構建幾何模型，突破平面向量難點問題

◇ 福建 林良斌

高中的向量問題兼具了數與形的兩個特征，數是通過代數運算求解，形則更需幾何觀察.本文將從形的角度出發，通過構建幾何模型，實現多思少算，提高向量問題的解題效率.

1 構造向量減法的三角形模型

從同一點出發的兩個向量a，b，它們的差a－b是向量b 的終點指向向量a 的終點的向量，通過向量減法的幾何意義，我們可以把一些相關問題轉化為三角形問題來解決，使代數問題幾何化，解題更加直觀和簡單.

如圖1所示構造三角形，由于(a－b)⊥b，則該三角形為直角三角形，又因|a|＝2|b|，所以a 與b 的夾角為.

圖1

對比代數方法的解答過程，通過構建向量減法的幾何模型，只需作圖觀察，問題的解決變得一目了然，省去了代數計算的煩瑣.

如圖2 所示，對任意的實數λ，當|a－λb|取到最小值時，(a－λb)⊥λb，此時，|a|＝2，|a－λb|＝，所以|λb|＝1.又因為|b|＝1，所以λ＝±1.

圖2

在減法模型的基礎上加上變量λ，使向量aλb 的起點在向量b 所在直線上滑動，形成一個動態模型，由于垂線段的長度最短，所以能輕易破解題目的難點，減少了構造函數求最值的過程.

2 構造圓的模型

圓的定義就是到定點距離等于定長的所有點的集合，若一個向量a 的模|a|為定值，并且固定其起點，那么終點的軌跡就是一個圓.

圖3

在減法模型的基礎上，這里向量差的模是一個定值，如圖3，向量m 的終點軌跡構成了一個圓，利用圓上的動點到圓外一點的距離最大值結論來解決問題.

3 構造平行四邊形對角線模型

向量的加減運算包含很多平面圖形的性質，把向量a，b 的和與差求平方和，會得到這兩個向量模的平方和的2倍，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2，利用這一性質可以把問題幾何化，使問題更加直觀.

由于|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，所以|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝10.

圖4

令x＝|a＋b|，y＝|a－b|，所以x2＋y2＝10(x，y≥1)，其圖象為一段圓弧MN，如圖5所示，令z＝x ＋y，則y＝－x＋z，所以當直線y＝－x＋z 過M，N兩點時，z 取最小值是4.當直線y＝－x＋z 與圓弧MN 相 切時，z 最大.

圖5

平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和，這個幾何模型的運用將原來的問題轉化成了線性規劃問題來解決，更為簡便.

4 構建向量數量積的幾何模型

兩個向量a，b 的數量積a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，其中|b|cos〈a，b〉就是向量b 在向量a 方向上的投影，利用這個模型可以將一些復雜的問題簡單化.

圖6

所以

利用向量數量積的幾何模型，特別是在直角三角形中，如圖7，直角△ABC中有成立，通過這樣的模型轉化，把復雜的數量積運算過程變得很簡單.

圖7

如圖9所示，延長AO交圓O 于點D，連接BD，CD，所 以 ∠ABD ＝∠ACD＝90°.

圖8

圖9

所以

本題如果從代數角度考慮將難以入手，這里考慮幾何模型，延長半徑構造出以圓的直徑為斜邊的兩個直角三角形，從而構造出數量積的幾何模型.

綜上所述，向量的綜合題往往難度比較大，學生往往習慣用代數方法和幾何方法進行求解.代數法，由于計算復雜，很多學生都陷入無休止的計算中.掌握幾種常見的向量幾何模型，既能有效幫助學生掌握幾種基本的方法，擺脫煩瑣的計算，又能使他們在這幾種模型的處理方法上舉一反三、觸類旁通，在解決問題時有另一種思路或者選擇.