基于環境溫度模型庫分段式加權的數控機床熱誤差建模

李 兵 蘇文超 魏 翔 白金峰 蔣莊德

(1.西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室， 西安 710049;2.西安交通大學微納制造與測試技術國際合作聯合實驗室， 西安 710049)

0 引言

隨著工程技術的發展，精密及超精密的數控機床越來越受到重視，在社會生產、科學研究和國防安全等領域發揮著重要作用。然而，機床在運行和加工過程中不可避免地存在各種誤差，為提高機床的加工精度，需要對其誤差進行補償。按照誤差源的不同，機床誤差一般包括熱誤差、幾何誤差和載荷引起的誤差。其中，熱誤差在機床總誤差中占比40%～70%[1-3]，越精密的數控機床熱誤差占比越高。因此研究熱誤差補償技術對提高機床加工精度至關重要。

熱誤差補償技術需要依靠可靠的測量設備、有效的測量方法以及能準確反映機床溫度敏感點溫度與熱誤差對應關系的數學模型[4]。近年來，國內外學者對熱誤差補償模型進行了大量研究，常用的熱誤差模型有基于最小二乘的多元線性回歸模型[5-6]、BP神經網絡模型[7-8]、分布滯后模型[9]、灰色理論模型[10-11]和支持向量機模型[12]等，還有各種組合模型[13-14]，如基于灰色理論預處理的神經網絡模型[15]、時間序列-神經網絡混合模型[16]等。不同的熱誤差模型有不同的預測準則，預測效果也受多種因素影響，其中環境溫度是影響各類熱誤差模型預測精度和穩健性的主要因素之一。以某一環境溫度下的樣本建立模型，當環境溫度變化較小時，模型往往有較高的預測精度[17]；當環境溫度改變較大時，機床各零部件熱量分布會產生較大變化，模型穩健性往往較差，預測精度會很低。針對以上問題，常采用增加多種環境溫度下的數據作為建模樣本的方法，或采用泛化能力更好的模型，如支持向量機模型[18]。

基于環境溫度變化相對平緩、但對加工結果卻影響較大的特性，本文提出一種基于環境溫度的模型庫分段式加權的熱誤差建模方法。該方法將不同環境溫度樣本的初始環境溫度設置為節點溫度，取等間隔節點溫度的樣本分別建模組成模型庫，以預測時的初始環境溫度為依據，搜索與模型庫中節點溫度最接近的兩個模型分別預測，并根據規則對兩個模型的預測結果進行加權，計算得到最終熱誤差。通過與單一環境溫度樣本的回歸模型、多環境溫度樣本的線性回歸模型和支持向量機模型進行對比，分析該模型在環境溫度變化較小和較大情況下的熱誤差預測精度。

1 分段式加權模型

分段式加權模型建模需建立多個基于不同節點溫度樣本的單個模型組成模型庫。單個模型建模方法的選擇可按照以下原則，即用多種建模方法對環境溫度變化較小的情況進行預測，選擇預測精度最高的建模方法作為模型庫中單個模型的建模方法。若以BP神經網絡建立模型庫中的單個模型，則分段式加權模型基本結構如圖1所示。

圖1 基于BP神經網絡的分段式加權模型基本結構Fig.1 Basic structure of piecewise weighted model based on BP neural network

1.1 模型庫中常用的單個熱誤差模型

模型庫常用的單個熱誤差模型包括多元線性回歸模型(Multiple linear regression, MLR)、BP神經網絡模型(BP neural network, BP-NN)、分布滯后模型(Distributed lag, DL)、灰色理論模型(Grey theory, GM)和支持向量機模型(Support vector machine, SVM)，各模型優缺點如表1所示。由表1可知，各模型均具有優缺點，分別用以上模型建模，通過補償效果，選擇作為模型庫中的單個模型。

表1 熱誤差模型優缺點Tab.1 Thermal error model advantages and disadvantages

1.2 分段式加權模型計算原理

一般機床周圍環境溫度隨四季變化而變化，針對常用的模型對于隨四季變化時模型預測精度低的問題，提出了基于模型庫分段式加權的建模方法。機床的環境溫度為0～40℃，此處設置節點溫度間隔為5℃，故需采集節點溫度分別為0、5、10、15、20、25、30、35、40℃時的機床熱誤差數據，根據模型庫中單個模型的選用原則，選定模型庫中的模型類型，之后用不同節點溫度的熱誤差數據建模，組成數據庫。

假設測試數據的初始環境溫度為t,系統分別計算節點溫度與t之間差值的絕對值，即|0-t|、|5-t|、|10-t|、|15-t|、|20-t|、|25-t|、|30-t|、|35-t|、|40-t|，選取絕對值最小的兩組數據對應的節點溫度，假設為Tt1和Tt2并且Tt1

