三角形內(nèi)角和定理的證明　教學(xué)設(shè)計(jì)

潘維松

一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

在《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)要以學(xué)生發(fā)展為本，特別重視發(fā)揮學(xué)生主體在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的主動(dòng)和能動(dòng)作用。基于這樣的思考，我設(shè)計(jì)了三角形內(nèi)角和定理的證明這節(jié)課。課標(biāo)要求數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。本節(jié)課通過對(duì)三角形內(nèi)角和定理的證明，調(diào)動(dòng)學(xué)生關(guān)于平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)和邏輯證明的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過討論，探究，進(jìn)而給出證明，學(xué)生能清晰、有條理的表達(dá)自己的思考過程。在典例解析，合作探究這個(gè)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生積極參與合作、探究、解決問題的全過程，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探索、交流中會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)和樂學(xué)數(shù)學(xué)，力求體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的指導(dǎo)思想。

二、教學(xué)背景分析

（一）教材分析

三角形的內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之間的關(guān)系的，是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，既是今后幾何推理的重要依據(jù)，又是計(jì)算角度的重要方法，還為解決四邊形和多邊形的內(nèi)角奠定了基礎(chǔ)提供了方法。其中輔助線的作法、把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，構(gòu)造了新圖形、形了成新關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了未知與已知的轉(zhuǎn)化，起到了解決問題的橋梁作用。

基于此，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)探索證明三角形內(nèi)角和定理的不同方法。

（二）學(xué)情分析

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前， 學(xué)生在小學(xué)里對(duì)“三角形內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論有了一定直觀認(rèn)識(shí)，前面又學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念，平角定義和平行線的性質(zhì)，為三角形內(nèi)角和定理的證明做了鋪墊。但學(xué)生并末真正去論證過，尤其是輔助線的作法學(xué)生在幾何證明過程中接觸不多。 基于此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用添加輔助線的方法對(duì)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

知識(shí)技能：掌握三角形內(nèi)角和定理的證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用，初步學(xué)會(huì)作輔助線的方法進(jìn)行證明。

數(shù)學(xué)思考：通過探索三角形內(nèi)角和定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、和推理論證能力，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

問題解決：能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和添加輔助線的方法解決三角形內(nèi)角和定理的證明問題，形成解決問題的一些基本策略。

情感態(tài)度：通過一題多證、一題多變激發(fā)學(xué)生勇于探索、合作交流的精神，體驗(yàn)成功的樂趣，引導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。形成與他人交流、合作的意識(shí)和探究精神。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題。

教學(xué)難點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的常用方法及對(duì)三角型面積的各種方法的歸納提升。

四、教學(xué)策略分析

教學(xué)方法：

教學(xué)中采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、嘗試探究法，讓他們自主探索、合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，讓他們?cè)谡故局畜w驗(yàn)成功的快樂，培養(yǎng)他們的思維能力與創(chuàng)新精神。

教學(xué)手段：

本節(jié)課選擇多媒體輔助教學(xué)，同時(shí)借助幾何畫板，為學(xué)生自主探究和發(fā)現(xiàn)新知提供必要的技術(shù)支持

五、教學(xué)過程

（一）觀察情境 探索問題

在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起了……”“為什么？” 老二很納悶。

同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？

三角形藍(lán)和三角形紅見面了，藍(lán)炫耀的說：“我的面積比你大，所以我的內(nèi)角和也比你大！”紅不服氣的說：“那可不好說噢，你自己量量看！” 藍(lán)用量角器量了量自己的內(nèi)角和，就不再說話了！

同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？

1.提出問題：

（1）“三角形內(nèi)角和是180°”一定是個(gè)真命題嗎？你是怎樣知道的？

（2）你都可以運(yùn)用什么方法來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論呢

教師引導(dǎo)學(xué)生用手中的工具對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證：度量，折紙，剪拼。

教師指出：任何實(shí)驗(yàn)都會(huì)有誤差，即使全班同學(xué)都各自剪出了不同形狀的三角形，但也不能就此說明所有的三角形都具有這一共性。那么怎樣才能說明“三角形內(nèi)角和是180°”的真實(shí)性呢？只有經(jīng)過嚴(yán)格的幾何證明，證明命題的正確性，才能說明他的真實(shí)性，才能作為定理。

