基于單參數Logistic的典型作物相對葉面積指數模型研究

王全九 劉云鶴 蘇李君

(1.西安理工大學省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室， 西安 710048；2.中國科學院水利部水土保持研究所黃土高原土壤侵蝕與旱地農業國家重點實驗室， 陜西楊凌 712100)

0 引言

冬小麥、夏玉米和水稻是3種主要的糧食作物，占我國糧食總產量的90%左右，準確分析作物生長過程和預測糧食產量越來越受到關注。葉面積指數作為表征作物生長的主要指標，可間接反映作物對水、肥、光等環境因子的吸收利用情況，并在很大程度上決定產量[1-3]。因此，對葉面積指數變化特征分析是產量預測的重要環節。

Logistic方程由生態學家首次提出，被用于描述細菌種群密度增長的規律，即隨著種群密度的增加，細菌的相對增長率呈下降趨勢，與時間無關[4]。此后，該方程被廣泛應用于農業氣象學領域，描述作物的生長過程，包括干物質積累和株高的增長等[5-7]。文獻[8]在進行植物表型測量系統的研究以及實現作物生長的可視化研究中也利用了Logistic方程。但Logistic方程僅能描述作物指標的增長過程，無法分析某些指標在作物生育后期的下降過程。文獻[7]提出了一種修飾的Logisic方程——雙Logistic方程，該方程引入了一個新的參數kt，表示受作物基因影響和環境約束的最長生育期，卻仍未能對作物生育后期的葉面積指數變化特征進行很好的模擬。文獻[4]指出了Logistic方程描述作物群體動態的不足，認為作物器官的生長變化率不僅與種群競爭有關，還與作物自身所處的生育期有關，即使不存在種群競爭，作物也會逐漸生長、消亡。因此，在Logistic方程的基礎上提出了修正的Logistic模型，并被大量應用于描述作物全生育期內葉面積指數的變化過程。

有效積溫是指作物生長到某個階段所積累的有效溫度，與作物的生物學上、下限溫度有關[9]。相較于生育期天數，有效積溫更能反映作物生長與氣象條件之間的內在聯系和更好地描述作物生長過程，因此，以有效積溫為自變量建立作物的葉面積指數生長模型更具有生物學意義。文獻[10]基于遙感、Logistic模型和有效積溫研究了冬小麥生育期的提取方法。文獻[11]在實現黃瓜葉片生長變化的仿真過程中，以有效積溫作為外界環境驅動因子進行了研究。文獻[12]利用有效積溫和Logistic方程，建立了馬鈴薯的葉面積指數和干物質的增長模型。文獻[13]借助修正的Logistic模型，分別以播種后天數和有效積溫為自變量，建立了冬小麥葉面積指數的增長模型，分析了兩種建模方法的擬合效果，并進一步利用相對有效積溫建立了冬小麥返青至成熟階段的相對葉面積指數變化模型，結果表明，相對葉面積指數與相對有效積溫之間具有相關關系，指出此種方法能夠很好地描述葉面積的生長變化過程。文獻[14]在修正Logistic模型的基礎上，擴充了時間項，建立了冬小麥株高及葉面積指數與有效積溫之間的擴充Logistic模型，但該模型中待定參數較多，且需采取試算法確定參數，計算較為復雜。

已有研究表明，利用修正的Logistic模型可較好地描述不同作物的葉面積指數變化特征[15-16]，但對于模型參數的變化特征以及參數之間的關系仍缺乏深入分析。本文針對冬小麥、夏玉米、水稻3種典型糧食作物，分析葉面積指數隨相對有效積溫的變化過程，探討修正的Logistic模型參數間的關系，以期建立簡單的、適于實際應用的相對葉面積增長模型。

1 研究方法

1.1 數據來源

針對冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物，查閱文獻資料，分別收集了45組不同地區、不同種植時間的作物葉面積指數生長數據，其中30組用于模型參數分析，15組用于模型準確性評價。利用中國氣象數據網獲取不同作物生長階段的溫度數據，計算其對應的相對葉面積指數和相對有效積溫。表1為3種作物的葉面積生長數據來源。在選取數據時，以典型種植管理模式下的作物生長數據為主，不選取未經大面積推廣技術條件下的生長數據。

表1 冬小麥、夏玉米、水稻生長數據來源Tab.1 Data sources for three crops of winter wheat, summer maize and rice

1.2 簡化葉面積增長Logistic模型建立與評價方法

結合具體作物葉面積指數增長至某一特殊階段時(如葉面積指數最大時、葉面積指數為最大值的一半時)的相對有效積溫，考慮相對化修正Logistic模型的參數關系，對修正Logistic模型

