數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)在三維振鏡激光掃描儀中的應(yīng)用

翟麗娜

摘? 要： 針對(duì)原有三維振鏡激光掃描儀數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果不精準(zhǔn)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)新型三維振鏡激光掃描儀數(shù)學(xué)模型。根據(jù)掃描儀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)設(shè)定數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)原則并簡(jiǎn)化原始模型，將設(shè)計(jì)原則與簡(jiǎn)化后模型結(jié)合能量守恒定律，設(shè)定硬性約束條件并模擬掃描儀內(nèi)部動(dòng)態(tài)過(guò)程，以動(dòng)態(tài)過(guò)程模擬結(jié)果為依據(jù)，將掃描儀內(nèi)部分割為若干單元塊，通過(guò)單元塊動(dòng)態(tài)過(guò)程計(jì)算結(jié)果與對(duì)應(yīng)關(guān)系完成數(shù)學(xué)模型計(jì)算，至完成此三維振鏡激光掃描儀數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)。構(gòu)建對(duì)比實(shí)驗(yàn)，將原有模型與此模型模擬結(jié)果同測(cè)量結(jié)果相比較，此模型結(jié)果為數(shù)值區(qū)間且包含測(cè)量結(jié)果，原有模型結(jié)果為固定數(shù)值，與測(cè)試結(jié)果誤差較大，證明所提模型動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果更為精確。

關(guān)鍵詞： 三維振鏡激光掃描儀; 動(dòng)態(tài)模擬; 數(shù)學(xué)模型; 圖像處理; 動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng); 三維成像

中圖分類(lèi)號(hào)： TN2?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)： 1004?373X（2020）05?0175?04

Application of mathematical model design in 3D galvanometer laser scanner

ZHAI Lina

（Department of Mathematics and Computer Science， Hengshui University， Hengshui 053000， China）

Abstract： As the dynamic simulation results of the original mathematical model of 3D galvanometer laser scanner is inaccuracy， a new mathematical model of 3D galvanometer laser scanner is designed. According to the structural characteristics of the scanner， the design principles of the mathematical model are set and the original model is simplified. The essential constraints are set and the internal dynamic process of the scanner is simulated according to the design principles， the simplified models and the law of energy conservation. The simulation result of dynamic process is taken as the basis to divide interior of the scanner into several unit blocks， and the mathematical model calculation is fulfilled by the dynamic process calculation result and the corresponding relation of the unit blocks. So far， the mathematical model design of the 3D galvanometer laser scanner is fulfilled. In comparison experiment， the simulation results of the original model and the newly?designed model are compared with the measured results. The latter covers a numerical interval， which contains the measuring results， but the former only has a fixed value， which has a great error in comparison with the measured results. Therefore， the dynamic simulation results of the newly?designed model are more accurate.

Keywords： 3D galvanometer laser scanner; dynamic simulation; mathematical model; image processing; dynamic motion; 3D imaging

0? 引? 言

激光技術(shù)的產(chǎn)生使人們對(duì)周?chē)h(huán)境認(rèn)知進(jìn)入了新時(shí)代。采用激光測(cè)距與探測(cè)的行業(yè)層出不窮。激光設(shè)備因其體積小、精度高、速度快的優(yōu)點(diǎn)正逐步取代原有的光學(xué)儀器[1?2]。

在多數(shù)建筑企業(yè)中，對(duì)激光儀器的使用也逐步升級(jí)轉(zhuǎn)型。激光掃描是近年來(lái)應(yīng)用最多的技術(shù)之一，在激光掃描技術(shù)的應(yīng)用中，使用最多的就是三維振鏡激光掃描儀。所謂的激光振鏡指的是利用反射光束偏轉(zhuǎn)對(duì)物體進(jìn)行成像掃描的激光掃描儀器[3]。在激光振鏡中增加三維激光掃描技術(shù)可以提高掃描儀的測(cè)量精度，提升儀器三維重建的性能。采用三維振鏡激光掃描儀可以快速獲取空間數(shù)據(jù)，并迅速完成空間重建。采用激光掃描儀器的產(chǎn)業(yè)與日俱增，其設(shè)計(jì)制作的過(guò)程也更加精細(xì)。目前，大都采用數(shù)學(xué)模型完成其內(nèi)部結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)理邏輯方法與數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建掃描儀的設(shè)計(jì)模型與運(yùn)動(dòng)模型[4]。

