統攬全局整合圖形，讓學生的知識成片開發

管永梅

【設計背景】

在前幾節課的基礎上，學生學習了全等三角形的概念、性質，經歷探索三角形全等條件的過程，掌握了判定三角形全等的基本方法（“邊邊邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊”），能判定兩個三角形全等，積累了一些幾何研究的經驗。本節課將進一步強化這些經驗，學生知道全等三角形的判定是研究幾何圖形的一個重要方面。本節課通過統攬全局整合圖形，將平移、翻折、旋轉三種圖形的變化與全等三角形聯系起來，讓學生通過觀察和借助生活中的經驗認識到一個三角形經過平移、翻折、旋轉后得到的三角形與原來的三角形全等。讓學生用運動的眼光看待全等問題，豐富學生認識全等的角度，培養學生直觀想象能力，使學生跳出題海，做到“做一題，會一類，通一片”，提高學生解決問題的速度與技巧。

【教學目標】

1.掌握全等三角形的判定方法。

2.能選擇合適的方法判定三角形全等。

3.能利用三角形全等證明一些結論（線段、角等），能統攬全局整合圖形，用運動的眼光看待全等問題。

【教學重點】

能選擇合適的方法判定三角形全等，教會學生整合圖形，用運動的眼光看待全等問題。

【教學難點】

教會學生整合圖形，用運動的眼光看待全等問題。

【教學過程】

一、知識回顧

1.判定方法

師：我們學習的兩個三角形全等的判定方法有哪些？每一種判定方法的條件是什么？

教師提出問題，學生知識回顧，教師適時點撥，學生展示如下：

【設計意圖】復習全等三角形的判定方法，分析條件與結論的關系， SAS、ASA、AAS、HL的條件的書寫順序是易錯點，引起學生的注意。

2.適當選擇

如圖，在△ABC 中，AD⊥BC，要判定△ABD≌△ACD。

（1）根據“SAS”，還要添加一個條件：____;

（2）根據“ASA”，還要添加一個條件：____;

（3）根據“AAS”，還要添加一個條件：____;

（4）根據“HL”，還要添加一個條件：_____。

師生活動：師生共同分析解題思路，如（1）題，要證△ABD≌△ACD（SAS），已知AD⊥BC，∠BDA=∠CDA，題中有一個隱含條件—AD是兩個三角形的公共邊，即AD=AD，故只需找BD=CD。其他題目學生口述證明過程，教師板書。

【設計意圖】運用五種判定方法證明兩個三角形全等，感悟條件選擇的適當性，體會證明過程的規范性。

二、整合圖形

1.平移全等形

如圖，AC = DF，BC = EF，AD = BE。

求證：△ABC≌△DEF。

學生獨立完成。

師點撥：此題容易選定判定方法，利用“邊邊邊”判定方法證得△ABC≌△DEF。另外，當△ABC≌△DEF時，得到∠A=∠EDF，從而AC∥DF，得到∠ABC=∠E，因此BC∥EF。故可以看成△DEF是由△ABC平移得到。常見的平移全等形如下：

【設計意圖】平移前后，圖形的形狀、大小不改變，只是位置發生改變，平移前后兩個圖形是全等形，由此整合成平移全等形，此類圖形的特點是可能產生公共線段，讓學生學會歸納，培養學生直觀想象能力。

2.翻折全等形

如圖，AC平分∠BAD，AB=AD。請你判斷AC是否也平分∠BCD，并說明理由。

學生在黑板板書，師生共同評價，規范解題過程。

師點撥：由已知AB=AD，AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC，AC是隱含條件公共邊，根據判定方法“邊角邊”，△ABC≌△ADC（SAS），最后得到∠BCA=∠DCA，所以AC也平分∠BCD。不難發現，△ABC可以看成是由△ADC沿AC所在的直線翻折得到，給我們對稱的感覺。本題選擇的判定方法是“ASA”，下面是常見的翻折全等形：