(1)

式中y——研究指標，可表示種群密度、作物干物質積累量、株高等

ymax——y的上限

a、b、c——參數t——時間

進行數學變換。針對3種典型作物，分別建立其對應的簡化葉面積增長Logistic模型。

采用常用的3種評價指標對模型準確性進行評價，即決定系數R2、均方根誤差(RMSE)和相對誤差(RE)。R2越接近于1，模型模擬值與實際值的一致性越好；RMSE和RE越小，表示模型模擬效果越好。對于最終建立的簡化修正Logistic模型，利用SPSS 22.0軟件分析其模擬結果，與實際相對葉面積指數進行對比，分析殘差和方差顯著性。

2 模型構建

2.1 相對化的修正Logistic模型

為了體現氣候對葉面積指數增長的影響，采用有效積溫代替時間，形成了以有效積溫為自變量的修正Logistic模型。同時為了消除作物不同品種、土壤條件對葉面積指數所引起的差異，對葉面積指數進行了歸一化處理，采用相對葉面積指數為因變量的修正Logistic模型，具體表示為

(2)

其中

PGDD=∑(Tavg-Tbase)

(3)

式中RLAI——相對葉面積指數

PGDD——有效積溫，℃

Tavg——日平均氣溫，℃

Tbase——生物學下限溫度，℃

為了統一分析不同地區溫度對作物生長的影響，利用相對有效積溫作為自變量，建立相對有效積溫與相對葉面積指數的修正Logistic模型，具體表示為

(4)

式中RGDD——相對有效積溫，利用各生育期對應的有效積溫除以全生育期的總有效積溫計算所得

2.2 模型參數間關系

相對化的修正Logistic模型中包含3個參數，即a、b和c。在不同地區或不同時間下模型應用和參數率定過程較為繁雜，不利于模型的推廣使用。因此，結合了3種典型作物關鍵生育階段的相對有效積溫，通過對模型的數學變換以及實際數據擬合，以期探明相對化的修正Logistic模型中3個參數之間的關系，建立便于參數確定的數學模型。

2.2.1參數b和c與相對有效積溫的關系

(5)

則b可以表示為

b=-2cRGl

(6)

式(6)表明，當某種作物的RGl一定時，隨著參數c的不斷增大，b呈線性減小的趨勢，減小速率與作物最大葉面積指數對應的相對有效積溫有關，且該種作物對應的參數b與c的關系即可確定。此外，各作物的最大葉面積指數基本出現在孕穗灌漿期，因此孕穗灌漿期的相對有效積溫與參數b和c有關。

2.2.2參數a、b、c與相對有效積溫的關系

(7)

式(7)表明，作物葉面積指數達到最大值的一半時，其相對有效積溫與修正Logistic模型中的3個參數均有關。為了進一步探討參數間的關系，分別利用數據來源中10組不同地區、不同種植時間的冬小麥、夏玉米和水稻生長數據，對式(4)進行參數擬合，擬合結果如表2～4所示。由表2～4可以看出，在將有效積溫和葉面積指數都相對化的情況下，修正的Logistic模型對3種作物葉面積指數變化擬合效果較好。表中擬合參數值也表明，3個參數之間存在一定函數關系。假定-b=α(a+c)，其中α為常數。由于從理論上難以建立3個參數間關系，只能利用實驗資料來分析α變化特征。為了確定系數α，分別作3種作物a+c與-b之間的關系圖，見圖1。圖1結果表明，a+c與-b之間存在著明顯的線性關系，R2均等于0.99，RMSE不大于0.13，RE不大于0.002%，而且α近似等于1，這樣α可認為等于1，并有

圖1 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物修正Logistic模型中a+c與-b的關系Fig.1 Relationships between a+c and -b in modified Logistic model of winter wheat, summer maize and rice

表2 不同地區冬小麥葉面積指數修正Logistic模型參數擬合結果Tab.2 Parameter fitting results of modified Logistic model for winter wheat leaf area index in different regions

表3 不同地區夏玉米葉面積指數修正Logistic模型參數擬合結果Tab.3 Parameter fitting results of modified Logistic model for summer maize leaf area index in different regions

表4 不同地區水稻葉面積指數修正Logistic模型參數擬合結果Tab.4 Parameter fitting results of modified Logistic model for rice leaf area index in different regions

-b=a+c

(8)

2.2.3參數a和c與相對有效積溫的關系

為了獲得修正Logistic模型中參數a和c與相對有效積溫的關系，將式(8)代入到式(7)可得

由表2～4可知，c>a，可獲得

(9)

則參數a可表示為

a=RGhlc

(10)

