關于新高考改革選課的一些探索

◇ 北京 高澤宇 段逸飛 沙友楊

2014 年9 月4 日，國務院發布《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》.意見提出新高考改革的主要任務和措施，要求改進招生計劃分配方式，改革考試形式和內容以及招生錄取機制等，上海市、浙江省作為改革試點從秋季開始執行新方案.第二批試行新高考改革的有北京、天津、海南、山東等四省(市).按計劃，第三批將有18個省要在2018年啟動新高考，但據《南方周末》2018 年11 月22 日報道，只有江蘇、福建、遼寧、廣東、湖南、湖北、河北、重慶這8個省宣布按期啟動.該報道問，試點省份為什么由18個銳減至8個? 在調查了解后發現，一些省份對新高考改革態度審慎、整體延遲主要原因是在對先行試驗的地方進行調研后，擔心“自身資源跟不上改革節奏”.上海新高考實行“3(語數外)＋6(物化生政史地)選3”的科目組合，浙江則在“6”的基礎上另加一門“技術”，為“7選3”.一線教師大都認可新高考改革的方向性：擴大了學生的學科選擇權、考試選擇權、課程選擇權.然而，當改革實際落地時，問題就來了.若真正允許學生自主選擇，學校就必須根據學生的選科結果提供足夠的課程供學生“走班”.簡單計算可知，“6 選3”有20種組合，“7選3”則有35種組合，而一種組合的3 門課不能安排在同一時間.因此，不僅排課復雜，更是極大地增加了師資和教室/實驗室等教學資源的需求，對經濟和教育水平相對滯后的地區來說，可能是難以承受的.另一方面，選擇不同組合的學生數量很可能差異很大，而且學生的選擇也會逐年變化.因此，即使編制和財力允許，由于學生選擇的多樣性和時變性，資源的利用將有可能是低效的，因而辦學會不經濟.特別地，如果出現教師因學生選科而造成的“賦閑”，對學校也將是一件“麻煩事”.考慮到以上這些情況，已經試行“新高考”的地方，不少學校采取了“退而求其次”的做法——“菜單式”選擇，即在所有的選科組合中限定幾種供學生選.學生面對新高考的方式會如何做出選擇? 學校又將采取怎樣的排課方式以滿足更多學生的需要? 本文將以廣東省深圳中學為例，擬用粒子流模型模擬該校學生選課的過程，并用聚類分析得分的方式為學校排課提出建議.

1 模型假設與符號說明

1.1 模型假設

1)假設所有排課都不是走班形式的.

2)假設每個年級的選課及排課結果基本是一致的，因此以一個學校一個年級的學生代表全校學生，并且由于地域不同，我們只考慮6 選3 模式的選課，并且不考慮部分地區高二地理結課這一情況.

3)課表安排時，語文、數學、英語安排在同一時間，物理、化學、生物、政治、歷史、地理安排在同一時間.

1.2 符號說明

表1

2 模擬學校內學生自主選課結果

2.1 模型建立

根據學校往年文、理科人數，首先將學生化為兩類，分別記為偏理學生、偏文學生.使用粒子流模型，將每個學生當成一個粒子，以r1，r2的概率分別被劃分為偏理學生和偏文學生(r1＋r2＝1).

1)第一門課的選擇

若第一步學生選擇了理科類課程(L)，他將以p1，p2，p3的概率選擇物理(L1)、化 學(L2)或 生 物(L3).(p1＋p2＋p3＝1).

若第一步學生選擇了文科類課程(W)，他將以q1，q2，q3的概率選擇政治(W1)、歷 史(W2)或 地 理(W3).(q1＋q2＋q3＝1).

p1，p2，p3，q1，q2，q3根據該校教師人數給出.

p1，p2，p3，q1，q2，q3的計算方法舉例如下：

其中z1，z2，z3分別表示該校物理、化學、生物教師的數量.

圖1 第一門課選擇示意圖

2)第二門課的選擇

第一步學生若選擇了理科類課程(L)，并選擇了Li(i＝1，2，3)，那么他下一步選擇Lj的概率為pLj(i≠j)，選擇Wi的概率為pWi，概率的定義如下：

j1，j2為第一步未選擇的L 類課程的標號.

圖2 第二門課選擇示意圖1

第一步學生若選擇了文科類課程(W)，并選擇了Wi(i＝1，2，3)，他下一步選擇Wj的概率為pWj(i≠j)，選擇Li的概率為pLi，概率的定義如下：j1，j2為第一步未選擇的W 類課程的標號.

圖3 第二門課選擇示意圖2

3)第三門課的選擇

如果前兩門課程屬于同一類課程(同為L 或W)，我們不妨以選擇了Li，Lj(i≠j)為例，那么他選擇Lk的概率為pLk(i≠j≠k)，他選擇W1，W2，W3的概率分別是pW1，pW2，pW3，且滿足如下條件：

圖4 第三門課選擇示意圖1

如果前兩門課程不屬于同一半區，不妨設第一個選擇了Li1，第二個選擇了Wj1，設他第三門課選擇Li2，Li3，Wj2，Wj3的 概 率 分 別 為pLi2，pLi3，pWj2，pWj3，且滿足如下條件：

i2，i3為第一步未選擇的L 類課程的標號，j2，j3為第一步未選擇的W 類課程的標號.

