PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評試題的情境設(shè)計探析

許世紅

PISA2015的數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評沿用PISA2012對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定和測評模型。數(shù)學(xué)素養(yǎng)指的是“在各種各樣現(xiàn)實情境中表達、運用和解釋數(shù)學(xué)的個人能力，包括數(shù)學(xué)推理能力，運用數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、定理和工具描述、解釋和預(yù)測現(xiàn)象的能力；即作為一個積極主動、關(guān)心社會、善于思考的現(xiàn)代公民，在現(xiàn)實社會中遇到問題時能夠順利激活其具有的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力去解決問題，并做出有理有據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決策”1。因此，PISA對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評緊密圍繞解決現(xiàn)實生活中的問題來展開，問題的情境性成為PISA試題最為顯著的特征。本文著重剖析PISA2012公開樣題的情境特征，以期啟發(fā)和優(yōu)化我們的數(shù)學(xué)試題情境設(shè)計與評價。

一、情境的涵義與類別

（一）情境與數(shù)學(xué)情境的涵義

在心理學(xué)中，情境被界定為：在特定環(huán)境背景下，個體行為活動的即時條件，包括個體既成的人格傾向、當時的認知、情緒、意向特點等主體條件；也包括當時周圍的環(huán)境，尤其是進入個體意識范圍的環(huán)境。該界定強調(diào)“情境”具有兩個維度：一是認知主體，二是認知主體所處的客觀環(huán)境2。從系統(tǒng)論觀點看，情境關(guān)注的是一個系統(tǒng)以及在這個系統(tǒng)中，主體之間、主體與所處環(huán)境中的材料資源、信息資源和概念性資源所發(fā)生的交互作用。

在PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評中，與“情境”對應(yīng)的英文是“context”。PISA認為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個重要方面就是在現(xiàn)實情境中運用數(shù)學(xué)解決問題。其中，情境就是問題所處的個體現(xiàn)實世界的一部分，它主要強調(diào)兩點：一是情境與個體利益相關(guān)，二是情境與問題緊密相連。由于PISA測評的是各國15歲——近義務(wù)教育結(jié)束時的孩子走向社會所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)知識和技能，因此，情境設(shè)計需要盡可能廣泛地考慮個體興趣的發(fā)展空間，還應(yīng)盡可能聯(lián)系21世紀社會發(fā)展的空間。

（二）數(shù)學(xué)情境的分類

根據(jù)PISA2015數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評框架，數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評中涉及的情境分為四種類型：個人的（Personal），職業(yè)的（Occupational），社會的（Societal），科學(xué)的（Scientific）。

個人情境，重點關(guān)注與個體自身、個體所在家庭、個體同伴等相關(guān)的日常活動，例如：食品準備、購物、游戲、個人健康、個人交通、運動、旅行、個人日程安排、個人理財，等等。

職業(yè)情境，重點關(guān)注的是工作環(huán)境，例如：測量、計算成本和采購建筑材料，工資/會計，質(zhì)量控制，調(diào)度/庫存，設(shè)計/架構(gòu)，與工作有關(guān)的決策，等等。雖然PISA調(diào)查的對象只是15歲學(xué)生，但職業(yè)情境可能涉及從非技術(shù)性至最高技術(shù)水平等各種層次的工作。

社會情境，重點關(guān)注的是個體所在社區(qū)（可以是本地，也可以是國家或全球），例如：投票系統(tǒng)，公共交通，政府，公共政策，人口統(tǒng)計，廣告，國家統(tǒng)計，國家經(jīng)濟，等等。盡管個體是以個人方式處理所有這些事情，但社會情境類問題的焦點仍是社會視角。

科學(xué)情境，涉及的是運用數(shù)學(xué)解決與自然界、與科學(xué)技術(shù)相關(guān)的專題，例如：天氣或氣候，生態(tài)，醫(yī)學(xué)，空間科學(xué)，遺傳學(xué)，測量學(xué)，數(shù)學(xué)自身世界，等等。