(1)

2 熱誤差測量實驗

2.1 傳感器布置

2.1.1溫度傳感器布置

為了避免錯過溫度敏感點，溫度傳感器應盡量布置在熱源附近且盡可能多的布置[19-20]。本文以UPM120型精密數控銑床為研究對象，該銑床熱源主要包括Z軸伺服電機、X和Y軸直線電機、轉臺的扭矩電機、Z軸絲杠螺母副及其上下支撐軸承、主軸、X和Y軸氣浮導軌、Z軸液壓導軌、周圍環境，因此溫度傳感器布置如圖2所示。

圖2中T1位置處為Z軸伺服電機；T2位置處為絲杠上軸承座；T3位置處為絲杠螺母；T4位置處為絲杠下軸承座；T5位置處為Z軸溜板；T6位置處為主軸夾座；T7、T8和T9位置處為主軸；T10位置處為Y軸電機；T11位置處為X軸電機；T12位置處為X軸溜板靠近電機處；T13位置處為轉臺電機；T14位置處為環境溫度。

2.1.2位移傳感器布置

根據國際標準《機床檢驗通則第三部分：熱效應的確定》可知，熱誤差由主軸端部與裝夾工件工作臺之間的相對位移變化產生[21-22]。因此，將檢驗棒安裝在主軸末端，3個位移傳感器用磁力表座固定在轉臺上，分別測量X、Y、Z軸3個方向的位移變化量，具體布置如圖3所示。

圖3 位移傳感器布置Fig.3 Layout of displacement sensors

2.2 熱誤差采集

UPM120型機床是基于渦旋盤加工的精密銑床，其加工方式為展成法。展成法加工渦旋盤時，Z軸進給到渦旋盤底面后，X軸平動配合轉臺轉動實現渦旋曲面的銑削加工，此時Y軸方向只有微小的插補運動可視為不移動，因此模擬工況設計實驗行程如圖4所示，設置進給速率為600 mm/min，設置主軸的轉速為20 000 r/min，每完成6個工作循環(約3 min)主軸停轉，在采集點處軟件同步對溫度和位移進行采集，連續采集5 h完成熱誤差采集。

圖4 機床行程示意圖Fig.4 Diagram of machine tool’s route

為得到不同環境溫度下的熱誤差，在4—8月的不同時段對數控銑床進行了7組熱誤差測量實驗，測量的批次、初始環境溫度和環境溫度如表2所示。

表2 實驗批次初始環境溫度和環境溫度范圍Tab.2 Initial ambient temperature and ambient temperature range of different experiments ℃

3 溫度敏感點篩選

溫度敏感點篩選[23-25]即從眾多測溫點中按照某種方法選擇幾個最具代表性的測溫點，參與熱誤差建模。若測溫點選擇過少，會造成建模信息的缺失，從而降低了模型精度，若選擇太多，則會增加設備成本同時降低了模型穩健性。因此，溫度測點的優化選擇是熱誤差建模和補償中的關鍵技術，采用模糊聚類和灰色關聯度相結合的辦法。

由于機床本身各測溫點熱的交互作用，因此溫度測點間存在很強的相關性，為避免建模中多重共線性問題對模型精度和穩健型的影響，采用模糊聚類算法定量表示樣本間的模糊關系，把序列間相關性高的分在一起，選擇不同的閾值λ會有不同的分類形式。通過統計量F對不同的分類進行評價，選擇評價最高的作為模糊聚類的最終分類。采用灰色關聯度算法評價測溫點和熱誤差的相關程度，相關程度可以用數值定量表示，根據計算結果選擇模糊聚類最終分類的每一組中關聯度最高的測溫點作為該組的溫度敏感點，算法流程如圖5所示。

圖5 溫度敏感點篩選算法流程圖Fig.5 Flow chart of screening algorithm for temperature sensitive points

根據模糊聚類和灰色關聯度相結合的方法，最終確定X、Y、Z軸3個方向熱誤差對應的溫度敏感點為T1、T2、T8、T14。

4 分段式加權模型建立與預測精度分析

以Z軸方向熱誤差為例，利用分段式加權模型對該方向熱誤差進行建模和預測精度分析，驗證分段式加權模型的有效性。

4.1 模型建立

選擇節點溫度的間隔為5℃，選取K4、K5和K6批次數據為樣本，3組樣本環境溫度相差不大，初始環境溫度最大相差約5℃，以K4作為建模樣本，K5和K6作為預測樣本，分別用多元線性回歸模型(MLR)、BP神經網絡模型(BP-NN)、分布滯后模型(DL)、灰色理論模型(GM)和支持向量機模型(SVM)進行建模和預測。通過以上方法選擇環境溫度變化不大時預測效果最優的模型，作為組成模型庫的單個模型。

