靜摩擦因數(shù)臨界問(wèn)題的探討

沈 靜

(江蘇省鹽城機(jī)電高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 224000)

在物理研究領(lǐng)域，為方便分析，需要進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化處理，比如對(duì)接觸的兩個(gè)物體在靜摩擦因數(shù)很大條件下，一般需要適當(dāng)化簡(jiǎn)，不過(guò)在化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)該注意到相關(guān)狀態(tài)改變，避免出現(xiàn)臨界問(wèn)題而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例如圖1，在水平面上，存在一個(gè)豎立的勻質(zhì)直桿子，其長(zhǎng)為2α、質(zhì)量為m，和地面的靜摩擦因數(shù)足夠大.對(duì)其施加一微擾，而開始自由倒下，桿的下端開始脫離地面時(shí)，求解其與豎直方向夾角為多大？

圖1

(1)確定出分離時(shí)的狀態(tài)

具體情況如下，初始條件為初始離地瞬間，根據(jù)機(jī)械能守恒定律進(jìn)行分析可知，存在關(guān)系式

①

②

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行分析可知

mgasinθ=Iβ

③

轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，表示如下

④

此位置處，直桿質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)方向的加速度可表示為

⑤

(2)確定出分離時(shí)的角度

第一種方法,進(jìn)行受力分析可知，在分離瞬間,在豎直方向單純只有重力作用到桿上，這種情況下存在關(guān)系式

mg=maτsinθ+mancosθ

⑥

進(jìn)行求解可確定出分離瞬間,桿與豎直方向的夾角表示如下

第二種方法，豎桿分離瞬間，桿水平方向不受力，這里根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可知

maτcosθ-mansinθ=0

⑦

求得，桿與豎直方向間夾角是

分析可知以上方法確定出的結(jié)果不一致，何故？

(3)問(wèn)題分析

本題為直桿與地面分離相關(guān)的臨界問(wèn)題，臨界分別為前一個(gè)狀態(tài)的末態(tài)，以及后一個(gè)的初態(tài)，表現(xiàn)出一定的過(guò)渡屬性.具體分析可知，在靜摩擦因數(shù)充分大情況下，兩個(gè)物體接觸的正壓力不為零，靜摩擦力表現(xiàn)出一定的變化性.在此臨界條件下，正壓力趨于零，不過(guò)也有一定大小的靜摩擦力，而在分離后則摩擦力為零.由此可判斷出在此條件下，分離前后，摩擦力會(huì)大幅度改變，且對(duì)應(yīng)的加速度同樣的改變.而以上例子在進(jìn)行求解時(shí)，沒有將分離前、后瞬間劃分開而導(dǎo)致錯(cuò)誤.公式⑤計(jì)算分析確定出的為分離前瞬間加速度，此條件下正壓力已經(jīng)很小，但仍存在一定摩擦力.因而⑥式正確，⑦式由于沒有區(qū)分分離前后而出錯(cuò).因而在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中為避免出現(xiàn)這類問(wèn)題，應(yīng)該確定出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為分離前還是分離后瞬間，在前一種條件下應(yīng)該分析一定大小的靜摩擦力.

(4)過(guò)程分析

在分離前任意角度條件下，公式①式到⑤式均成立，在一定角度下桿受摩擦力為f，支持力為N, 則進(jìn)行受力分析可知存在關(guān)系式

圖2顯示了二者的關(guān)系曲線，具體分析可知在此變化過(guò)程中,彈力N逐步趨于零，而分離前瞬間f向左，而在分離后則變?yōu)榱?

圖2

(5)拓展應(yīng)用

以上在舉例分析基礎(chǔ)上，討論了靜摩擦因數(shù)充分大條件下，物體分離前后的摩擦突變問(wèn)題，接著對(duì)類似的問(wèn)題進(jìn)行分析.如圖3所示，將一個(gè)小球放在半圓柱頂端，小球的質(zhì)量為m、半徑為r，半圓柱體的截面半徑為R=7r、質(zhì)量為M=1.5m，假設(shè)二者間的靜摩擦因數(shù)充分大，適當(dāng)對(duì)小球一微擾促使其滾下.計(jì)算出在兩種狀態(tài)下小球與圓柱脫離時(shí)，對(duì)應(yīng)的θ數(shù)值.

圖3

①半圓柱固定時(shí)，小球與圓柱脫離時(shí)的θ;

②半圓柱和地面間無(wú)摩擦?xí)r，小球與圓柱脫離時(shí)的θ.

第1種狀態(tài)下，初態(tài)到任意角度θ過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律分析可知存在關(guān)系式

靜摩擦因數(shù)充分大，則脫離前，小球必然無(wú)滑滾動(dòng)，關(guān)系式為

u-ωr=0

在分離前瞬間，二者的觸點(diǎn)法向不存在彈力，而切線方向可能存在靜摩擦力，而法向存在如下關(guān)系式.

進(jìn)行求解可確定出

第2種狀態(tài)下，任意θ角度對(duì)應(yīng)的末態(tài)，設(shè)半圓柱向左的速度是v1，小球速度是u,由初始狀態(tài)到當(dāng)前狀態(tài)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知

由水平方向動(dòng)量守恒，可知

mucosθ-(M+m)v1=0

分離前瞬間，設(shè)二者間存在如下靜摩擦力,則半圓柱存在一定加速度，進(jìn)行力學(xué)分析可知

fcosθ=Ma1

對(duì)小球質(zhì)心，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律分析可知，存在關(guān)系式

在圓柱參考系中，分析可知，在無(wú)滑滾動(dòng)條件下滿足關(guān)系式

小球切向和法向存在如下動(dòng)力學(xué)關(guān)系

其中F*為慣性力.

由于分離前瞬間，不存在彈力，則角度應(yīng)該滿足如下關(guān)系式

求得θ=0.944rad=54.1°

這種條件下二者間的摩擦力為0.217.而在半圓柱系下進(jìn)行臨界分析時(shí)，應(yīng)該討論慣性力因素，在此存在一種常見的錯(cuò)誤觀點(diǎn)為，分離后瞬間半圓柱在水平方向不受力，而將分離的條件表示為:

在此應(yīng)該注意到在分離前瞬間，圓柱已經(jīng)出現(xiàn)一定的運(yùn)動(dòng)，在受力作用下圓柱體開始減速.這種現(xiàn)象表現(xiàn)出一定反常性，具體分析此現(xiàn)象出現(xiàn)原因?yàn)椋O(shè)定了“靜摩擦因數(shù)足夠大”，不過(guò)進(jìn)一步分析可知這種現(xiàn)象雖然 “反常 ”但依然符合物理規(guī)律，可基于相應(yīng)的定律進(jìn)行分析求解.