初中幾何常見(jiàn)輔助線的添加技巧

黃雅梅

“人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線”，該怎樣添加輔助線，一直是讓學(xué)生最頭疼的問(wèn)題.初中數(shù)學(xué)幾何題型添加輔助線的現(xiàn)狀一般如下：掌握添加輔助線技巧的學(xué)生，在遇到需要添加輔助線的題型時(shí)，往往能準(zhǔn)確添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，迅速解題;有些學(xué)生遇到添加輔助線的幾何證明題時(shí)，不知道該往哪方面入手，產(chǎn)出害怕的心理;大部分學(xué)生不知道如何在錯(cuò)綜復(fù)雜的幾何圖形去添加合適的輔助線;有些學(xué)生認(rèn)為添加輔助線是靠運(yùn)氣的，隨便添加就可以了，運(yùn)氣好問(wèn)題就會(huì)自然解決;輔助線的添加技巧難度很大，沒(méi)有特定的模式，得長(zhǎng)期磨練，不合適的輔助線會(huì)使圖形變得更凌亂，使問(wèn)題變得更復(fù)雜，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和展開(kāi)解題思路;學(xué)生停留在模仿做老師講過(guò)題型，遇到需要添加輔助線的新題型束手無(wú)策.針對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何題型添加輔助線的現(xiàn)狀，我們需要掌握幾種常見(jiàn)圖形添加輔助線的技巧.

一、三角形中常用輔助線的添加技巧

1.在等腰三角形中，常見(jiàn)輔助線添加技巧一般有：①作底邊的高（或者作底邊的中線或頂角平分線）;②倍長(zhǎng)一條腰;③平移腰，使其構(gòu)成一個(gè)新的等腰三角形.

例：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E在底邊BC上，AD=AE，

求證： BD=CE.

思路分析：由題目知AB=AC，AD=AE，△ABC是等腰三角形，所以△ADE也是等腰三角形 ，而所求線段BD、CE在底邊BC上，過(guò)頂點(diǎn)A向底邊BC作高，可以根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)來(lái)證明BD=CE.當(dāng)然，也可以證明△ABD和△ACE全等，然后得出BD=CE.

2.在直角三角形中，常用輔助線的添加技巧一般有：①過(guò)直角頂點(diǎn)向斜邊作高;②在直角三角形的斜邊上作中線或加倍延長(zhǎng)一條直角邊，將圖形轉(zhuǎn)化為等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題;③構(gòu)造新的直角三角形.

3.在全等三角形中，常見(jiàn)輔助線的添加技巧一般有：①構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形;②構(gòu)造軸對(duì)稱型全等三角形;③根據(jù)圖形的特征恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形;④通常出現(xiàn)有對(duì)應(yīng)邊平行、同位角相等時(shí)，可以考慮平移型全等三角形;⑤構(gòu)造翻折型全等三角形;⑥構(gòu)造全等三角形.

例：如圖，在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上的其中一點(diǎn)，BE和AD相交于點(diǎn)F，如果AE=EF.證明：AC=BF.

思路分析：根據(jù)三角形全等來(lái)證AC=BF.由圖可以看出AC、BF所在的三角形不是全等三角形.可以把AC、BF移到同一個(gè)三角形，根據(jù)等角對(duì)等邊來(lái)證明.

4.在相似三角形中，常見(jiàn)輔助線的添加技巧一般有：①作平行線;②根據(jù)“三點(diǎn)定形”構(gòu)造相似三角形.

例：如圖，DF與AB相交于點(diǎn)E，DF與AC相交于點(diǎn)F，DF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，BE=FC.求證：DF∶DE=AB∶AC

思路分析：題中要證明線段與線段之間的比例相等，但給出的圖形中沒(méi)有相似三角形，過(guò)點(diǎn)E作EG與AC平行，這樣可以找到與DF∶DE和AB∶AC有關(guān)相等的線段比，有利于證題.

二、 四邊形中常見(jiàn)輔助線的添加技巧

1.在一般四邊形中，普遍地，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形是解決四邊形的主要思路.所以，在一般四邊形中常用輔助線的添加方法有：①連對(duì)角線;②延長(zhǎng)對(duì)邊;③根據(jù)題中已知的特殊條件，將一般四邊形轉(zhuǎn)變成特殊四邊形和三角形兩部分.

例：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=3，則AB=（ ? ）

A.4 ? ?B.5 ? C. ? ?D.

思路分析：由題目∠A=60°，∠ABC=90°，可以聯(lián)想到把AD、BC延長(zhǎng)，使其交于點(diǎn)G，則可得出含有30°的直角三角形，從而四邊形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化到三角形問(wèn)題中去解決.

2、在平行四邊形中，常用輔助線的添加技巧一般有：①把平行四邊形中的對(duì)角線連接起來(lái)，以便構(gòu)造全等三角形;②平移對(duì)角線;③過(guò)頂點(diǎn)向兩邊作垂線;④把頂點(diǎn)延長(zhǎng)與一邊的中點(diǎn)連線，使圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?⑤過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)，作對(duì)角線的垂線;⑥將一邊的中點(diǎn)與對(duì)角線的交點(diǎn)連接;⑦延長(zhǎng)以一邊的中點(diǎn)作為端點(diǎn)的線段.

3.在梯形中，常用輔助線的添加技巧一般有：①作垂線;②平移其中一條腰，將一梯形分成一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形;③延長(zhǎng)兩腰;平移梯形的一條對(duì)角線，將梯形變成一個(gè)三角形;④將梯形的對(duì)角線連接，使梯形分為若干個(gè)三角形;⑤將梯形的一個(gè)頂點(diǎn)和一條腰的中點(diǎn)連接，使梯形構(gòu)成一個(gè)三角形;⑥過(guò)一條腰的中點(diǎn)向另一條腰作平行線，使梯形割補(bǔ)成平行四邊形.

三、多邊形中常見(jiàn)輔助線的添加技巧

在題中遇到多邊形時(shí)，一般將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)變成三角形和特殊四邊形問(wèn)題來(lái)解決.

四、圓中常見(jiàn)輔助線的添加技巧

圓是初中數(shù)學(xué)幾何的重要組成部分，與圓有關(guān)的幾何題型很多都需要通過(guò)添加輔助線來(lái)完成.若能準(zhǔn)確確添加相關(guān)的輔助線，問(wèn)題便可以迅速解決.在圓中常見(jiàn)輔助線的添加技巧一般有：①作弦心距;②連半徑;③作弦心距且連半徑;④連接弦;⑤作直徑;⑥連公共弦或連連心線;⑦作公切線.

雖然添加輔助線的方法千變?nèi)f化，但也是有規(guī)律的，只要我們認(rèn)真觀察，反復(fù)推敲，就會(huì)容易看出它們的規(guī)律所在.興趣是最好的老師，學(xué)生不能因?yàn)椴欢绾翁砑虞o助線就害怕而退縮，而是要多做、多練、多總結(jié).遇到需要添加輔助線的題型時(shí)，首先應(yīng)認(rèn)真分析，找出合適的輔助線.通過(guò)深思、多想、勤做、善總結(jié)，必然性和規(guī)律性便容易凸現(xiàn)，遇到無(wú)從下手的問(wèn)題便逐步減少.