以數想形，以形助教

張偉琴

【摘 要】 本文主要分析教師如何引導學生如何想到利用圖像來處理問題，將圖形與文字語言進行對應，畫出圖像，觀察圖像，從圖像中獲取信息，根據圖像得出答案，體會“以數想形，以形助教”的數形結合的思想方法在解決函數問題中的重要作用。

【關鍵詞】 數形結合;函數教學

一、研究背景

從學情角度來看，由于一次函數題目的解答依賴于學生對相關知識內容的理解，題目考查角度靈活多變，使得機械記憶與淺層次的工具性運用在這里不能發揮作用，因此對于大部分學生來說具有一定的難度。

二、研究思路

通過一次函數的復習課流程：操作（情境）——發現（問題）——反思（問題解決）——歸納（概括，拓展，遷移）——應用（知識，方法，經驗），闡述如何將數形結合的思想方法落實到課堂中，成為學生解決函數問題的基本思維路徑。

三、數形結合的實例分析1

1.問題情境

例1：甲、乙兩車從A城出發勻速行駛至B城。在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（千米）與甲車行駛的時間t（小時）之間的函數關系如圖1所示。

2.發現問題

師：你能提出哪些問題？

生1：甲、乙兩車的速度分別是多少？

生2：甲、乙兩車誰先到達終點？

生3：表示甲、乙的解析式分別是什么？自變量的取值范圍？

生4：甲車出發幾小時后被乙追上？

生5：t為何值時，甲、乙兩車相距50千米？

生6：甲、乙兩車相距小于50千米時，t的取值范圍？

【設計意圖：本題只給出情境，讓學生經歷觀察、分析、比較等思維活動，從不同視角發現問題，提出問題，這類問題是現場生成的，靈動的，能融合多方面知識點，在思維碰撞中，學生潛能不斷被激發，有利于理解函數圖像本質，有利于培養學生問題意識和思維深刻性與靈活性】

3.問題解決

問題（1）：甲出發后幾小時被乙追上？

生1：我們可以根據相遇時路程相等，得到方程100（t-1）=60t ，得t=2.5。

生2：利用追擊問題“追擊的時間=追擊的路程÷速度差”，得t=1.5，1.5+1=2.5。

生3：我們可以求出甲、乙兩車離開A城的距離y關于t的函數解析式，求出交點橫坐標t=2.5。

生4：如圖2所示，看成兩個全等三角形，觀察圖像，相遇點為中點，直接得出t=2.5。

【設計意圖：抓住關鍵點（交點）的實際意義則是帶著數從形的角度直觀尋找，通過一題多解，讓學生進一步感受知識方法間的普遍聯系，體會解決問題方法的多樣性，生4運用全等三角形的知識來進行定量刻畫，“以形助教”，優化學生的思維】

4.問題遷移

問題（2）：t為何值時，甲、乙兩車相距50千米？

教師讓學生先獨立完成，學生會出現以下常見錯誤：

學生基本都是從“數”的角度來思考的，容易遺漏，因此教師引導學生從“形”的角度來考慮。

師：首先思考下列問題：觀察y（t）圖，設兩車之間的距離為S（千米），兩車之間的距離是如何變化的？有哪些關鍵點呢？

（板書）畫距離S關于時間t的函數圖像，要找到關鍵點：（1）甲、乙的起點;（2）相遇點;（3）甲、乙的終點。

師：現在請同學們描點，畫出S（t）圖（如圖3）。

【設計意圖：函數圖像是數量關系的一種直觀表達，通過圖像去獲取數量關系的能力，是一種典型的“幾何直觀”能力。讓學生知道如何結合圖像去“弄清運動過程”，就是教學生如何讀圖，思考問題。教師通過在“由y（t）圖得到S（t）圖”時放緩腳步，讓學生結合圖像“具體說一說甲、乙兩車是如何運動的”。讀圖像的關鍵點，如“起點，交點，終點”，其實就是在形中找數，把研究精確化;函數圖像上每一個點的繪制，不用點之間的變化關系乃至整個圖像的生成無不體現由“數”到“形”的完美對應。通過畫圖，又再次強化學生對運動過程的理解，提高學生對圖像信息的深加工能力。只有這樣，才能整體把握函數性質，才能突破由形到數，由數到形的轉換困難和障礙，以突破重點，分化難點】

5.應用

師：請同學們從“形”的角度來考慮問題（2）：何時，甲、乙兩車相距50千米？

生1：畫一條直線S=50，我們發現和S（t）圖會有四個交點（如圖4）。

五、教學反思

1.先從簡單的問題情境入手，多次變化問題指向，進行多圖呈現

讓學生在相同或相近的情境下感受不同的坐標意義下對應圖像的差別，這樣的題組設計具有較好的對比分析效果，有效地幫助學生領悟“從圖像獲取信息”的關鍵：特殊點（圖像間的交點，圖像的極值點等）位置的理解，讓學生經歷從“讀圖”（畫圖）到“析圖”，再到“用圖”的學習經歷。這樣設計旨在增進學生的數形結合的能力，體現了探究的層次化。

2.數學體驗是提升數學核心素養的一種學習方式

數學核心素養的形成離不開學生的親身經歷與體驗，讓學生置身情境中，發現數學問題，獲得活動經驗，通過內省反思，產生認知體驗。在每一個小板塊中，都安排了小結，幫助學生進行方法的提煉，將感性認識上升為理性認識，用以指導今后的解題活動，讓學生遇到簡單的問題，立足提煉方法，而對復雜的問題，優化問題解決策略。例如在例題1（2）問中，引導學生利用S（t）圖，從“形”的角度尋找簡便解法，使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，就像華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。 最后在建構知識結構框圖的過程中，感悟學習函數的一般方法，為繼續學習反比例函數、二次函數埋下知識和方法的種子，這就是遷移，就是章建躍博士所說：“代數就是用同樣的方法解決類似的問題。”