分類探索隱藏性相切關(guān)系下的題型

李昌成 黃曉玲

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2. 新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué) 830092)

直線與曲線，曲線與曲線相切在高中數(shù)學(xué)的解析幾何和導(dǎo)數(shù)部分均有涉及，知識(shí)本身并不復(fù)雜，直接應(yīng)用也比較容易.但是若把相切關(guān)系隱藏在題設(shè)中就會(huì)給學(xué)生在思維上造成很大的困難.研究發(fā)現(xiàn)，高考命題專家常常在這個(gè)點(diǎn)位上，考查學(xué)生的綜合能力.因此，我們應(yīng)當(dāng)高度關(guān)注這個(gè)問題.下面分類探究，以饗讀者.

一、在直線和曲線相切背景下的問題

例1 (2017全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷文科第21題第(Ⅱ)問)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

分析從幾何意義看，要使x∈[0,+∞),f(x)≤ax+1成立，只需當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，射線y=ax+1始終在函數(shù)f(x)=(1-x2)ex圖象的上方(僅在端點(diǎn)x=0處重合，如圖1).進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，直線y=ax+1位于曲線f(x)的切線位置是f(x)≤ax+1成立的極限情形：即若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時(shí)，均有f(x)≤ax+1；若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置下方時(shí)，f(x)≤ax+1不恒成立(圖2).

之所以如此，關(guān)鍵原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)(即曲線是上凸的).如若不然，則不能保證“當(dāng)射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時(shí)，均有f(x)≤ax+1”.例如圖3中的反例.

解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知，曲線f(x)在點(diǎn)x=0處的切線方程為y=x+1.

當(dāng)x∈[0，+)時(shí)，f(x)的圖象始終位于其在點(diǎn)x=0處的切線y=x+1下方(僅在切點(diǎn)處重合).從而要使x∈[0，+)時(shí)，f(x)≤ax+1成立，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1.

評(píng)注此題最常見的解法是分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求其最值，從而得解.但是一定會(huì)陷入“洛必達(dá)法則”的陷阱.本題的關(guān)鍵是切線意識(shí)，把握了切線這一實(shí)質(zhì)，問題就迎刃而解.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

(3)略.

評(píng)析本題不依托橢圓的切線就寸步難行，不知曉這個(gè)簡(jiǎn)便方法也會(huì)陷入繁雜紛擾的運(yùn)算中，使用結(jié)論解答此題有效避開了直線和橢圓聯(lián)立的二元二次大量運(yùn)算，直接進(jìn)入一元一次的運(yùn)算，解答簡(jiǎn)捷明快.有興趣者可以查閱高考參考答案，進(jìn)行比較研究.

二、在曲線與曲線相切背景下的問題

例3 已知x，y∈R，且滿足x2+2xy+2y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為____.

評(píng)注此題一般可以用三角換元、均值不等式等方法解答，但是因?yàn)橄禂?shù)做了一般化處理，以上兩種方法均難以深入.利用二者之間的相切位置關(guān)系作答是一種通解通法.只因一些題目把題設(shè)特殊化，例如：已知x，y∈R，且滿足x2+2xy+4y2=6，求z=x2+4y2的取值范圍，利用三角換元、均值不等式等手段可以解答，但把問題的本質(zhì)掩蓋了.

三、在公切關(guān)系背景下的問題

例4 (2016年全國(guó)Ⅱ卷理科第16題) 若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=____.

分析切線問題是導(dǎo)數(shù)中最常見最簡(jiǎn)單的問題，但本題中公共切線把導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和整體代換技巧融為一體，把神秘的超越方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的簡(jiǎn)單方程，方程組思想使待定系數(shù)法能順利實(shí)施.

所以b=lnx1+1=1-ln2.

評(píng)注本題屬于導(dǎo)數(shù)問題中最樸素的問題，但是公切線又賦予了問題新的內(nèi)涵，難度猛然上升，融合了一些數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，將抽象運(yùn)算變得可操作，使題目檔次上升，成為小題把關(guān)題.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)融入其中.

在平時(shí)教學(xué)中，讓學(xué)生從代數(shù)和幾何的角度深刻理解相切的含義，能夠提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).尤其是兩個(gè)角度的轉(zhuǎn)化，往往是突破難題的關(guān)鍵.難題之所以難，就是因?yàn)閷W(xué)生思路受限或受阻，因此分門別類地研究相切關(guān)系，對(duì)學(xué)生能力的提高大有裨益.