PISA理念下學生表征能力的培養解析

摘要：表征能力是PISA理念下的數學七種基本能力之一，以一次函數行程問題為例，談圖象的表征，引導學生用符號、圖象等直觀表示實際問題的數量關系及變化規律，培養數學表征能力。

關鍵詞：PISA;一次函數;圖象;表征;能力

表征，是PISA測評中數學七種基本能力之一，旨在解決問題的過程中，使用數學工具解釋、翻譯、描述數學問題和情境。

人教版數學八年級下冊P108頁有這樣一道復習題：A、B兩地相距25km。甲8：00由A地出發騎自行車去B地，平均速度為10km/h;乙9：30由A地出發乘汽車也去B地，平均速度為40km/h。（1）分別寫出兩個人的行程關于時刻的函數解析式;（2）乙能否在途中超過甲？如果能超過，何時超過？從反饋來看，學生不知如何畫函數圖象，其表征能力欠缺。

一、直觀表征計時起點

1.以8：00為計時起點，求函數解析式

第（1）問，設甲、乙的行程分別為y1km、y2km，時間為xh。此題的一個難點之一就是學生不易確定計時起點，當教師啟發學生確定8：00為計時起點0h，那么9：30即為1.5h，學生易得出：y1=10x（x≥0），y2=40（x-1.5）（x≥1.5），即：y2=40x-60（x≥1.5），其圖象如圖1所示。

甲、乙的速度分別為v1=10km/h、v2=40km/h，即行程y1、y2是關于時間x的一次函數，考慮到圖象繪制的便捷性，盡量使其中一條直線過原點，此時的一次函數即為正比例函數，這樣就需要考慮“哪個函數圖象上的點（x，y）坐標為（0，0）”，含義為“當時間x=0時，行程y=0”，即計時開始時，甲（或乙）正準備出發，如圖1。

2.以0：00為計時起點，求函數解析式

雖然以8：00為計時起點比較科學，但是仍有部分學生習慣以0：00為計時起點，于是引導學生思考討論得出：y1=10（x-8）（x≥8），y2=40（x-9.5）（x≥9.5），即：y1=10x-80（x≥8），y2=40x-380（x≥9.5），如圖2。

由于以0：00為計時起點，到了8 h時，甲才“正準備出發”，所以甲的圖象過（8，0）;到了9.5 h時，乙才“正準備出發”，所以乙的圖象過（9.5，0）。由于平面直角坐標系中，當橫軸和縱軸表示的含義不一樣時，單位一般是不一樣的，于是橫軸的單位1與縱軸的單位1可以不等長，于是可以在橫軸上運用“壓縮軸”符號“”表示如圖2所示的橫軸上0～8部分。

3.以9：30為計時起點，求函數解析式

學生提問：可否以乙的出發時間9：30為計時起點呢？學生經過分析求得：y1=10×1.5+10x（x≥0），y2=40x（x≥0），即：y1=10x+15（x≥0），y2=40x（x≥0），其圖象如圖3所示。

二、抽象表征計時起點

1.從計時以m時為起點來分析

①當0≤m≤8時，y1=10[x-（8-m）]（x≥8-m），y2=40[x-（9.5-m）]（x≥9.5-m），即：y1=10x+10m-80（x≥8-m），y2=40x+40m-380（x≥9.5-m）。

②當8

③當m≥9.5時，y1=10×（m-8）+10x（x≥0），y2=40×（m-9.5）+40x（x≥0），即y1=10x+10m-80（x≥0），y2=40x+40m-380（x≥0）。

綜上，y1=10x+10m-80，y2=40x+40m-380。

2.從函數圖象平移來分析

圖1中的函數圖象向右平移p個單位后得：y1=10（x-p），y2=40（x-p）-60。

①當p=0時，表示圖象未平移，即計時起點為8：00。

②當p>0時，表示圖象向右平移p個單位，即計時起點為8：00以前p小時。

③當p<0時，表示圖象向左平移p個單位，即計時起點為8：00以后p小時。

上述三種情況，兩條直線相交于點（p+2，20），即當時間為（p+2） h時，乙趕上并開始超過甲，此時行程為20 km，第（2）問得解。

三、“四步法”表征圖象

圖象是表征函數關系的有效工具。第一步是繪制橫軸、縱軸，并明確其含義、字母、單位;第二步，標出橫縱軸的特殊刻度，比如橫軸上，以8：00為起點0，那么9：30記為1.5;第三步，確定圖象的特殊點：起點、終點、最低點、最高點、轉折點、交點等;第四步，描點、連線及確定分段的解析式。

基于PISA的數學問題是對實際問題的抽象概括和表征，學生在理解具體問題時可以借助一定的數學工具、手段、方式直觀表征數量、圖象關系。數學表征能力的培養對學生解碼文本，理解題干的含義，用直觀的符號、圖形語言轉換并表達出數學問題情境，揭示數學問題的本質起著關鍵作用。

作者簡介：

高小軍，高級教師，西南大學國培計劃項目培訓教師，貴州省教育智庫專家成員、省名師工作室成員，遵義市教學名師、骨干教師，主要從事初中數學教學研究。

基金項目：

貴州省基礎教育科研重點課題（2016A005）基于PISA測評三角的初中數學測評模式研究。