這樣可以利用有效積溫獲得相對化修正Logistic模型參數

(11)

2.2.4參數a、b、c與相對有效積溫的關系評估

圖2 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物RGhl與a/c對比Fig.2 Comparisons of RGhl and a/c values of three crops of winter wheat, summer maize and rice

為了進一步評估式(8)的合理性，利用式(11)獲得了最大相對葉面積指數對應相對有效積溫和相對葉面積指數為1/2時對應的相對有效積溫的關系

(12)

圖3 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物RGl與對比Fig.3 Comparisons of RGl and values of three crops of winter wheat, summer maize and rice

3 單參數相對葉面積指數模型及其評估

3.1 單參數修正Logistic模型

前面已經確定了相對化的修正Logistic模型中3個參數之間的關系，并且明確了參數與相對有效積溫的定量表達式(式(11))，利用式(11)對修正的Logistic模型進行參數簡化，則有簡化模型

(13)

由于不同作物種類對應的RGhl不同，利用表1中所列的3種作物數據，分別計算其RGhl。結果顯示，冬小麥RGhlw在0.48～0.50之間，夏玉米RGhlm在0.28～0.41之間，水稻RGhlr在0.22～0.38之間。由于RGhl變化幅度和數值較小，其對計算結果影響也較小，為了簡化模型分別取各范圍平均值，即RGhlw=0.49，RGhlm=0.35，RGhlr=0.30，則冬小麥、夏玉米、水稻3種作物的單參數Logistic相對葉面積指數增長模型可表示為

(14)

式中RLAIw——冬小麥相對葉面積指數

RLAIm——夏玉米相對葉面積指數

RLAIr——水稻相對葉面積指數

這樣將冬小麥、夏玉米和水稻3種作物的修正Logistic三參數模型簡化為單參數模型，可以利用單參數模型和相對有效積溫特征值，計算作物相對葉面積指數變化過程。

3.2 單參數修正Logistic模型評估

3.2.1利用建模數據進行評估

為了評價所建單參數修正Logistic模型，利用式(14)擬合3種作物對應的參數c，并分別計算3種作物的相對葉面積指數，并與實測的葉面積生長數據進行對比，結果繪制成圖4。由圖4可以看出，計算結果和實測數據之間的散點與1∶1線吻合較好，3種作物的決定系數均大于等于0.93，相對誤差在1%以內。同時，利用計算結果與實測數據進行了獨立樣本T檢驗，分析兩組數據的方差顯著性。結果顯示3種作物檢驗結果P均大于0.911，遠大于置信區間0.05。因此，利用本模型所計算的相對葉面積指數并與實測相對葉面積指數之間不具有顯著性差異，表明本研究所建模型符合作物實際生長過程，模型計算效果較好。為了進一步說明簡化相對修正Logistic模型的計算結果與實際相對葉面積指數變化過程吻合程度，利用模型計算了相對葉面積指數并與實測數據進行對比，結果如圖5所示。由圖5可知，所建單參數模型比較好地描述了冬小麥、夏玉米、水稻3種作物的相對葉面積指數變化過程，模擬效果較好，R2均大于0.90。

圖4 模型計算結果與建模實測數據比較Fig.4 Comparisons between simulated RLAI and measured data used in establishing model

圖5 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物建模葉面積指數的簡化相對修正Logistic模型擬合曲線Fig.5 Curves of relative leaf area index of three crops of winter wheat, summer maize and rice fitted by simplified Logistic model (data used in establishing model)

3.2.2利用其他數據進行評估

為了進一步評價單參數Logistic模型的擬合效果，采用表1提供的冬小麥、夏玉米、水稻3種作物生長數據作為驗證數據，利用式(14)計算相對葉面積指數，并與實際值進行比較，結果如圖6所示。由圖6可知，3種作物的5組驗證數據同樣與1∶1線較為吻合，R2均不小于0.90，相對誤差均不大于1.94%，表明實測數據與計算結果之間較為吻合。計算和實測的3種作物相對葉面積指數變化曲線如圖7所示。由圖7可以看出，簡化Logistic模型的計算效果較好，3種作物的擬合曲線決定系數均大于0.90，RMSE均小于0.2000，擬合效果較好。進一步對模型進行標準化殘差分析，結果如圖8所示。由圖8a、8b可以看出，誤差服從正態分布，且殘差散點圖中，殘差在-2～2之間隨機分布，可解釋大部分預測值，殘差獨立。綜上可知，該模型可以用于描述作物相對葉面積指數變化過程。

圖8 單參數Logistic模型殘差分析結果Fig.8 Residual analysis results of single parameter Logistic model