5種模型對3個批次的預測標準差如表3所示，其中擬合精度即為5種模型對K4的預測，5種模型對K5和K6預測值和預測殘差如圖6、7所示。

表3 5種模型預測標準差Tab.3 Fitting and prediction standard deviation of five models μm

圖6 5種模型對K5批次熱誤差預測值和預測殘差Fig.6 Predictive value and predictive residual error of K5 using five models to predict

圖7 5種模型對K6批次熱誤差預測值和預測殘差Fig.7 Predictive value and predictive residual error of K6 using five models to predict

由表3和圖6、7可知，對于該數控銑床，初始環境溫度相差小于5℃時，以上5種熱誤差預測模型對K5和K6批次數據的預測標準差均不大于3.31 μm，其中多元線性回歸模型對2個批次數據的預測標準差均不大于1.97 μm，其預測精度均高于其他4種模型。因此，選擇多元線性回歸模型作為分段式加權模型的模型庫中的單個模型，根據現有數據，以K1、K3、K4、K6、K7批次數據作為建模樣本建立環境溫度在15～35℃間的基于多元線性回歸的分段式加權模型，基本結構如圖1所示。

4.2 預測精度分析

4.2.1環境溫度變化較小時

由圖6可知，以K4批次數據建模，K5批次數據預測，此時環境溫度變化較小，多元線性回歸、BP神經網絡等5種模型預測精度較高。為了驗證分段式加權模型在該情況下的預測精度，將K5批次樣本代入分段式加權模型中，模型預測值和預測殘差如圖8所示。

圖8 分段式加權模型對K5批次熱誤差預測值和預測殘差Fig.8 Predictive value and predictive residual error of K5 using piecewise weighted model to predict

由圖8可知，分段式加權模型的預測值整體略高于實測值，但仍具有很高的預測精度。經計算模型預測標準差為1.39 μm, 最大殘差2.70 μm，通過與表3對比可知，模型預測精度略低于多元線性回歸模型，但高于其他4種模型。

4.2.2環境溫度變化較大時

以多元線性回歸模型為例，選擇不同月份的環境溫度相差約13℃的K6和K2批次數據分別作為模型的建模樣本和測試樣本，得到模型的預測值和預測殘差如圖9所示。

圖9 多元線性回歸模型對K2批次熱誤差預測值和預測殘差Fig.9 Predictive value and predictive residual error of K2 using multiple linear regression model to predict

由圖9可知，環境溫度相差較大時，多元線性回歸模型預測精度差，預測標準差為7.97 μm，最大殘差高達12.1 μm。

將K2批次數據作為測試樣本代入基于多元線性回歸的分段式加權模型驗證環境溫度變化較大時模型的預測效果，同時將2種常用的解決環境溫度相差大、預測精度低的方法作為對比，即以K6批次數據作為建模樣本建立泛化能力較強的支持向量機模型和以K1、K3、K4、K5、K6、K7批次數據作為建模樣本建立增加多種環境樣本的線性回歸模型。

3種模型對K2批次樣本的預測標準差如表4所示，預測值和預測殘差如圖10所示。

表4 3種模型的預測標準差Tab.4 Prediction standard deviation of three models μm

圖10 3種模型對K2批次熱誤差預測值和預測殘差Fig.10 Predictive value and predictive residual error of K2 using three models to predict

由表4、圖10可知，環境溫度變化較大時，相較于單環境溫度樣本建模的多元線性回歸模型，采用泛化能力較強的支持向量機模型建模將熱誤差的預測精度從7.97 μm提高至5.97 μm，采用增加多環境溫度樣本建模的辦法將預測精度從7.97 μm提高至4.17 μm，2種傳統方法都有效果但模型預測精度依舊較差。采用分段式加權模型預測時將預測精度提高至1.51 μm，預測精度較高，其預測效果遠高于2種傳統方法。

5 結論

(1)針對UPM120型精密數控銑床，在環境溫度變化較小時，以多元線性回歸模型、BP神經網絡模型、分布滯后模型、灰色理論模型和支持向量機模型建模均有較高的預測精度，其中多元線性回歸模型預測標準差不大于1.97 μm，高于其他4種模型，因此選擇多元線性回歸模型作為建立分段式加權模型的模型庫中的基礎模型。

(2)當環境溫度變化較大時，以單一環境溫度樣本建模的多元線性回歸模型預測精度很低，通過選擇泛化能力強的支持向量機模型建模和增加多種環境下溫度樣本建模，在一定程度上提高了模型的預測精度，但預測精度仍然較低。基于多元線性回歸的分段式加權模型在環境溫度變化較大時預測精度達到1.51 μm，預測精度遠大于以上2種方式。

(3)分段式加權模型在各種環境溫度下均具有較高的預測精度，同時具有較高的穩健性。