二、數(shù)學(xué)情境的分布與使用

（一）數(shù)學(xué)情境的分布

出于公平的角度考慮，PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評試題會盡量涵蓋所有四種類型的情境，并盡量保證四種類型的情境所占的比重都一樣。即：

個人情境∶職業(yè)情境∶社會情境∶科學(xué)情境=25%∶25%∶25%∶25%

一般情況下，同一單元的數(shù)學(xué)試題的情境是同一種類型。另外，PISA命題也盡量保證每類情境中的數(shù)學(xué)試題的難度分布盡量廣泛，對數(shù)學(xué)知識與技能需求的覆蓋面也盡量擴大，且每類情境的試題難度大致相當，并具有較高的區(qū)分度，以反映學(xué)生所面臨的社會挑戰(zhàn)。

（二）情境設(shè)計與使用的案例分析

下面以PISA2012公開樣題3為例，分別按照四類情境來分析樣題相應(yīng)單元的情境設(shè)計與使用特點。

1. 個人情境案例。

單元“騎自行車者海倫”（參見《PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評樣題》一文）的問題情境設(shè)計與使用分析：用自行車作為個人交通工具，是現(xiàn)實生活中隨處可見的情形，因此本情境屬于個人范疇，且具有較好的公平性。與交通情境關(guān)聯(lián)的是數(shù)學(xué)行程問題，涉及路程、速度和時間三個變量，屬于變量與關(guān)系的內(nèi)容領(lǐng)域。

問題1設(shè)計的本意是比較“4公里與2公里”“10分鐘與5分鐘”，當路程比與時間比相同時，兩段路程的速度則相同。當然，也可以計算出兩段路程的速度都是0.4公里/分鐘，從而得出答案。但如果學(xué)生通過計算出更為復(fù)雜的結(jié)論（如：算出速度是24公里/小時）再做出判斷，也未尚不可。

問題2設(shè)計的本意是考查對速度定義的理解，通過簡單的比例推理：18公里用1小時，則1/3的路程（6公里）需要用1/3的時間，即20分鐘。當然，考生可以選擇用行程公式來計算所需時間，再進行單位換算，也可以選擇其它的計算途徑。

問題3則要求考生理解平均速度的本質(zhì)即總路程與總時間的比：（4+3）÷（9+6）×60=28km/h。當然也可以通過簡單的比例推理得出（15分鐘騎7公里，1小時則共騎28公里）。但是，不能用兩段路程的平均速度（26.67km/h、30 km/h）直接求算術(shù)平均值求得總路程的平均速度：（26.67+30）÷2≈28.3 km/h。也就是說：考生的直覺是錯誤的。

本單元三個問題的情境雖然都是騎自行車旅行，但由于設(shè)問的角度不同，每個問題情境的復(fù)雜程度不同，所關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識復(fù)雜度也不同。解決問題的難度呈遞增形態(tài)。問題1僅涉及兩個簡單比例的比較，難度等級為2；問題2涉及速度與路程兩個變量，還需要對時間單位進行轉(zhuǎn)換，難度等級為3；問題3需要考生根據(jù)條件求出新的路程與時間，再求出平均速度，難度等級為6。

2. 職業(yè)情境案例。

單元“車庫”（參見《PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評樣題》一文）的問題情境設(shè)計與使用分析：雖然不是每個考生家里都有車庫，但車庫是房屋的一種卻是現(xiàn)代公民應(yīng)具備的常識。設(shè)計車庫需要完成相應(yīng)的圖紙繪畫，建造車庫則必須讀懂相應(yīng)的設(shè)計圖紙，因此，本情境屬于職業(yè)范疇。由于車庫構(gòu)造涉及空間可視化問題，因此解決問題所需的數(shù)學(xué)知識屬于空間與形狀的內(nèi)容領(lǐng)域。

問題1首先需要考生明白怎么根據(jù)從前面看的三維視圖，來判定從后面看的三維視圖的特征，然后做出選擇。有些考生在心中將三維視圖旋轉(zhuǎn)180°就找出了答案；有些考生則需要分析車庫多個特征的相對位置（如門、窗、最近角落等），通過明確推理來做出選擇；還有的考生可能俯瞰圖形，想象圖形旋轉(zhuǎn)后的情形進行推斷；等等。

