外接問題別著急，方程組法來助力

陳洪旗

小組討論經常會讓我們有意想不到的收獲，記得有一次，我們在講一道三棱錐外接球體積的題目時，就有學生通過討論發現了一種很不錯的解法，體現出了數學學習的核心素養—直觀想象。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程，主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系;構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。在直觀想象核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維。下面通過具體的題目分析過程，展示如何培養學生的數學核心素養。

評析：本小題主要考查幾何體外接球的表面積的求法，考查三角形外心的求解方法。在解決有關幾何體外接球的問題時，主要的解題策略是找到球心，然后通過解三角形求得半徑。找球心的方法是先找到一個面的外心，再找另一個面的外心，球心就在兩個外心所在平面、經過外心的垂線的交點位置。球心找到了問題就基本上解決了，但是對學生來講，最難的問題就是找不到球心，所以此題難倒不少學生。通過小組討論，有同學提出了自己的想法，那就是建立空間直角坐標系，表示出三棱錐的四個頂點坐標，再設出球心坐標。由題意可知，三棱錐外接球的球心到四個頂點的距離相等，都等于三棱錐外接球半徑，列出一個四元二次方程組，通過解方程組求出半徑r，從而求出三棱錐外接球的體積。此想法一提出，來很多同學驚呼四元二次方程組怎么解啊！大家從來沒有解過這樣的方程組，被計算難度給嚇倒了，不敢再接著往下想。看到同學們猶豫不決的眼神，我覺得有必要嘗試一下，一是要對大膽思考、勇于創新、提出這種想法的同學的肯定，這不正是我們所提倡的核心素養嗎？二是如果這種方法可行，那我們不就又多掌握了一種解決外接球體積或者表面積的手段嗎？我決定和同學們一起去解一下這道四元二次方程組。

此法的計算并沒有我們開始時想得那么復雜，反而較為簡單，但它的優點非常明顯，即不需要證明或者找出三棱錐外接球的球心，只要能夠建立空間直角坐標系，就可以輕松地計算出半徑和球心。

在這個分析過程中，展現了合作學習可以對數學問題的解答進行多角度、多路徑的考慮，不僅可以訓練學生的思維能力與解題能力，更能讓學生深刻地體會到“數學王國”中各種知識的融合與關聯，領略數學文化的無窮魅力。因此，同學們在解答數學問題時，要多嘗試從不同角度思考，用不同方法求解，在潛移默化中提升自己的數學能力，增強自身的數學素養。