針對(duì)使用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對(duì)三維振鏡掃描儀數(shù)值模擬動(dòng)態(tài)數(shù)值精度較差的問(wèn)題，設(shè)計(jì)新型三維振鏡激光掃描數(shù)學(xué)模型。采用此模型可以有效解決原有模型造成的問(wèn)題，為日后掃描儀的設(shè)計(jì)提供便利。

1? 三維振鏡激光掃描儀的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)

三維振鏡激光掃描儀常用作測(cè)距成像，可以將掃描目標(biāo)清晰的呈現(xiàn)。隨著三維振鏡激光掃描儀使用次數(shù)的增加，研究其特性的要求也隨之增加。因而，設(shè)計(jì)三維振鏡激光掃描儀數(shù)學(xué)模型來(lái)提升研究效果。在此次數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)中，依據(jù)三維振鏡激光掃描儀的工作特征構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，三維振鏡激光掃描儀設(shè)備參數(shù)如表1所示。

根據(jù)上述三維振鏡激光掃描儀的設(shè)備參數(shù)完成掃描儀的結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)。在數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)的過(guò)程中，通過(guò)設(shè)備參數(shù)控制建模過(guò)程，保證數(shù)學(xué)模型的真實(shí)性與有效性。

1.1? 數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)原則

基于三維振鏡激光掃描儀的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果，得到相應(yīng)的性能特征。在此基礎(chǔ)上，按照三維振鏡激光掃描儀的性能要求，建立能夠滿足三維激光掃描技術(shù)的掃描儀動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

由于掃描儀的動(dòng)態(tài)過(guò)程較為復(fù)雜，在數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)不僅僅是時(shí)間函數(shù)，其中還包括掃描儀所處環(huán)境的空間函數(shù)，也就是該設(shè)備在固定空間內(nèi)的分布特性[7?9]。在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，掃描儀內(nèi)部的狀態(tài)參數(shù)呈非線性關(guān)系;儀器內(nèi)部的微小組成設(shè)備性能與其自身的運(yùn)動(dòng)函數(shù)都在發(fā)生變化。使得反映掃描儀特性的動(dòng)態(tài)方程較為復(fù)雜。因而，對(duì)掃描儀的動(dòng)態(tài)模型實(shí)施簡(jiǎn)化。

在模型簡(jiǎn)化的過(guò)程中，保留儀器內(nèi)部的主要作用因素，忽略與模型無(wú)關(guān)的因素，使得模型可以采用最少的變量完成對(duì)掃描儀特點(diǎn)的描述。采用簡(jiǎn)化手段可以使數(shù)學(xué)模型在不失去掃描儀特性的情況下，保證模型的穩(wěn)定性，降低模型的階數(shù)。以上述簡(jiǎn)化原則為依據(jù)，建立掃描儀模型，設(shè)定下述原則：

1） 將掃描儀數(shù)學(xué)模型按照三維激光掃描技術(shù)與振鏡掃描儀的特性考慮，將掃描儀的動(dòng)態(tài)過(guò)程按照光束發(fā)射、圖像采集以及圖像重建三部分中的參數(shù)計(jì)算。

2） 模型中不考慮外界因素以及掃描儀的能量損耗。

3） 模型中所考慮的掃描儀外界為固定模式，降低對(duì)模型的影響。

為準(zhǔn)確而全面地模擬掃描儀的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，依照上述原則設(shè)定，在模擬動(dòng)態(tài)過(guò)程與模型構(gòu)建中，充分考慮到掃描儀的結(jié)構(gòu)、內(nèi)部金屬材料的熱容、振鏡的性能以及掃描儀的成像因素對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的影響[10]。