問題2需要考生從正視圖中讀取屋頂斜高的水平分量和垂直分量，用勾股定理求出斜高（也可以通過測量估算得出）；從側(cè)視圖中讀取屋頂?shù)乃竭呴L；再求出構(gòu)成屋頂?shù)膬蓚€相同矩形的面積和。

本單元二個問題的情境從不同角度說明了建筑行業(yè)所需要的基本素養(yǎng)，一是三維視圖的不同角度的等價畫法與讀法；二是在三維視圖不同視角的平面視圖上標注相關(guān)尺寸，從平面視圖中讀取相關(guān)數(shù)據(jù)完成相應(yīng)計算。顯然，問題1僅涉及圖形特征的辨析，難度較低，等級為1；問題2涉及從圖中導(dǎo)出數(shù)據(jù)信息、多步驟計算，難度等級為6。

3. 社會情境案例。

單元“唱片”（參見《PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評樣題》一文）的問題情境設(shè)計與使用分析：知識型社會對數(shù)據(jù)有很強的依賴性，而數(shù)據(jù)常常用圖表來表征。商業(yè)銷售（如唱片發(fā)售）中經(jīng)常使用圖表來描述和比較銷售額的變化，以便做出合理決策。因此，該情境屬于社會范疇。閱讀和理解圖表、探索圖表隱含的數(shù)據(jù)規(guī)律，則屬于不確定性和數(shù)據(jù)的內(nèi)容領(lǐng)域。

問題1僅需要考生從條形圖中讀出特定樂隊在某個月的新唱片銷售額，難度較低，在水平1以下。問題2則需要考生從條形圖中比較兩個特定樂隊新唱片銷售額的變化，找出符合條件的月份，難度不大，等級為1。問題3則需要根據(jù)樂隊B新唱片從2月至6月銷售額的下降趨勢估算從6月至7月的下降額，推算出7月的銷售額。15歲考生大都掌握了這種計算方法，所以難度等級為2。

4. 科學(xué)情境案例。

單元“旋轉(zhuǎn)門”（參見《PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評樣題》一文）的問題情境設(shè)計與使用分析：在寒冷或熱帶地區(qū)，為了防止熱量進入或流出建筑物，常常使用本題所說的旋轉(zhuǎn)門。旋轉(zhuǎn)門設(shè)計與使用涉及到專業(yè)的科學(xué)技術(shù)知識，因此，屬于科學(xué)范疇。本單元三個問題的情境從不同角度說明了旋轉(zhuǎn)門設(shè)計需要考慮的各種因素。

問題1似乎很簡單：圖形已經(jīng)顯示兩片旋轉(zhuǎn)翼之間的角度應(yīng)該是360°÷3=120°，但考生反饋本題的難度等級是3。本題的難度可能在于：一是將現(xiàn)實問題中立體的旋轉(zhuǎn)門轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的平面圓；二是將現(xiàn)實問題中立體的旋轉(zhuǎn)翼轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的圓的半徑；三是將“旋轉(zhuǎn)門的兩個旋轉(zhuǎn)翼的角”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題“圓中兩條半徑的夾角”；四是旋轉(zhuǎn)門中有三個旋轉(zhuǎn)翼，到底求哪兩個旋轉(zhuǎn)翼間的角呢，需要考生分析。本題所需的數(shù)學(xué)知識屬于空間與形狀的內(nèi)容領(lǐng)域。

問題2需要考生充分理解“要使空氣無法在出口與入口之間自由流動”的意義，并將其轉(zhuǎn)化為“條件給出的圖中未正對出入口的兩個旋轉(zhuǎn)翼間的部分應(yīng)與墻壁完整密閉”；然后，根據(jù)圖形對稱性得出，旋轉(zhuǎn)門應(yīng)至少有2/3的圓周是密閉的，也就是說，旋轉(zhuǎn)門最多只有1/3的圓周可以開放出來形成出口與入口；再根據(jù)圓的對稱性，可知出口和入口的長度相等，均不能超過圓周的1/6，即。該題屬于最具挑戰(zhàn)性的問題，難度等級為6。本題所需的數(shù)學(xué)知識屬于空間與形狀的內(nèi)容領(lǐng)域。