（二）尋找方法 研究規(guī)律

學(xué)生思考與180°有關(guān)的角后回答，可拼成：①平角，②兩平行線間的同旁內(nèi)角。教師引導(dǎo)，要把三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個(gè)角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角呢？下面同學(xué)們利用準(zhǔn)備好的3三角形紙片拼一拼，畫一畫。

1.我探究我快樂

每個(gè)學(xué)生畫出一個(gè)三角形，并將它的內(nèi)角剪下，分小組做拼角實(shí)驗(yàn)。通過小組合作交流，討論有幾種拼合方法？

1、開展小組競(jìng)賽（看哪個(gè)小組發(fā)現(xiàn)多？說理清楚。），各小組派代表展示拼圖，并說出理由。

學(xué)生各抒已見，暢所欲言，鼓勵(lì)學(xué)生傾聽他人的方法。

歸納：可以搬一個(gè)角用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來說理，也可以搬兩個(gè)角、三個(gè)角用“平角定義”說明。引導(dǎo)學(xué)生合理添加輔助線（學(xué)生討論，教師點(diǎn)評(píng)），為書寫證明過程做好鋪墊。

組員之間交流思路，探索不同證明方法，形成共識(shí)，準(zhǔn)備展示。（寫到展示板上）

2.我展示我精彩

小組交流之后，請(qǐng)學(xué)生代表展示

教師預(yù)設(shè)方法：

延長(zhǎng)BC，過C作CE∥AB ? ? ? ? ? ? ? ?過A作MN∥BC

在BC上任取一點(diǎn)D，

過D分別作DM∥AC，DN∥AB

在△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)D， ? ? ? ? ? ? ? ? 在△ABC外部任取一點(diǎn)D，過D點(diǎn)

過P點(diǎn)作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。 ? ? ? ? ?作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。

學(xué)生可能還有其它畫法。

“抓住根本” 抓住“把三個(gè)角‘搬到一起，讓三個(gè)頂點(diǎn)重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角的定義”這一基本思想，可以把三個(gè)角集中到三角形的某一個(gè)頂點(diǎn);可以把三個(gè)角集中到三角形的某一邊上;可以把三個(gè)角集中到三角形的內(nèi)部的一點(diǎn);可以把三個(gè)角集中到三角形的外部的一點(diǎn)。學(xué)數(shù)學(xué)要善于抓住不變的根本，又要靈活地在變化中認(rèn)識(shí)、處理和解決問題。讓學(xué)生學(xué)會(huì)“抓住根本”，而不在于有幾種證明方法。培養(yǎng)學(xué)生的推理與證明能力。

過A作AN∥BC

也可以搬一個(gè)角用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來說理，

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明：三角形的內(nèi)角和等于180°這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)需要先干什么呢？（需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證。）

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長(zhǎng)線CD，過點(diǎn)C作射線CE∥BA.

∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

你能用其他添加輔助線的方法，證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

（4）平面直角坐標(biāo)系中的求三角形面積的萬(wàn)能方法（特屬于平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法）

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3）、B（1，4）、C（3，0）是△ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)，

（1）求直線AC解析式

（2）求△ABC的面積。

3.我歸納我提升

在平面直角坐標(biāo)系中，求圖形面積的方法有

教師和學(xué)生共同總結(jié)：

1.割補(bǔ)法：就是分割與補(bǔ)形。

2.證垂直的方法的關(guān)鍵是猜想，猜想是在對(duì)研究的對(duì)象或問題進(jìn)行觀察、分析、比較等基礎(chǔ)上，依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出推測(cè)性想象的思維方法。

3.作平行線法，我們選擇這種方法，對(duì)平行線間的面積首先要理解兩個(gè)性質(zhì)：1平行線間的距離處處相等;2等底等高的三角形面積相等。

4. 平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的萬(wàn)能方法（特屬于平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法）平面直角坐標(biāo)系中任意一個(gè)三角形的面積都可以寫成（ ×水平寬×鉛垂高）。

（三）變式練習(xí) ?歷練能力（我練習(xí)我成功）

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C是△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，

1.求直線AB解析式;

2.求△ABC的面積。

【設(shè)計(jì)意圖】通過變式練習(xí)，使學(xué)生練習(xí)的過程中，鞏固在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法，重點(diǎn)練習(xí)水平寬和鉛垂高的方法。