構造函數在高中數學解題中的應用分析

張 遠

(江蘇省揚州市邗江區公道中學 225119)

作為一種具有轉化性質的數學思想，構造函數在高中數學教學中憑借自身的優勢得到了廣泛的應用.通過對構造函數的運用，能夠將復雜、抽象的數學知識轉變成學生熟悉、善于解決的問題形式，從而將數學問題由復雜化像簡單化的方向轉變.在具體應用過程中，要詳細分析題目中給出的已知條件，并運用構造函數的方式，將向量、方程式、算數等問題進行構造，在此基礎上，將得到的構造函數結合到題目給出的條件或者結論，得到對應的方程式.構造函數在高中階段是一種具有多元化特點的解題工具，因此加大培養學生使用構造函數的力度，能夠在一定程度上提升學生靈活運用數學知識的能力.

一、構造函數法的基本內涵

根據對高中數學解題方法展開的大量實際調查研究能夠知道，在解決高中數學問題的過程中，運用構造函數的思維和方法，能夠在很大程度上降低數學題的難度.對數學問題的題干進行梳理、對內容進行分析，結合新的函數、方法、圖形等手段，將原本抽象、復雜、模糊的數學問題變得具體、簡單、清晰，使學生通過解決多個簡單的數學問題將一個復雜的數學問題有效解決，這就是構造函數發揮作用的具體流程.對于構造函數解題方式而言，是一種具有較高的創造性和靈活性的函數形式，通過解答問題產生的一種有效的解題模式.通過對原題進行仔細的分析，構造出對應的函數關系，并且結合題目對構造出的函數進行嚴格的分析和整理，從而得到正確答案，保證學生解決數學問題的高效性.在利用構造函數方法解決數學問題的過程中需要注意，構造出的數學函數必須具備以下幾個特點，第一，函數的建立必須能夠與原題之間保持有效的聯系.第二，必須保證構建出的函數具有的解題難度比原有解決方法的難度小.第三，構造出的函數在周期性、奇偶性、單調性、值域等方面必須與題目相符，這樣能夠有效杜絕構造函數錯誤的情況發生.第四，要結合題目的內容進行對應函數的構造.除此之外，在進行函數構造的過程中還需要注意，要對命題的條件、結論、特點等進行分析，通過提取出其中的邏輯、構想等，依照題目條件進行重新組合，從而得出解題所需要的構造函數.對函數進行觀察和分析，從而分析條件與結論的聯系.

二、構造函數法之高次函數構造

在利用構造函數解決高次函數問題時，可以對高次函數的題目進行分析，通過對小問題的逐個解決，將高次函數問題正確解答.比如，在解答范圍求解相關問題的過程中，可以通過構建高次函數的方式，將題目給出的已知條件進行有效的利用.

問題如果當sin3θ-cos3θ>cos5θ-sin5θ，θ∈(0,2π)的不等式關系存在時，題目中角θ的范圍值是多少？

解根據題目sin3θ-cos3θ>cos5θ-sin5θ，θ∈(0,2π)能夠知道sin3θ+sin5θ>cos3θ+cos5θ.此時，假設f(x)=x3+x5，不等式能夠成立，并且函數f(x)=x3+x5在(-，+)范圍中，屬于增函數，那么，能夠得到不等式f(sinθ)>f(cosθ)之間的關系，因此，根據上述分析能夠確定sinθ>cosθ.與此同時，由于θ∈(0,2π)，所以能夠得到結果

通過對以上問題的解決能夠看出，運用的就是高次函數f(x)=x3+x5的構造方式，在此基礎上，結合函數具有的單調性特點，對不等式進行轉換，這樣，就能將角θ的取值范圍準確地求出.

三、函數構造法之指數函數構造

在運用構造指數函數解決高中數學問題的過程中，能夠將復雜的數學問題分解成簡單的問題，使學生在解決簡單數學問題的同時，將復雜的數學問題有效解決.

問題已知一個三角形的三條邊分別為a、b、c，并且它們之間存在一定的關系a2+b2=c2.現設n表示某個正整數，并且n>2，那么，cn>an+bn的不等式關系是否成立.

四、函數構造法之一次函數構造

在運用一次函數構造的方式解決數學問題的過程中能夠發現，構造函數的使用能夠將數學問題的難度有效降低，提升學生解決數學問題的信心.

問題如果不等式2x-1>m(x2-1)在|m|≤2|的條件下成立，求未知數x的取值范圍.

解在解決這道數學問題時，要先將題目中給出的不等式條件進行轉化，使之變成(x2-1)m-(2x-1)<0，然后對該不等式進行一次函數的構造，使之以(x2-1)m-(2x-1)<0(其中|m|≤2)的形式呈現出來.在此基礎上，按照該不等式的一次函數實際圖象具有的基本性質進行計算，從而能夠得到的不等式關系f(2)<0,f(-2)<0，就能得到具體x的取值范圍.

五、函數構造法之二次函數構造

在解決下列數學問題時，將構造函數的方式結合其中，能夠將問題的難度有效降低，使學生解決數學問題的興趣和能力有效提高.

問題如果a,b,c∈R，并且a+b+c=1,，a2+b2+c2=1，那么a的取值范圍是多少？

解在解決這個數學問題時，要對題目中給出的已知條件進行詳細的分析，然后將關系式a+b+c=1轉變成b+c=1-a，將關系式a2+b2+c2=1轉變成b2+c2=1-a2.在此基礎上進行二次函數的構造，得到函數f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2=(x-b)2+(x-c)2≥0，從而得到關系式Δ=4(b+c)2-8(b2+c2)≤0，在此基礎上，對該不等式進行更深一步的化簡，得到4(1-a)2-8(1-a2)≤0，最終，通過計算得到a的取值范圍.

針對上述類型的數學問題而言，在解決的過程中的關鍵點是將b+c和b2+c2看作是一個整體，以此為基礎，通過利用二次函數構造的方式對原等式進行簡化，得到原等式的不等式關系，從而得到正確的結論.

綜上所述，根據以上針對構造函數在高中數學解題中的應用，展開的系統性分析，我們能夠更加深入地了解構造函數在數學解題中的重要性.作為高中階段數學知識重要的組成部分之一，函數本身占居了重要的地位，而在解決數學問題中運用構造函數的方式，也是一種有效的解題思路，不但能夠使學生的解題思維水平提升并擴展，還能將學生靈活運用數學知識的能力有效提升.因此，加強對構造函數的重視力度，掌握運用構造函數的技巧，有效提升學生的綜合數學素養.