1.2? 模擬掃描儀內(nèi)部動(dòng)態(tài)過(guò)程

根據(jù)上述原則設(shè)定，完成對(duì)掃描儀內(nèi)部動(dòng)態(tài)過(guò)程的模擬。根據(jù)激光掃描儀的特點(diǎn)，將掃描儀的運(yùn)動(dòng)過(guò)程重點(diǎn)設(shè)定為激光光束的發(fā)射以及三維成像重建。將上述設(shè)備參數(shù)設(shè)定為模擬過(guò)程的硬性約束條件。以激光掃描原理為依據(jù)控制其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的內(nèi)部平衡狀態(tài)，完成對(duì)掃描儀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模擬[11]。在掃描儀工作狀態(tài)下，波長(zhǎng)、功率、激光響應(yīng)時(shí)間等因素?cái)?shù)據(jù)都會(huì)對(duì)其內(nèi)部動(dòng)態(tài)造成影響。因而，采用序貫?zāi)K法結(jié)合聯(lián)立方程法模擬掃描儀的動(dòng)態(tài)過(guò)程并通過(guò)DCS界面實(shí)現(xiàn)掃描儀模擬仿真過(guò)程。

模擬掃描儀內(nèi)部動(dòng)態(tài)過(guò)程將掃描儀內(nèi)部的流通通道分割成多個(gè)單元模塊，基于分塊完成掃描儀內(nèi)部動(dòng)態(tài)模擬，并研究模塊之間的動(dòng)態(tài)過(guò)程。在動(dòng)態(tài)模擬的過(guò)程中，按照能量守恒定律保證輸入量-輸出量+生成量-消耗量=積累量[12]，將其應(yīng)用于動(dòng)態(tài)模擬之中。假設(shè)掃描儀中的原始激光光束設(shè)定為[M1]，發(fā)射后放射回掃描儀的激光光束設(shè)定為[M0]，若掃描儀中輸出的激光總量為[F1]，各過(guò)程中輸出的能量為[F2]。掃描儀內(nèi)的能量積累量為[A]，掃描儀內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)反應(yīng)容積為[P]，運(yùn)動(dòng)反應(yīng)速度為[v]，則依據(jù)能量守恒定律，掃描儀的動(dòng)態(tài)能量守恒為：

[dMdt=n=1M1F1-n=1M0F2-vP] （1）

通過(guò)式（1）控制動(dòng)態(tài)模擬過(guò)程，依據(jù)式（1）內(nèi)容，掃描儀動(dòng)態(tài)過(guò)程如圖1所示。

根據(jù)圖1完成掃描儀內(nèi)部動(dòng)態(tài)模擬過(guò)程，并保證其內(nèi)部總質(zhì)量恒定，也可以將其用于掃描儀內(nèi)部任意零部件上[13]。在模擬過(guò)程中，某些變量值或許會(huì)為零，以保證模擬過(guò)程的穩(wěn)態(tài)進(jìn)行。

1.3? 完成數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)

根據(jù)掃描儀動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果結(jié)合能量守恒定律完成對(duì)三維振鏡激光掃描儀的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建。在動(dòng)態(tài)模擬過(guò)程中，將掃描儀數(shù)學(xué)模型分為激光發(fā)射與激光反射兩個(gè)環(huán)節(jié)：激光發(fā)射環(huán)節(jié)中包括光束形成以及光束發(fā)出兩部分;激光反射環(huán)節(jié)包括反射光束以及成像重建兩部分[14]。依據(jù)上述的分割單元完成模型構(gòu)建。為保證模型構(gòu)建的科學(xué)性，設(shè)定模型構(gòu)建流程如圖2所示。

在掃描儀中，激光通過(guò)掃描儀內(nèi)部設(shè)備完成交互過(guò)程。將掃描儀內(nèi)部分割成[N]個(gè)單元，根據(jù)構(gòu)建流程設(shè)定掃描儀內(nèi)部單元塊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)單元塊與單元塊之間建立激光傳導(dǎo)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型[15]。設(shè)定相鄰兩單元塊之間的光線質(zhì)量分別為[A1]，[A2]，傳播速度為[Qm]，[Qn]，初始光束半徑為[I1]，[i1]，且[I1>i1]，激光傳播系數(shù)為[K]，接觸面積為[E]，在傳播時(shí)間[T]后，兩單元塊接收到的激光分別為[I]，[i]。根據(jù)動(dòng)態(tài)過(guò)程模擬中的守恒定律得出兩單元塊之間的激光關(guān)系：