【設計意圖】經過翻折，圖形的形狀、大小均不會發生改變，由翻折看到對稱，學生會想公共線段，公共角等，由對稱變換整合成翻折全等形，讓學生跳出題海，提高解題效率。

3.旋轉全等形

如圖，∠1=∠2=∠3，AC = AE。

求證：AD = AB。

找∠B=∠ADE是難點，教師引導，找角的條件時，學生有兩種方法：其一，利用三角形的外角，∠ADC是△ABD的一個外角，即∠ADC=∠B+∠1，而∠ADC=∠ADE+∠3，∠1=∠3，故∠B=∠ADE。其二，由直觀想象，利用“八字形”模型，在△AEF和△DCF中，∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，由三角形內角和為180°，故∠B=∠ADE。經分析條件，找到兩組角對應相等和其中一個角的對邊對應相等，最后證得△BAC≌△DAE（AAS），從而AD = AB。

師點撥：這道題有一個隱含條件—∠DAC是公共角，點A是公共頂點，可以看作△BAC繞點A旋轉一定角度得到△DAE，△BAC≌△DAE，判定方法選擇的是“AAS”，做題時還會遇到下面的旋轉全等形：

【設計意圖】圖形中有公共頂點，要想到公共角，想到對頂角等，想到旋轉變換，旋轉前后圖形的形狀、大小不發生改變，由旋轉變換整合成旋轉全等形，讓學生“做一題，會一類，通一片”。

三、回顧反思

1.綜合提升

如圖，點A、F、C、D在同一直線上，AB∥ED，AF = DC，∠AFE =∠DCB。

求證：（1）△ABC≌△DEF;（2）BF∥CE。

2.談感受

生1：做題前我們應先統攬全局觀察圖形，判斷是屬于哪種類型的圖形，然后選擇適當的判定方法解決問題。

生2：找到圖形的特點，首先要有一種直觀想象能力，分離圖形，找到需要的部分圖形解決問題。

生3：這三種類型的全等形，都有一些共性—隱含的條件，比如公共線段、公共角、對頂角等。

四、教后反思

1.培養學生的直觀想象能力

直觀想象是重要的數學核心素養，我國著名的數學家華羅庚說：“形缺數時難入微，數缺形時少直觀。”幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。幾何直觀能力可以較好地理解數學本質，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。圖形是幾何的靈魂，識圖是學習幾何的最基本素養，引導學生看一看、折一折、轉一轉，然后說一說，說出對圖形的感受，將圖形語言轉化成文字語言。還可以借助技術手段，用《幾何畫板》軟件根據給定的邊、角條件畫三角形，學生可以自己設計動態過程，教師不斷引導與點撥，提高學生直觀想象能力。

2.引導學生學會統攬全局整合圖形

題目千變萬化，但萬變不離其宗。圖形復雜多樣，但都是由簡單與復雜之間相互切換的。每一道幾何題目背后都有著一定的法則和規律，每一類圖形都有著相似的結構特點，這種結構特點的集中體現便是“公共頂點、公共線段”。圖形中充分融入了學生對線段相等和角相等的直觀認識，也就是歐氏幾何中提到的：等量加等量和相等，等量減等量差相等，彼此能重合的物體是全等的。圖形中還滲透了研究幾何圖形的基本問題和方法，由圖形結構特點引導學生將這些圖形加以分類整合，便得到：平移全等形、翻折全等形和旋轉全等形。幫助學生建立起平移、翻折、旋轉三種圖形的變化與全等形的關系。通過整合圖形，使學生跳出題海，做到“做一題，會一類，通一片”，讓學生的知識“成片開發”。

3.讓學生學會思考

《數學課程標準》的“數學思考”目標中提出要使學生“在解決問題過程中，能進行有條理的思考，能對結論的合理性作出有說服性的說明”。學會思考是學好數學的關鍵所在。在教學設計過程中，在解決問題的經歷中，讓學生感受到判定方法的選擇、圖形的整合是自然而然、水到渠成的，而不是強硬地塞給學生。為什么想到整合圖形，怎樣整合圖形，讓學生學會選擇不同的視角看待問題，用不同的方法來研究問題、解決問題，積極參與問題中來。托爾斯泰說：“知識，只有它靠積極的思維得來而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識。”所以，教“怎樣思考”，教“怎樣才能想到”是數學教學的首要任務，讓學生養成思考的習慣，提高解題速度與技巧。

【參考文獻】

[1]陳華安.在變式中探究問題實質，在解題中把握問題規律—“函數圖像按向量平移問題”教學設計及反思[J].數學教學研究，2009，28（7）.