MIMO雷達中OFD-LFM-PC波形空時優化設計

洪 升， 董延燾， 艾 煜， 趙志欣

(南昌大學信息工程學院， 江西南昌 330031)

0 引言

MIMO雷達是一種采用多天線發射正交波形信號集，并利用多接收天線進行特定匹配濾波處理的新型雷達體制[1-2]。正交波形是獲得MIMO雷達分集增益的重要前提。頻分正交是實現波形正交的常用技術。頻分正交技術的典型應用是正交頻分線性調頻(Orthogonal Frequency Division-Linear Frequency Modulation, OFD-LFM)波形[3]。為了確保波形正交性，OFD-LFM波形規定頻分正交條件為載頻間隔等于脈寬時間倒數的整數倍。通常載波間隔越大，波形互相關越小，但是由于實際可用頻譜的限制，OFD-LFM在每個載波上的信號頻譜會存在重疊(并不影響正交性)；此時，OFD-LFM波形空域合成信號的自相關函數出現和主瓣同高的離散柵瓣，會嚴重惡化雷達目標檢測。

為解決該問題，已有的研究對OFD-LFM波形結構進行了改進和優化。文獻[4]給出了使得互相關最小的載頻間隔。文獻[5]提出各載波調制非均勻帶寬的方法，有效地消除了離散旁瓣。文獻[6]提出在OFD-LFM波形中采用非均勻載頻間隔的方法，使其空域合成信號在保證發射功率方向圖近似全向的情況下盡可能降低自相關旁瓣水平。文獻[7]表明聯合優化載波頻率編碼序列和載波初始相位可以降低OFD-LFM波形柵瓣，但無法消除柵瓣。已有的方法雖然能夠消除或降低波形柵瓣，但也存在一些不足之處。非均勻載頻間隔的方法破壞了頻分正交的條件，波形正交性損失較大。非均勻載波帶寬的方法會破壞OFD-LFM波形的頻譜對稱性，雖然能消除柵瓣，但總體旁瓣水平較高。

針對已有方法的不足，本文提出了一種全新的解決方法，即在OFD-LFM波形的載波上調制相位編碼序列，以消除空域合成信號的自相關柵瓣。將改進的波形結構定義為正交頻分線性調頻-相位編碼(Orthogonal Frequency Division-Linear Frequency Modulation-Phase Coded, OFD-LFM-PC)波形。該波形結構保證了正交頻分條件以及頻譜的對稱性。而將相位編碼序列調制在OFD-LFM波形上，在消除柵瓣的同時，既保留了調頻信號的高分辨率和高多普勒容限等優點，又兼備相位編碼的良好相關特性和抗干擾、低截獲特性。

在本文中，首先通過分析OFD-LFM-PC波形的空時特性，揭示了該波形消除OFD-LFM波形柵瓣的原因。然后，對OFD-LFM-PC波形的載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣進行聯合優化，進一步降低空域合成信號的整體旁瓣水平，并且保證發射功率方向圖的近似全向。最后，建立了雙變量的非線性優化模型，并提出一種嵌套遺傳算法的粒子群算法來求解。仿真結果表明，所優化設計的波形具備良好的時域特性和空域特性，為MIMO雷達中弱小目標的檢測提供了有效保證。

1 OFD-LFM-PC波形信號空時特性分析及優化建模

1.1 波形信號模型

假設MIMO雷達中發射陣列為包含M個天線的均勻線陣，陣元間距d=λ/2，λ表示發射波長。將相位編碼序列調制在OFD-LFM波形的不同載波上，構造出OFD-LFM-PC波形，其波形結構如圖1所示。

圖1 OFD-LFM-PC波形結構示意圖

在圖1中，第m個天線上發射的波形信號為

ej2π(f0+cmΔf)tejπμt2

(1)

其中碼元波形函數為

(2)

f0為中心載頻，載頻間隔Δf=n/T(n為正整數)，調頻斜率為μ。每個載波脈沖上調制碼元寬度為tb，編碼長度為Q的相位編碼序列，則脈沖時間寬度T=tb·Q。定義cm=m-(M+1)/2，(m=1,2,…,M)，則c0=[c1,c2,…,cM]T表示順序載波頻率編碼序列。am,q表示第m個天線(或載波)上調制的相位編碼序列的第q個碼元，可表示為am,q=ejφm,q，其中φm,q表示相應的調制相位。若φm,q為零相位，則調制的相位編碼序列為全1序列，此時式(1)所表示的OFD-LFM-PC波形退化為傳統的OFD-LFM波形。本文考慮離散相位編碼的情況，則調制在M個天線上的長度為Q的相位編碼序列可以寫成如下矩陣形式：