圖5 第三門課選擇示意圖2

2.2 模型求解

我們選擇了三所不同等級的學校進行抽樣，為確保實驗數據的準確性.在第一層級學校中，以深圳中學為例，該學校所有年級共有各科教師106 名、學生2712名，某屆理科和文科人數分別為586 人與137人.因此假設理科生對文科的喜愛系數為0.4，文科生對理科的喜愛系數為0.4.

在第二層級學校中，以珠海實驗中學為例，該學校所有年級共有各科教師107名、學生2712名，某屆理科和文科人數分別為548人、188人.因此假設理科生對文科的喜愛系數為0.4，文科生對理科的喜愛系數為0.4.

在第三層級學校中，以布吉高級中學為例，該學校所有年級共有各科教師107名、學生3000名，某屆理科和文科人數分別為439人、501人.因此假設理科生對文科的喜愛系數為0.4，文科生對理科的喜愛系數為0.4.

考慮到各年級的選科人數結果可能有極大的相似性，只對每個中學選取一個年級進行選科人數的估計，其中選取深圳中學一個年級為900人，珠海實驗中學一個年級為900 人，布吉高級中學一個年級為900人.

最終的每一種組合選取人數如表2(只算了一個年級的選課情況).

表2

3 選課方式推薦

因為組合方式過多，學校為每種組合分別提供授課方式是不現實的，因此，在保證不損害學生利益的情況下，如何縮減開課組合數目，使得學校和學生達到共贏呢? 我們采取聚類分析的方式，將35 種全部組合方式分為幾類，作為菜單式選課方式供同學們選擇.

3.1 課程編號及符號解釋

1)課程編號(如表3)

表3

為增加文科和理科的差異性，增大文科科目的編號數字.

2)符號解釋(如表4)

表4

3.2 模型建立

首先能夠將20種組合集分成k個“簇”C＝{C1，C2，…，Cn}，而不論這種分類是否合理，或者是否有意義.在本問中，考慮已推行高考改革地區的中學一般推行菜單中有四門課程組合選擇，因此確定k＝4.

算法需要最小化平方誤差，即

我們按順序記物理、化學、生物、政治、歷史、地理標號為1，2，3，11，12，13(如：理化生我們記為123)，定義組合a＝(a1；a2；a3)和組合b＝(b1；b2；b3)，其中a＝(a1；a2；a3)和b＝(b1；b2；b3)都是有序數列，兩者的距離符號假設為Dab，則

當組合a和組合b的相關程度越高時，相關系數越低，當兩個組合完全相同時，相關系數為1.根據相關系數，可以采用聚類分析的方式，將每個學生定義為一個點，將它們的選擇之間的相關系數作為兩個點間的距離，最終我們可以將它們劃分為4類.

3.3 模型求解

1)算法流程

a)從20個組合中隨機選取4個樣本點作為初始的均值向量{μ1，μ2，μ3}；

b)循環以下幾步直到達到停止條件：

(ⅰ)初始化Ci＝?(1≤i≤k)；

(ⅱ)對所有樣本點計算它們到k個均值向量之間的距離，取其中距離最短的距離對應的均值向量的標記作為該點的簇標記，然后將該點加入相應的簇Ci；

(ⅲ)對每一個簇計算它們新的均值向量

如果相比之前的向量有變化，就更新，將其作為新的均值向量，如果沒有變化就不更新.

Matlab偽代碼：

fori＝1∶4

Ci＝[]初始化

使用聚類函數dendrogram(Z)；% 可視化聚類結果.

T＝cluster(Z，’maxclust’，4)；% 把對象劃分成4類.

計算每一點到均值向量的距離之和，取距離之和最小的那一個點為聚類中心，得到最后的分類.

圖6 聚類分析結果

聚類結果如下.

第一類有2，3，4，5，6，7，8，9；

第二類 有10，11，12，13，14，15，16，17，18，19；

第三類有1；

第四類有20.

第一類中心為1，2，12(物理、化學、歷史)；

第二類中心為3，12，13(生物、歷史、地理)；

第三類中心為1，2，3(物理、化學、生物)；

第四類中心為11，12，13(政治、歷史、地理).

因此我們建議學校的菜單式課程如表5.

表5

2)結果解釋

我們已經做過程序，改變各個科目的編號以確定該結果并不是隨機游走產生的結果，可見該結論具有一定的正確性.受傳統慣例的影響，人們更傾向于選擇以往存在的，物理、化學、生物與政治、歷史、地理兩種組合單獨分成兩類，這個預測結果比較符合這個認知，而由于政策與高校招生影響，對政治科目的需求不高，導致菜單中幾乎沒有政治課出現，且物理、化學、歷史這個組合經過我們查詢資料是各種分析都推薦的選課組合，故而模型結果比較合理.

3)選課建議

表5中第二、第四行選科結果的學生建議按相應的第一行與第三行選科.

選擇1，2，3，4為4個聚類中心，也就是我們說的菜單式課表中4個可選擇的組合方式供同學們選擇，對于本想選其他組合方式的學生，我們也給出了推薦建議，在每個選擇欄下方給出了與其相似的其他科目，供同學們參考.