問題3需要考生將一系列的現(xiàn)實信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)信息，如：將“旋轉(zhuǎn)門每分鐘轉(zhuǎn)4圈”轉(zhuǎn)化為“每分鐘有4×3=12次機會抵達入口”；將“每個空間最多容納2個人”轉(zhuǎn)化為“每分鐘最多有12×2=24個人抵達入口”。因此，30分鐘內(nèi)最多有24×30=720人從旋轉(zhuǎn)門進入大樓。本題主要涉及數(shù)量計算，所需的數(shù)學(xué)知識屬于數(shù)量的內(nèi)容領(lǐng)域。由于邏輯推理鏈條較多，需要進行適當?shù)膮f(xié)調(diào)，本題難度等級為4。

三、數(shù)學(xué)情境帶來的啟示

（一）將情境從分類和分布角度細化可幫助命題者提高情境設(shè)計的針對性

隨著我國數(shù)學(xué)課程改革的推進與深化，數(shù)學(xué)教育愈加重視對問題情境的創(chuàng)設(shè)及其有效性的探索，但對命題中的情境設(shè)計還缺乏系統(tǒng)性的研究。PISA不僅對問題情境進行了界定，還將問題情境從分類、分布的角度進行細化與分解，并將抽象情境用一個個事例進行具體的描述和說明，使之具有較強的可操作性。這種研究方法值得我們思考和借鑒，可以應(yīng)用到我們的命題實踐中，以提高命題的針對性和有效性。

（二）情境真實才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

PISA的問題情境（如騎自行車、車庫建造、光盤銷售、旋轉(zhuǎn)門）均來源于真實生活，是學(xué)生日常生活能夠接觸到的，為學(xué)生所熟悉，讓學(xué)生感覺很親切。這有利于學(xué)生在個人生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學(xué)知識之間建立關(guān)聯(lián)，也比較容易引起學(xué)生的共鳴，從而能夠有效激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

（三）情境與數(shù)學(xué)緊密相容才能有效考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

PISA的問題情境不僅真實，而且與數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系緊密。PISA采用單元模式設(shè)計問題串，每組問題串情境的逐步展開與數(shù)學(xué)知識技能的運用難度相匹配，能夠激活學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的深入理解和靈活運用，而不是僅僅牽引出對數(shù)學(xué)知識的簡單識記與復(fù)述。這種創(chuàng)設(shè)情境的方式有利于學(xué)生逐步通過辨別、比較、分析、綜合、抽象等活動，既深化對所學(xué)知識的理解，又將思維逐步引向深化，以有效區(qū)分不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平。

（四）情境公平才能避免測評結(jié)果出現(xiàn)偏差

PISA選擇問題情境時，特別注意情境的時代性與公平性。無論是騎自行車、車庫構(gòu)造，還是唱片銷售、旋轉(zhuǎn)門，都是當今時代的15歲學(xué)生很熟悉的生活情景。這樣可以有效避免因試題情境的不公平而造成的考題的功能偏差，能夠更好地反映出考生群體的真實水平。

參考文獻：

1. OECD， PISA 2015 Draft Mathematics Framework. March 2013，p5.http：//www.oecd.org/pisa/pisaproducts/Draft%20PISA%202015%20Mathematics%20Framework%20.pdf

2. 谷傳華. 情境的心理學(xué)內(nèi)涵探微[J].山東師范大學(xué)學(xué)報（人文社會科學(xué)版）， 2003年第48卷第5期，99-102.

3. PISA 2012 Results Volume 1. What Students Know and Can Do： Student Performance in Mathematics， Reading and Science. P125-142. www.oece-pisa.org.