(3)

Φ決定了調制在OFD-LFM-PC上的相位編碼序列集，稱其為相位編碼矩陣。Φ的選擇對最終OFD-LFM-PC波形的性質起著重要作用。

若Bs為單個載波上混合線性調頻和相位編碼的調制帶寬，則OFD-LFM-PC空域合成信號的總帶寬為B=Bs+(M-1)·Δf。信號處理結構采用接收波束形成后進行空時匹配濾波，則脈沖壓縮結果可等效為波形空域合成信號的自相關函數。不考慮信號在傳播中的衰減，位于遠場方向θ處目標在t時刻被照射的空域合成信號為

(4)

式中，at(θ)=[ej2πc1dsinθ/λ,ej2πc2dsinθ/λ,…,ej2πcMdsinθ/λ]T表示選取陣列中心為參考點的發射陣列導向矢量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T表示發射波形集矢量。

1.2 OFD-LFM-PC波形時域分析

根據式(4)，波形在θ方向空域合成信號的自相關函數可以表示為

(5)

(6)

(7)

其加權函數定義為Wv(τ)，可寫為

(8)

圖2給出了OFD-LFM波形和OFD-LFM-PC波形空域合成信號的自相關函數。圖中OFD-LFM-PC波形所調制的相位編碼序列為M個不同初始值的混沌序列所產生的相位編碼序列。由圖2可知，OFD-LFM波形存在周期性的距離柵瓣，而OFD-LFM-PC波形消除了周期性出現的距離柵瓣，但整體旁瓣卻仍然較高。因此，有必要對OFD-LFM-PC波形進一步優化以降低其空域合成信號的自相關旁瓣水平。

圖2 波形自相關函數對比

1.3 OFD-LFM-PC波形空域分析

根據式(4)可得合成信號在總脈沖寬度T內的平均功率為

(9)

式中：(·)*，(·)H和(·)T分別表示共軛、共軛轉置以及轉置；R表示發射波形信號的協方差矩陣，可寫為

(10)

pE(θ)反映雷達在空間θ處輻射的平均電磁能量情況，稱為發射功率方向圖。由式(9)和式(10)可知，當發射波形嚴格正交時，R是一個M×M維單位矩陣IM，發射功率方向圖全向。對于OFD-LFM波形來說，只要T·Δf為整數，頻分正交條件得到滿足，發射功率方向圖pE(θ)便為全向。在OFD-LFM-PC波形中，T·Δf仍然為整數，但是各天線上調制的相位編碼序列會一定程度上破壞波形的正交性，使得R不再是一個單位陣，發射功率方向圖出現全向波動。圖3分別給出了OFD-LFM和OFD-LFM-PC波形的發射功率方向圖(相位編碼序列同圖2)。顯然，OFD-LFM-PC波形的發射功率方向圖在全向方向圖基礎上有所波動。因此，對OFD-LFM-PC波形的進一步優化需要保證發射功率方向圖逼近全向。

圖3 發射功率方向圖對比

1.4 波形優化建模

由以上分析可知，對于OFD-LFM-PC波形，其時域特性要求空域合成信號的自相關旁瓣較低以提高對弱小目標的探測能力；其空域特性要求發射功率方向圖全向以實現對全空間范圍目標的搜索探測。分析表明，影響OFD-LFM-PC波形時域特性和空域特性的一個重要因素是所調制的相位編碼序列集。此外，根據已有文獻，調整載波頻率編碼序列可降低OFD-LFM波形空域合成信號的自相關柵瓣。因此，不同于已有方法，本文在OFD-LFM-PC波形基礎上固定載波信號帶寬和載頻間隔，通過改變載波頻率編碼序列增加波形的多樣性來降低并消除柵瓣。這樣既可盡量保全波形結構的頻譜對稱性及發射功率方向圖的全向性，又可減少硬件設計的復雜性及接收信號處理時間。