[i=A1QmA2Qn（I1-I）+i1=K（I1-I）+i1] （2）

設(shè)定[K=A1QmA2Qn]，則有[I1IA1QmI=i1iK（I-i）A2Qn]，通過(guò)積分可得：

[I=exp（ln（（1+K）I1）-（i1+KI1））-1+KA1Qm+（i1+KI1）1+K]

（3）

從式（3）可以看出，隨著時(shí)間的增加，兩單元塊之間的激光越來(lái)越接近，傳導(dǎo)速度越來(lái)越慢。通過(guò)模擬掃描儀內(nèi)部的[N]個(gè)單元塊動(dòng)態(tài)過(guò)程，在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)都可以通過(guò)計(jì)算得出對(duì)應(yīng)兩單元之間的激光能量變化。這樣就可以得到掃描儀內(nèi)部的動(dòng)態(tài)變化值，組合其數(shù)值計(jì)算過(guò)程及結(jié)果，至此，三維振鏡激光掃描儀的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)完成。

2? 模擬結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的三維振鏡激光掃描儀數(shù)學(xué)模型的有效性，本文設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)研究其性能。在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，采用與原有方法對(duì)比的形式完成數(shù)學(xué)模型性能研究。

2.1? 模擬實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備過(guò)程

為保證實(shí)驗(yàn)過(guò)程的有效性，采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)的形式分析原有模型與本文設(shè)計(jì)模型的優(yōu)劣性。已知掃描儀在工作中呈動(dòng)態(tài)模式。針對(duì)這一特性，采用模型動(dòng)態(tài)數(shù)值精準(zhǔn)度完成實(shí)驗(yàn)對(duì)照。為保證在數(shù)學(xué)模型模擬實(shí)驗(yàn)過(guò)程的一致性，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境。

根據(jù)掃描儀數(shù)學(xué)模型的計(jì)算特點(diǎn)，將三維振鏡激光掃描儀模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，并將其在Simulink上完成搭建。通過(guò)使用本文設(shè)計(jì)模型與原有模型完成對(duì)其內(nèi)部動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的求值。在求值過(guò)程中對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備的計(jì)算精準(zhǔn)度要求較高，所采用的實(shí)驗(yàn)設(shè)備具有較高的計(jì)算精密度，具體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

使用上述實(shí)驗(yàn)設(shè)備完成數(shù)學(xué)模型模擬過(guò)程。在模擬過(guò)程中設(shè)定4組輸入值，分別為10，50，100，200，將其作為模型原始值錄入數(shù)學(xué)模型中，計(jì)算并對(duì)比兩種模型的計(jì)算結(jié)果。設(shè)定初始條件為：掃描儀全長(zhǎng)為30 cm，掃描儀內(nèi)部激光傳播速度為0.1 m/s。將掃描儀內(nèi)部分割為10個(gè)小單元塊，模擬其內(nèi)部動(dòng)態(tài)過(guò)程。同時(shí)，采用儀器對(duì)掃描儀內(nèi)部激光實(shí)現(xiàn)機(jī)密測(cè)量，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2.2? 模擬結(jié)果分析

根據(jù)上述模擬過(guò)程的設(shè)計(jì)以及實(shí)驗(yàn)設(shè)備設(shè)定，完成掃描儀數(shù)學(xué)模型模擬分析。具體模擬結(jié)果如圖4所示。

通過(guò)圖4模擬結(jié)果可知，使用本文模型所得結(jié)果為動(dòng)態(tài)區(qū)間，而實(shí)際測(cè)量結(jié)果包含在內(nèi)，且誤差較小。原有數(shù)學(xué)模型模擬結(jié)果為一確定值，模擬期間沒(méi)有模擬掃描儀動(dòng)態(tài)過(guò)程，導(dǎo)致模擬結(jié)果誤差較大，僅有一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果與測(cè)量結(jié)果一致。原有數(shù)學(xué)模型所得模擬動(dòng)態(tài)值精度較差，而本文設(shè)計(jì)模型對(duì)于三維振鏡激光掃描儀的研究更為精準(zhǔn)，使用效果更加優(yōu)越。

