含一點或許多點的情況。這兩種情況也可用與上面相同的方法，沿這個點或二邊分割成兩個各自獨立的球。

前一種海洋與每塊陸地或島嶼可單獨成為一個球體，每個球體上的海洋這一點是共同擁有的，合在一起時就相當于若干個子球與母球都是點接觸，分割開來后除了這一點是共同點，其余各球之間的點都是互不相干的。這個分割手術后只留下一點作為創口，可以忽略不計。

后一種沿二邊形分割后，屬于兩球共有的這二個點二條線中間是沒有點了，可把這二條邊看為一條，這個子球與母球合在一起時只是二點二線一面接觸，而分開后二線可合為一線，一個面也就消失。這個分割手術后只留下一條線作為創口，也是可以忽略不計的。

沿三邊形分割球體，分割后屬于兩球共有的是這三個點、三條線和一個三邊形，這兩球體之間就是以這個三邊形為接觸面的面接觸，這三邊形也就是這個分割手術后留下的創口。這個三邊形的小創口已經是最小的創口了，整個球面上全是三邊形，全是這樣的最小創口，這最小的創口存在與否，不會影響整個圖的性質，也是等于沒有創口。規范標準的最大平面圖，就是全圖全由三邊形組成，并且再沒有三邊形中還有點的情況，因為一旦有這種情況，又要沿這三邊形分割了。

能不能把大于三邊的一圈當赤道來分割成兩個半球呢？只要分割后在兩個各自的球面上把這個多邊形的創口作適當的處理，同樣也是行得通的。那么下面就來說一下這個多邊形的創口該如何處理。

為了避免分割切口周圍的點之間有連線（就是我在用“減少法”證明“四色問題”時所說的“短路現象”），必須遵循一個原則，要先處理全圖中度數小的點。圖論里已經有一個定理：最大平面圖中度數最小的點，一定是等于或小于五度的。上面的球體分割法已經把一度、二度、三度的點都當小芋子切割下來了，這樣就只要分析四度和五度的點該如何切下并處理創口就行了。

對于四度的點，如果沿著包圍它的一圈當赤道切割下來，兩半球的接合面就會形成四邊形的一個創口。如果用中間加一點，再與四邊形四個頂點畫連線的方法處理這個創口，割下小的子球等于四棱錐的底面中加一點再與面上的四個點畫連線，就成了一個六個點（每點都是四度）、十二條線、八個面的多面體。而分割后的母球的創口處理后仍舊成了原樣，等于白白切割了這一刀。所以在處理這個四邊形的創口時不能這么操作，而是應該以其中一條對角線為對稱軸，把對稱軸兩邊所對應的點和線合并到一起（其實就是我的“減少法”中的合并方法），只要這四邊形的四點間沒有短路現象，就可以這么操作。這樣處理創口后，割下來的子球就成了這面兩個相鄰的三邊形、反面也兩個相鄰的三邊形的扁平四方片。而割下來的母球上，創口上的點和線合并后，這沒合并的對稱軸兩端的這兩點的度數都是減少了二度（見圖1左邊A點和C點），下一步就可以再繼續找球面上度數少的點進行這樣的操作。兩個球的共同部分（切割后的創口）從四個點、四條線合并成了三個點A、B（D）、C和二條線AB（D）、B（D）C。兩球上只要A、B（D）、C這三點著色時對應相同，其他各個球上的點就可各自處理了。

對于五度的點，如果也沿著包圍它的一圈切割下來，兩個半球的接合面就會形成五邊形的一個創口。如果也用中間加一點，再與五邊形五個頂點畫連線的方法，同樣也是白白切割了這一刀。這時也需要用我的“減少法”中的合并方法來合并周圍的點，因為周圍的點是奇數，不可能完全把對稱的點合并，還要剩下一個三邊形，只要這五邊形外圍的點之間沒有短路現象，也可以這樣操作的（圖1 的右邊）。這樣處理創口后，割下來的子球就成了一個三棱錐，再在一條棱上長一個三邊形的薄片，仿佛背上長鰭的一條魚。而割下來的母球上，創口上的點和線合并處理后，沒合并的三個點A、C、D度數都是減少的，下一步又可以繼續在球面上找度數少的點進行這樣的操作。兩個球的共同部分（創口）從五個點、五條線合并成了一個三邊形B（E）CD再加上一個點A和一條線AB（E）。兩球上只要這三邊形的B（E）、C、D這三個點及外加的A點著色時對應相同，其他各個球上的點也可以各自處理了。

上面的這兩種合并的方法就如在連體兒分離切割手術后對創口的縫合，還有一種更加簡單的操作不用這樣的縫合，而是在多邊形的創口上采用另一種扇形分割法。如圖2 所示，在把這個球面上的多邊形分割為三邊形時，不是用前面的中間加一點，再向周圍各點畫連線（仿佛中心點向外放射光芒狀）的方法，而是從其邊上的一個點A向其余各點畫連線（仿佛展開的折扇狀）的方法。這種折扇形分割法，把多邊形分割成三邊形時，球面上點數沒有合并減少，但線數是減少的（這個射線出發點兩旁的點B和F不用畫連線，度數一定比分割前要小）。分割開來的兩球多邊形創口上，都對應地這樣做創口處理，這個射線出發點A用一種顏色，其余B、C、D、E、F各點依次用第二和第三種顏色（周圍點數是偶數時A點可與C、E同色只要二種顏色就夠了）。用這種處理方法，兩球分割開來的共同多邊形，就變成了連在一起的幾個三邊形，只要這幾個共有的三邊形上的對應點著色相同，兩球上其余互不相干的各點就可以在各自的球上自行處理。做好了以上這一步后，又可在球面上找度數最少的點進行這樣的切割操作。

通過以上的分析，不但點接觸、線接觸以及三邊形面接觸的兩球體可分開來分析，有著更大的共同多邊形相連的兩個球也可分割，就是說不一定從葫蘆形細小的地方來分割，可以從任何一個圈切開來，就連原來沒有明顯葫蘆狀的任何球的變形體，前提只要是連線能圍成圈，并且這圈上的點之間沒有短路現象，就可沿著這一圈線切割下來。這樣切割后，只要兩個球切割面多邊形上的對應的點，作相同的劃分成三邊形處理，一直是可以一步步切割下去的，直到每一小塊上的點數少于等于四為止。就像一個芋頭上的大小芋子可以切割下來，每一個芋子上的芋孫也可以切割下來，并且在每個單獨的球體（芋頭或芋子、芋孫）上還可以下刀切割（前提是切口多邊形的周圍點之間沒有短路，切下后兩個球體上的創口要作對應相同的最大化（也就是多邊形分割成三邊形處理），就如把大的芋頭或芋子、芋孫再切為幾塊，一直切到每一小塊上的點只剩四點和四點以下，這樣每一塊都是四種顏色夠了。反過來操作，把每一塊著四色的碎芋塊（包括分割開來的芋子及碎塊），拼合起來就能成為大的芋頭和芋子的結合體。每個小塊四色足夠了，整個拼起來的球面體也就四色足夠了。這個結論就是任何復雜的球形多面體，都可由許多塊四點及四點以下的多面體拼合組成，而每一小塊的點只要四種或四種以下顏色組成，整個合成后也是只用四種顏色就夠了。也就是說，我最早寫的《關于“四色問題”的證明》和《徹底解決“四色問題”》兩篇文章中的分析是對的，任何復雜的最大平面圖，都是由許許多多的三邊形及三點包圍一點圖形所組成。