為此，本文以發射波形載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣作為優化變量，將OFD-LFM-PC波形的空域合成信號自相關函數峰值旁瓣電平以及發射功率方向圖對全向發射方向圖的逼近程度加權構造為一個代價函數，建立如下優化模型：

s.t.c∈Perms{[c1,c2,…,cM]}

(11)

m=1,2,…,M,q=1,2,…,Q

式中,‖·‖F表示Frobenous范數，c表示載波頻率編碼序列,Perms(·)表示對載波頻率編碼序列[c1,c2,…,cM]的全排列。式中用發射波形相關矩陣R與單位矩陣IM的逼近程度來等效代替發射功率方向圖與全向發射功率方向圖的逼近程度。ω表示代價函數中自相關代價函數和方向圖代價函數的權重。值得注意的是，式(11)中φm,q選用五相碼，僅作舉例，采用其他相位數碼，本文算法依然適用。

該模型表示一個雙變量的非線性優化問題。作為優化模型中的兩個優化變量，載波頻率編碼序列c和相位編碼矩陣Φ的取值共同決定了代價函數的取值。然而，它們的取值區間及數值維度是不同的，c∈CM×1的取值區間是排列組合集合，而Φ∈CM×Q中元素的取值屬于一個離散相位編碼集合。因此，載波頻率編碼序列c的優化是一個排列組合的優化問題，而相位編碼矩陣Φ的優化問題是一個高維離散取值矩陣優化問題，這兩個問題需要不同的方法來解決。

2 優化算法設計

2.1 載波頻率編碼序列優化

本文中的載波頻率編碼序列優化是一個排列組合優化問題，可歸類為經典的旅行商問題，該問題通常可采用遺傳算法來解決[9]。為此，本文通過遺傳算法優化載波頻率編碼序列。針對本文所研究的問題，遺傳算法在編解碼、交叉及變異等方面具有一定的特殊性。首先，需要對優化的載波頻率編碼序列進行編碼和解碼。本文的載波頻率編碼和解碼方式如式(12)所示:

(12)

其次，在優化過程中，交叉操作之前要對選中交叉的兩組基因進行判斷，判斷能否進行交叉。最后，變異操作只能將選中的基因序列上隨機兩個位置進行交換而實現變異。

2.2 相位編碼矩陣優化

本文中的相位編碼矩陣優化問題是一個高維離散取值矩陣優化問題，可采用統計優化算法進行優化。為了將載波頻率編碼序列優化與相位編碼矩陣優化區分開來，這里選擇粒子群算法[10]優化相位編碼矩陣。相對于其他的統計優化方法，粒子群算法速度快、參數設計較少、效率高。然而，經典粒子群算法一般用于對連續變量的優化。為實現對相位編碼矩陣中離散相位的優化，本文對粒子群算法進行改進，以適合本文中的相位編碼優化問題。經典粒子群算法的速度和位置更新公式為

(13)

(14)

1) 通過式(14)中的速度公式計算出速度之后，將速度矩陣中的隨機位置上的值置零。

2) 得到的速度矩陣中所有元素都屬于{2π/5,4π/5,6π/5,8π/5,0,-2π/5,-4π/5,-6π/5， -8π/5,0}集合。將速度矩陣中的所有非零速度值都變成最小步進值，零值速度不變。即按照下式的映射將速度矩陣中的所有元素進行重新賦值：

(15)

上述修改后的粒子群算法沒有考慮粒子群中粒子的歷史最優位置和原始速度，只通過全局最優位置計算粒子運行的方向和速度。其主要原因是為了滿足離散相位優化；同時，若優化過程中考慮粒子歷史最優位置和原始速度會造成該粒子前進方向出現博弈的過程，該博弈過程對優化方向存在一定的干擾而降低粒子群算法的收斂速度。

2.3 載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣聯合優化

本文提出一種嵌套遺傳算法的粒子群算法，將優化變量{c,Φ}作為算法中的一個粒子。與已有問題不同的是，該粒子包含基因序列和位置雙重屬性。被搜索的最優粒子需要同時具備最優基因序列及最優位置。所提算法的搜索過程如圖4所示。

圖4中載波頻率編碼序列c表示某個粒子的基因序列，相位編碼矩陣Φ表示某個粒子的位置。在該優化過程中，采用改進的粒子群算法優化粒子的位置Φ，并在每一次迭代中嵌套遺傳算法來優化粒子的基因序列c。