3? 結(jié)? 語(yǔ)

三維振鏡激光掃描儀是激光測(cè)距成像的重要設(shè)備，在設(shè)計(jì)與使用上都易于實(shí)現(xiàn)掃描級(jí)精度，也滿足要求，在各行各業(yè)的使用案例都非常多。在對(duì)激光掃描儀的研究中，采用數(shù)學(xué)模型是最簡(jiǎn)易的研究方法之一，可以有效地將掃描儀中的虛擬數(shù)值具象化。模擬掃描儀動(dòng)態(tài)過(guò)程，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)定性，根據(jù)模型的模擬結(jié)果可知，使用本文設(shè)計(jì)的模型可以對(duì)掃描儀內(nèi)部完成詳細(xì)的計(jì)算，為日后對(duì)三維振鏡激光掃描儀的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供相應(yīng)的計(jì)算依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 余雄超，胡永祥，姚振強(qiáng).大型工件激光噴丸三維掃描光路系統(tǒng)光斑畸變分析與校正方法研究[J].電加工與模具，2018（4）：45?47.

[2] 鄭少開(kāi)，鄭書(shū)民，丁軍，等.三維激光掃描關(guān)鍵技術(shù)與實(shí)體建模現(xiàn)狀[J].北京測(cè)繪，2017（z2）：58?62.

[3] 何彥瑞，吳維.激光三維掃描技術(shù)在電影美術(shù)設(shè)計(jì)中的研究[J].激光雜志，2017，38（9）：136?139.

[4] 牛晰，袁曉東.基于物體特征有效提取和離散點(diǎn)三維重建的3D掃描系統(tǒng)原型研究[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2017，25（5）：158?161.

[5] 付晨，徐愛(ài)功，徐辛超.基于三維激光掃描的校園建筑物三維建模研究[J].測(cè)繪與空間地理信息，2017，40（11）：133?136.

[6] 馮上朝，吳滿意，劉莎.三維激光掃描數(shù)據(jù)精度分析模型研究及應(yīng)用[J].價(jià)值工程，2018，37（21）：177?178.

[7] 楊必勝，梁福遜，黃榮剛.三維激光掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理研究進(jìn)展、挑戰(zhàn)與趨勢(shì)[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2017，46（10）：1509?1516.

[8] 翟永，劉津，陳杰，等.計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備的運(yùn)維決策和評(píng)估數(shù)學(xué)模型分析[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2018，45（z1）：581?585.

[9] 方如舉，王建平，孫偉.基于最小流量的智能配電網(wǎng)WSNs通信模型[J].電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2017，31（8）：1218?1226.

[10] 孟彥春，張立新，孫云峰.新型全數(shù)字頻率傳遞方法數(shù)學(xué)模型及算法研究[J].電子設(shè)計(jì)工程，2018，26（4）：19?23.

[11] 安航航，包燕平，李茂旺.[φ]200 mm斷面37Mn5鋼凝固過(guò)程數(shù)學(xué)模型及在提拉速中的應(yīng)用[J].冶金設(shè)備，2017（1）：1?8.

[12] 商保利，吳剛，吳惠龍.振鏡式激光眩目器光學(xué)變焦設(shè)計(jì)[J].激光雜志，2017，38（7）：143?146.

[13] 白潤(rùn)才，韓陽(yáng)，劉光偉，等.復(fù)合煤層露天礦采運(yùn)排設(shè)備配置優(yōu)化模型研究[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2017，19（2）：216?223.

[14] 楊丕胤，甘振華，高躍明.基于振鏡掃描的生物芯片熒光信號(hào)光強(qiáng)校正[J].光學(xué)儀器，2017，39（2）：70?76.

[15] 何嘉輝，周鵬，余暉俊，等.電磁驅(qū)動(dòng)大尺寸MEMS掃描鏡的研究[J].光子學(xué)報(bào)，2017，46（1）：15?22.