面向問題教學的不定積分解法探究

吳星 劉盼

[摘 要] 不定積分是高等數學中連接微分學和積分學兩大內容的紐帶，起著承上啟下的作用，在微積分中有著極其重要的地位。在進行不定積分求解時，要想順利、準確地求出函數的不定積分，除了要熟練掌握積分的基本方法和基本積分公式，還需掌握一些積分技巧，靈活選擇積分方法。本文從兩道求不定積分的例題入手，詳細闡述分析求不定積分的過程，以幫助初學者更好地理解和掌握求不定積分的方法。

[關鍵詞] 換元積分法;分部積分法;面向問題教學

[基金項目] 河南省教育廳人文社科一般項目“考慮大數據信息投入的雙渠道圖書供應鏈定價機制研究”（2020-ZDJH-141）

[作者簡介] 吳 星（1989—），女，河南南陽人，理學博士，講師，研究方向為流體力學方程;劉 盼（1988—），女，河南永城人，管理學博士，講師，研究方向為管理科學與工程。

[中圖分類號] G642.421? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）26-0298-02? ? [收稿日期] 2020-04-09

眾所周知，“高等數學”作為大學理工科學生必修的基礎課程，它不僅與物理、計算機、經濟等不同學科有著緊密的聯系，而且在日常生活中的應用也非常廣泛。不定積分作為連接高等數學中微分學和積分學兩大內容的紐帶，起著承上啟下的作用。一方面，不定積分是求導或微分的逆運算;另一方面，它又是積分學中牛頓—萊布尼茨公式應用的關鍵。原函數與不定積分的關系和定義告訴我們，在熟練掌握微分或求導公式的情況下，應當充分關注“被積函數f（x）是由哪個函數得到的”這一基本事實。我們在課堂上告訴學生：求不定積分的過程，就是用函數求導的結果去尋找原來的函數，也就是說看哪一個函數求導之后是被積函數的形式，因此，積分學的教學通常是在我們講授微分學的基礎上繼續授課。但是一般來說，求不定積分要比求導數或求微分困難得多。這是因為，無論一個函數多么復雜，只要函數存在導數，我們總能根據導數運算法則和求導公式或導數定義求出函數的導數。但是求函數的不定積分則不然，根據不定積分的運算法則和不定積分公式只能求出很少一部分比較簡單的不定積分，而對更多函數的不定積分則要因函數不同的形式或不同類型選用不同的方法。因此，求不定積分有很大的靈活性。不定積分掌握不好，直接影響到后續整個積分學的學習。掌握不定積分的計算方法，對學生的學習具有重要作用。因此，通過微分學的知識儲備，結合具體的例子對不定積分的求解方法進行研究，詳細闡述分析求不定積分的過程，以幫助初學者更好地理解和掌握求不定積分的方法。

在現有的教材中，換元法和分部積分法是求不定積分的兩種最基本的方法，其中換元法積分法又包括第一類換元積分法（湊微分法）和第二類換元積分法。在同濟版《高等數學》第七版上冊中，關于換元法和分部積分法有如下定理。

換元法的基本思想是利用湊微分或變量替換將被積函數化成基本積分公式表中的形式，從而進行積分。一般的不定積分計算被積函數不可能完全和（1）式左邊或（2）式右邊的形式一樣，這就需要根據被積函數的特點，保留相對復雜的部分，然后追本溯源，將這部分整體轉化成基本積分表中的形式，這樣則可以解決大部分用換元法解決的較復雜的不定積分問題。分部積分法是求不定積分的另一種重要的方法，分部積分法的關鍵在于分離出不易求出原函數的部分，將易求原函數的部分進行湊微分，從而借助于分部積分公式進行計算。實際中到底在什么情況下用換元法、什么情況下用分部積分法，不是一概而論的，這兩種求部分積分的方法不是隔離的，有時需要結合著使用，分部積分公式（3）中v′（x）dx=dv（x）也有湊微分方法的體現。

現有的教材講解并羅列了各種基本類型的積分公式，容易記住，但對于相對復雜的被積函數不能明顯地看出套用哪種基本類型的解法，這就需要學生能夠在較短的時間內分析被積函數的結構并將其分解。讓學生觀察被積函數的結構特點，掌握積分的思想才能做到不是就題套形式，學生觀察、思考、獨立解決問題的方式更為重要。

下面我們結合兩道具體的例題來說明這兩種積分方法思想的體現。

分析：被積函數是三項因子的乘積，首先觀察三項中沒有能夠進行湊微分的因子。接下來我們引導學生把被積函數看成是和lntanx兩部分的乘積，lntanx相對更復雜一些，進行保留。被積函數是lntanx形式的積分又如何下手呢，它也不是基本積分公式表中的形式。為了積分，我們應該把它看成什么類型的不定積分。這時，既提出問題，又引發學生思考。稍后，讓學生回顧一下基本積分公式表，根據lntanx的形式，可以引導學生往冪函數形式的不定積分上轉化，即lntanxdlntanx。這時，多出一項dlntanx，通過驗證dlntanx=dx，恰好就是被積函數中的另一項因子，此時問題解決了一大半。后面追本溯源，正向湊出dlntanx，問題即可解決。

分析：首先引導學生觀察被積函數中secx可以湊微分，即secxdx=dtanx，是被積函數中另一項復合函數lntanx的內層函數。為此，我們先做變量替換u=tanx，原不定積分就變為∫lnudu。

例2中的兩種解法是兩類換元積分法和分部積分法反復結合利用的。在進行積分運算時，有時需要對被積函數做適當的運算或變形，然后再湊微分或分部積分計算。這往往需要一定的技巧，也無一般規律可循。因此，要掌握不定積分法，除了要熟悉一些典型的例子之外，還要多練習，勤總結。

例1和例2雖然都含有因式lntanx，但卻采取了不同的積分方法。本文具體分析了這兩個例題的積分思路。在課堂上，學生通過老師的啟發和引導，能夠領會到需要從被積函數的結構入手，通過適當地換元將其轉化到基本積分公式表或分部積分的常見類型去做，在此過程中帶給學生思考問題、解決問題的能力遠大于學生只會套用教科書上總結給出的眾多類型的積分公式，授之以魚不如授之以漁。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2014.

Research on the Solution of Indefinite Integral in Problem-oriented Teaching

WU Xing，LIU Pan

（College of Information and Management Science，Henan Agricultural University，Zhengzhou，Henan 450002，China）

Abstract：Indefinite integral is the link between differential calculus and integral calculus in higher mathematics，which plays a connecting role and plays an extremely important role in calculus.In order to get the indefinite integral of a function smoothly and accurately，we should not only master the basic integral method and integral formula，but also master some integral skills and choose the right integral method flexibly.This paper starts with two examples of finding indefinite integral to expound the process of finding indefinite integral in detail，so as to help beginners better understand and master the method? of finding? indefinite integral.

Key words：converter integral method;partial integral method;problem-oriented teaching