圖4 嵌套遺傳算法的粒子群算法示意圖

聯合優化具體步驟如下：

1) 初始化粒子種群。通過混沌映射產生50個隨機位置(隨機相位編碼矩陣Φ)和50個隨機基因序列(載波頻率編碼c)賦給50個粒子，構成一個初始化粒子種群{c,Φ}。

2) 遺傳算法優化基因序列。針對步驟1)中的每個粒子，隨機產生另外19個不同的基因序列(載波頻率編碼序列c)，對這20個不同的基因序列進行20代的交叉和變異，選擇20代交叉變異后的最優基因序列(載波頻率編碼序列c)，于是每個粒子在位置Φ處尋找到一個較優的基因序列c。通過步驟2)得到的50個雙重屬性的粒子種群，這50個粒子的位置是隨機產生的，但是基因序列是進行了一定優化的。

3) 保留當前最優粒子。在步驟2)產生的種群中選擇并保留最優粒子，即將粒子基因和位置帶入代價函數，以求取具備最優基因序列和位置組合的最優粒子{cg,Φg}k，k表示第k次迭代。

4) 計算種群粒子速度并更新種群粒子位置。用步驟3)中選擇的最優粒子通過式(14)計算并更新各粒子速度和位置得到{cg,Φ}k+1。

5) 更新并保留最優粒子。步驟4)之后，種群中的每個粒子位置都得到了更新，即種群的位置屬性都得到了更新。在更新的種群中尋找最優粒子{cg,Φg}k+1，并保留。

6) 局部尋優結束判斷。判斷種群中50個粒子的速度矩陣中平均零值個數是否超過閾值。若超過閾值則意味著大部分粒子都達到局部最優位置，此時跳出本次粒子群進化，并跳至步驟7)，否則繼續執行步驟2)～6)。

7) 全局尋優結束判斷。將局部尋優的最優粒子(對應著最優相位編碼矩陣和載波頻率編碼序列組合)作為下一代種群中的一個粒子，并重復步驟1)～6)。達到迭代次數閾值(如50代)后停止迭代。

最終算法的流程圖如圖5所示。

圖5 聯合優化算法流程圖

從圖5可以看出，該嵌套遺傳算法的粒子群算法包含內外兩層迭代。內部迭代實際上為局部尋優，主要包含優化步驟中的2)～6)，該過程主要是在局部搜索空間對載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣進行聯合優化。外部迭代實際上為全局尋優，包含優化步驟中的1)～7)，該過程主要是在全局搜索空間對載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣進行聯合優化。本文中算法主要是基于統計優化算法的一種尋優過程，由式(11)及優化步驟可知所提算法主要的時間和空間消耗來自于對代價函數的計算。由于計算機硬件的不同，代碼執行情況會有所差異，因此本文將代價函數的計算量作為時間復雜度和空間復雜度的基礎描述指標。對時間復雜度來說：假設代價函數計算一次的時間復雜度記為Ot(1)，則第2)步的時間復雜度為Ot(2 000)，第3)～6)步的時間復雜度為Ot(50)，內迭代的迭代次數和速度矩陣中的“零”值個數有關系，根據尋優結果的不同迭代的次數也不相同。假設迭代n次跳出內迭代，則內迭代的時間復雜度為Ot(2 050n)，外層迭代中除去2)～6)步中的代價函數計算，第1)步計算的時間復雜度為Ot(50)，假設外層迭代循環m次，則整個循環的時間復雜度記為Ot(2 050n×m+50×m)。對空間復雜度來說：空間復雜度是對算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的一個量度，因此假設該算法中每保存一個粒子所需要的空間復雜度為Os(1)，則第2)步中儲存的粒子最多，空間復雜度為Os(50×40)，將儲存最多粒子時刻的空間復雜度作為該算法的空間復雜度。

3 算法仿真

為驗證本文算法的有效性，進行如下仿真實驗。在以下仿真中，假定發射陣元個數M=7，脈沖寬度T=400 μs，相位編碼長度Q=63，載頻間隔Δf=40 kHz，總帶寬B=500 kHz，單載頻帶寬Bs=260 kHz，調頻斜率μ=5.15×108。在優化求解過程中選擇權重系數ω=0.5。基于所設定的仿真參數，粒子速度矩陣為7×63的矩陣，總共包含441個元素。本文假定50個粒子對應的速度矩陣中的平均零值個數超過440個時，認為局部尋優已經達到最優。本文進行了50次全局優化，以實現全局范圍內的最優粒子搜索。最終，OFD-LFM-PC波形的優化仿真結果如圖6所示。