圖7 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物驗證葉面積指數的簡化相對修正Logistic模型擬合曲線Fig.7 Curves of relative leaf area index of three crops of winter wheat, summer maize and rice fitted by simplified Logistic model (verification data)

圖6 模型計算結果與驗證數據比較Fig.6 Comparisons of model simulated data and verification data

4 討論

作物葉面積指數在一定程度上可以反映最終產量，葉面積指數過小時，作物可能因營養吸收不良而導致低產，過大則可能說明作物所吸收的營養物質在其器官內分配不合理，也將造成減產，因此對葉面積變化情況的模擬分析對預測作物產量有著重要作用[39]。現有研究對作物葉面積指數的模擬方法主要包括修正Logistic模型、有理方程[40]以及對數模型[13]等，這些方法均能較好地描述葉面積的變化過程，其中修正Logistic模型應用最為廣泛。

活動積溫是指高于作物生物學下限溫度的日均溫度之和，包含了低于生物學下限溫度的無效積溫，相對于活動積溫，有效積溫更能確切、穩定地反映作物對熱量的需求。本研究主要針對修正Logistic模型，以冬小麥、夏玉米和水稻3種作物為研究對象，借助相對有效積溫建立了相對化的修正Logistic模型，并對模型中的參數關系進行了分析，同時進一步簡化模型，建立了3種作物的單參數修正Logistic模型。模型評價結果顯示，該模型對作物相對葉面積指數的計算結果與實際數據之間差異不顯著，模擬效果良好。且該簡化模型因其參數少，形式簡單，較三參數模型更易推廣應用。在建立簡化修正Logistic模型時，-b=a+c是一項不可或缺的條件，此條件是基于相對化的修正Logistic模型獲得的，且此次研究僅包括冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物，對于其他作物，仍需研究其相對化的修正Logistic模型，進而建立對應的簡化模型。實際上一些學者研究結果也顯示類似結果，如文獻[41]利用10組實驗數據的平均值建立了葉面積指數與相對生育期之間的修正Logistic模型，模型擬合結果顯示，其參數關系也滿足-b=a+c，而本次研究中所采用的相對有效積溫也可代表作物的相對生育期，因此作物相對生育期與生長指標之間的關系仍需進行深入研究，進而明晰其對應模型參數之間的內在聯系，進一步簡化修正的Logistic模型。

實際生產中，作物成熟度主要依靠人的經驗來判斷，因此相較于作物真實停止生長發育的時期，人為判斷的收獲期可能提前或者推后。本研究利用修正Logistic模型，計算了所收集的各組數據對應的最大有效積溫，發現冬小麥的最大有效積溫在1 550～1 675℃之間，夏玉米在1 810～2 012℃之間，水稻在1 314～1 460℃之間，不同地區作物生長所需的最大有效積溫不同，并且由北向南，作物所需積溫呈現出由小變大的趨勢。因此初步判定，作物生長所需的有效積溫與作物種植地區有關，平均氣溫較高的地區，作物生長所需的有效積溫也相對較高。此后應深入分析不同地區作物生長所需有效積溫的空間變異情況，進一步把握不同地區、不同作物的生長態勢。

綜上，本研究基于修正Logistic模型，建立了冬小麥、夏玉米、水稻3種作物更易于推廣和普及的葉面積指數簡化模型，減少了模型參數，更易于預測作物產量，提高農業生產效率，對于建立其他作物的葉面積指數簡化Logistic模型具有一定的指導和借鑒意義。

5 結論

(1)在相對化修正Logistic模型中，參數b與c之間存在線性關系，隨著參數c的增大，b逐漸減小，并且其斜率受作物葉面積指數達到最大值時對應的相對有效積溫的影響，不同作物的斜率不同，冬小麥斜率最小，水稻斜率最大。

(2)在相對化修正Logistic模型中，參數a、b、c之間滿足-b=a+c的關系，通過3種作物擬合數據進行了驗證，結果表明，模型擬合效果較好。

(3)在相對化修正Logistic模型中，參數a與c之間存在正相關關系，隨著c的增大，a逐漸增大，其斜率與作物葉面積指數達到最大值的1/2時所對應的相對有效積溫有關，3種典型作物中，冬小麥斜率最小，水稻斜率最大。

(4)在相對化修正Logistic模型的基礎上，結合各參數之間的關系，建立了冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物相對葉面積指數的單參數Logistic模型。模型評價結果表明，其計算結果與實際相對葉面積指數之間不具有顯著性差異，且對相對葉面積指數變化過程擬合效果較好。該模型可以用于描述冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物相對葉面積指數的變化過程。