中考熱門壓軸題之旋轉類相似問題

孫宇

【摘 要】 在無錫近幾年的中考題和模擬題中，以旋轉變換為背景的題目層出不窮，而旋轉類相似問題更是經常出現在壓軸題當中，是學生獲得高分的一只“攔路虎”。針對這一問題，筆者進行了相應的對比發現，這一類題型有一定的基本解答模型，其必然會涉及等腰三角形的相似和“SAS”類型的相似判定。本篇文章對這一類方法進行了深入的探究。

【關鍵詞】 中考;旋轉類相似;等腰三角形;“SAS”

一、旋轉類相似問題的理解

由于旋轉是一種全等變換，其旋轉前后的對應線段和對應角都是相等的。因此，將對應點相連接，可以得到對應的一組等腰三角形，而該組等腰三角形的頂角也是相等的，均等于旋轉角，所以這組等腰三角形也是相似的。由于這樣的一些特性，旋轉類相似通常需要用“SAS”來進行證明，并且其出題背景也必然會涉及兩類旋轉：第一類，等邊三角形、等腰直角三角形、正方形，這一類的旋轉類全等一般不會說明是通過旋轉得到的，而是需要通過自己作輔助線，得到對應線段的等比關系而求得，和旋轉類全等類似;另一類就是將圖形旋轉后，需要通過等腰三角形的相似來進行求解，這一類通常會給出旋轉角（即等腰三角形頂角，一般為120°等特殊角度）。

二、重點題型解析

例1：已知正方形ABCD和正方形BEFG，連接EC并延長交DF于點M。（注：題設中的圖，無虛線部分）。

（1）如圖1，當正方形ABCD的頂點C落在正方形BEFG的邊BG上時，求∠EMF的度數;

（2）若把正方形BEFG繞點B旋轉一定角度，如圖2所示，試探究∠EMF的度數是否會發生變化？請說明理由。

分析理解：這一題來自2018年無錫模擬試題，是一道很典型的以正方形為背景的旋轉類相似問題。第一問和第二問可以利用相同的旋轉類相似三角形來求解。由于第一問圖形位置更加特殊，我們可以通過另一種方法解答，這也是一類求角度問題的一種方法：注意到題設中要求的角為∠EMF。由于∠EMF的頂點M并不在特殊的位置，而僅僅是在線段DF上，因此我們想到通過平移（作平行線）將M點轉移，使其到特殊的位置（線段端點或者中點等）。有了這樣的思路，我們作出如圖1中虛線部分的輔助線：過點D作DH∥EM（將點M轉化到線段端點D處），交BE于點H，再連接FH。由此可以得到四邊形CDHE是平行四邊形，從而易得△DAH≌△HEF，則△DHF是一個等腰直角三角形，則∠EMF=∠HDF=45°。這一種將角的頂點轉化的方法，在2017年無錫中考的填空題最后一題也出現過，這也是一種很重要的解答方法。

三、綜合分析

由上述兩道經典例題的分析求解過程，我們可以發現，旋轉類相似問題，其題設背景必然會有提示的條件（前文已經詳述），證明方法必然會用到“SAS”類型的判定定理，在解答過程中，一定要始終明確，旋轉變換是一種全等變換，其對應線段、對應角是相等的，對應線段形成的夾角是其旋轉角（旋轉中心為圖形的頂點），也是相等的——即“旋轉不變性”。 另外，由例2第二問，我們還可以分析得到，對頂相似必然是成對出現。在解答過程中，要對數學思想方法進行激活與運用，及時總結與反思，理解題目中的本質結構，才能真正做到一通而百通。

【參考文獻】

[1]包麗鷗.解法對比重在求“深”求“透”[J].中學數學教學參考（中旬），2018（6）：37.