關于《高等數學》幾個教學內容的處理

摘 要： 針對《高等數學》中數列極限、隱函數方程組求導和微分方程特解的求法分別進行了分析，在此基礎上提出了三個新的解決問題的方法。

關鍵詞： 數列極限;隱函數;微分方程;特解;導數

如何對學生進行更好的教育，這是我們所有教育工作者以及社會各界人士共同的責任和義務，更是我們孜孜不倦的追求和目標，所以在教學中，要不斷地進行相應的改進，以便能對學生進行更好的教育，決不能僅僅教授書本上的知識，要把知識給同學們產生一個系統和嚴謹的聯系。另外，《高等數學》是大學工科各專業非常重要的一門基礎課，是學習其他課程的重要基礎，同時也是新生學習難度比較大的課程。在如何提高《高等數學》的教學質量這個問題上，我們也一直在不斷地努力探索和鉆研。所以，在實際教學中，我們注重不斷改進教學方法和教學內容的處理，在這些方面，很多教師給我們做出了表率和帶頭作用。我們在學習優秀教師教學手段的基礎上，也取得了一定的進步，同時在教學中，也有了自己的一點心得。下面就是我們的一點教學體會，我從三個方面進行說明。

在《高等數學》上冊中，講到收斂數列的有界性時，我們不妨把數列有界的定義放在數列的概念講完之后就進行解釋，我們知道數列是一種特殊的以自然數為自變量的函數，即它的定義域是全體自然數，先看一下函數有界的概念：

定義1：稱函數f（x）有界，若x∈D，都有 f（x）

那么按照函數的概念，很自然地得到了數列有界的定義。

定義2：稱數列 an 有界，若n∈N，都有 an

接著，我們可以得到下面的推論：

推論：如果N0，當n>N0時，有 an

這樣一來，到后面我們用收斂數列的定義證明其有界性時， 就很自然用到了上面的推論，lim n→

SymboleB@? an=A對于ε=1，N0>0，當n>N0時，有 an-A <1。

即 an < A +1（其中A是數列 an 的極限，即為某一常數）

根據上面的推論，自然知道數列 an 有界。

結果可以說是很自然的，同學們也很容易接受。

在這里，我們把教學的難點進行了分開講解，降低了教學的難度。

在下冊中，講到隱函數方程組求導時，也是一個難點，我們主要教給學生如何判別變量的類型，這種方法主要是分清楚變量的兩種類型，即因變量、自變量。這樣才能以不變應萬變，做任何題目才能胸有成竹，下面我們舉兩個例子進行解釋。

例1： x+y+z=0

x2+y2+z2=1 ， 求 dx dz

解：[分析：從題目所求的導數知道，原方程組的三個變量中，x是因變量，z是自變量，由于兩個方程組成的方程組可以求解出兩個變量，可知變量y也是因變量，即變量x，y分別是z的一元函數。

方程組兩邊對變量z求導，得：

dx dz + dy dz +1=0

2x dx dz +2y dx dz +2z=0

求解方程組得到，? dx dz = y-z x-y

dy dz = z-x x-y

例2：設y=f（x，t），而t是由方程F（x，y，t）=0所確定的x，y的函數，其中f，F都具有一階連續導數，試證明：

dy dx =? f x? F t - f t? F x? ?f t? F y + F t

解：[分析：這是教材上比較難的一個題目，但我們只要分清楚變量的類型，就很容易解決，從要證明的結論知道變量y是變量x的一元函數，從而在方程組 y=f（x，t）

F（x，y，t）=0 中，變量t也是x的一元函數，這樣一來，這題和上面的例1解法就一樣了，只是例2是抽象函數，而例1是一個具體的函數而已。]

對方程組 y=f（x，t）

F（x，y，t）=0 兩邊對變量x求導，得：

dy dx = f x + f t? dt dx

F x + F y? dy dx + F t? dt dx =0

求解上式可解出 dy dx =? f x? F t - f t? F x? ?f t? F y + F t? ，證明完畢。

下面是關于《高等數學》（見參考文獻[1]）第七章第八節一個教學內容的處理：

在這節的教學中，我們給學生講解針對不同的非齊次項，如何求出特解的形式，然后代入原來的微分方程，從而求出特解的具體表達式。我們在教學中大都告訴學生，對于第一種情形，我們可以僅僅代入特解中的多項式函數，不用代入整個函數，這是因為我們在證明特解的形式時，就已經得到了如下的結論：

Q″+（2λ+p）Q′+（λ2+pλ+q）Q=Pn（x）eλx

其中λ，Pn（x），eλx（見參考文獻[1]）。

顯然，我們這樣計算非常簡便。那么，第二種特解形式有沒有同樣的簡便過程呢？教材上沒有對這一問題進行講解。從而導致在學習這段內容的時候，很多同學只能把兩種類型分開去學習，產生了一些困難。由于第二種類型更加難于理解，也使得一些同學產生了厭學情緒。其實這個問題我們可以和第一種特解形式一樣的處理。

下面我們就推導這一過程。

設y*（x）=eλx（R1（x）coswx+R2（x）sinwx），代入y″+py′+q，得：

R1″（x）+（2λ+p）R1′+（λ2+pλ+q-w2）R1+2wR2′+（2λw+pw）R2=Pl（x）? ?（1）

R2″（x）+（2λ+p）R2′+（λ2+pλ+q-w2）R2-2wR1′-（2λw+pw）R1=Pm（x）? ?（2）

下面我們合并（1）+i（2），得：

R1″（x）+（2（λ-iw）+p）R1′+（（λ-iw）2+p（λ-iw）+q）R1+i[R2″（x）+（2（λ-iw）+p）R2′+（（λ-iw）2+p（λ-iw）+q）R2]

=Pl（x）+iQn（x） （3）

兩端實部、虛部分別對應，即可得到（1）和（2）式。

這樣，我們就把非齊次項兩種類型統一的用一種簡便的形式進行求解，這在具體求解時非常的方便，下面我們例說明：

例3見參考文獻[1]：求微分方程y″-y=excos2x的一個特解。

解：特征方程為r2-1=0，所以λ-iw=1-2i不是特征方程的根，從而設特解為y*（x）=ex（acos2x+bsin2x），代入（3）式，得：

（（1-i2）2-1）a+i[（（1-i2）2-1）b]=1+i0

即（-4-4i）a+i[（-4-4i）b]=1+i0，從而 -4a+4b=1

-4a-4b=0 ，從而 a=- 1 8

b= 1 8? 。

因此所給方程的一個特解為y*（x）= 1 8 ex（-cos2x+sin2x）。

注：我們可以和書本[1]上的解法進行比較，可知我們的解法簡便。為了簡潔，在此省略書本[1]上的解題過程。

眾所周知，處理好教學內容對于教學質量的提高有很大的幫助，當然對于我們教師的教學工作也有很大的促進作用，能夠使得我們教師對教材有更深的理解和掌握。這樣，我們在教學中才能駕熟就輕，游刃有余，才能保證教給同學一滴水，自己要有一桶水的要求。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系，高等數學（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

作者簡介： 吳彥強（1976—），男，漢族，江蘇徐州，博士，副教授，研究方向：非線性分析。