(a) 自相關對比

圖6(a)給出了50次外迭代結束之后OFD-LFM-PC波形空域合成信號的自相關函數。由圖可知，OFD-LFM波形空域合成信號的自相關函數存在較高的柵瓣，而OFD-LFM-PC波形可以消除柵瓣；并且優化之后的OFD-LFM-PC波形相對于未優化的OFD-LFM-PC波形合成信號自相關函數的旁瓣得到了較大程度的降低。圖6(b)給出了50次外迭代結束之后OFD-LFM-PC波形的空域發射功率方向圖。顯然相對于未優化的情況，優化后的OFD-LFM-PC波形的功率方向圖波動幾乎可以忽略不計，逼近全向。圖6(c)給出了代價函數隨著迭代次數的變化曲線。圖中，代價函數隨著迭代次數的增加逐步下降，表明采用多次外迭代擴大全局搜索范圍是有效的。擴大搜索范圍是因為粒子群算法作為一種統計優化算法不能保證算法的快速收斂度，但是本文中改進的粒子群算法繼承了一部分傳統粒子群算法線性搜索的方向性，相比其他的統計優化算法收斂速度更快、參數設計較少、效率更高。

為了更清楚地展現OFD-LFM-PC波形的優化效果，將優化波形空域合成信號自相關函數峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level, PSL)和方向圖波動幅度(最大峰值和最小峰值之差)歸納在表1中。

表1 PSL和方向圖波動幅度對比

表1中，初始化OFD-LFM-PC波形空域合成信號自相關函數PSL為-16.87 dB，經過一次外迭代即局部搜索之后，PSL降低了約2 dB；經過50次外迭代即全局搜索之后，PSL降低了約5 dB。而方向圖波動幅度在第一次外迭代之后，相比未優化的發射功率方向圖，波動幅度降低了0.320 3 dB；經過50次迭代之后，相比未優化的發射功率方向圖，波動幅度降低了1.570 6 dB。最終的方向圖波動幅度降低為0.158 5 dB，即在50次迭代之后，其方向圖波動幅度可以忽略不計，方向圖近似全向。

為進一步體現本文所提波形及優化方法的優異性，將所優化得到的波形與文獻[5]、文獻[6]所提出的波形在空域合成信號自相關函數以及發射方向圖兩方面進行比較，比較結果如圖7所示。

(a) 自相關函數對比

圖7給出了本文方法和文獻[5]、文獻[6]在相同參數下的波形空域合成信號的自相關函數和發射功率方向圖。從圖7(a)可以看出，三種方法都消除了傳統OFD-LFM波形空域合成信號自相關柵瓣。從圖7(b)可以看出，本文方法和文獻[6]的發射功率方向圖基本保持全向，文獻[5]出現較大的發射功率方向圖抖動。文獻[5]中的方法雖然消除了波形空域合成信號的自相關柵瓣，但是相對于本文所提算法，自相關近區旁瓣水平較高并且發射功率方向圖抖動較大。文獻[6]中的方法在保證發射功率方向圖全向性的同時消除了空域合成信號的自相關柵瓣，但是通過優化之后的自相關旁瓣整體水平相比本文中的方法依然較高。顯然本文所提方法，使得優化后波形的自相關旁瓣水平較文獻[5]和文獻[6]更低，并且基本保證了波形發射功率方向圖的全向性。

4 結束語

為消除OFD-LFM波形空域合成信號的自相關柵瓣，本文對OFD-LFM波形結構進行改進，構建了全新的OFD-LFM-PC波形。通過對OFD-LFM-PC波形空時特性分析，給出了OFD-LFM-PC空域合成信號不存在自相關柵瓣的原因，并指出有必要對OFD-LFM-PC波形進一步優化以降低空域合成信號自相關旁瓣并保證方向圖全向。為此，本文建立了相應的空時優化模型，提出了一種嵌套遺傳算法的粒子群算法進行求解。仿真結果驗證了本文所提波形及方法的優越性。