工作索耦合作用下多檔多載荷貨運索道的分析與計算方法

張衛東，秦 劍，陳 迪，李其瑩，喬 良，孫國磊

（1.國網山東省電力公司，山東濟南250001；2.中國電力科學研究院有限公司，北京100055；3.中國合格評定國家認可中心，北京100062）

架空貨運索道具有對山區地形適應性好、載荷運輸能力強、對環境破壞小等優點，是山地施工中常用的運輸工具［1-2］，被廣泛應用于林業、礦山、電力、建筑等多個行業。

貨運索道的主要承力部件有工作索、支架（含橫梁和支腿等）、載貨小車、轉向滑車和地錨。工作索包括承載索和牽引索，其中：承載索承擔索道的運輸荷重；牽引索與支架、轉向滑車形成閉合的運行系統，牽引載貨小車沿承載索移動［3］。

在設計貨運索道時，需重點關注承載索和牽引索的運行張力及索形的變化。目前懸索結構的分析與計算方法主要包括有限元法［4-7］、解析計算法［8-12］等，多用于懸索橋、輸電線等結構的分析與計算。另外，很多學者針對懸索附有固定質量時的動力學問題展開了研究，提出了彈性懸索的自由振動計算方法［13-14］，以及具有移動集中載荷的柔性索的動力學計算方法［15-16］等。

但是，目前對貨運索道的研究仍限于對承載索及載荷系統的分析，未考慮牽引索與載荷之間的作用關系，導致在載荷移動過程中承載索張力的計算結果與實際有較大差別。同樣，由于未考慮牽引索與承載索之間的作用關系，目前仍未有合理的計算方法來分析牽引索的張力，導致牽引索的安全系數取值缺乏理論依據。

為解決上述問題，筆者基于彈性懸索的懸鏈線方程提出了一種適用于承載任意載荷的多檔貨運索道在工作索耦合作用下分段懸鏈線的分析與計算方法，旨在為多檔貨運索道的載荷分析提供理論依據。

1 多檔貨運索道的基本結構及參數

1.1 貨運索道的基本結構

貨運索道的基本結構如圖1所示，其中：支架包括橫梁、支腿、安裝于橫梁下方的承載索鞍座及牽引索滾輪；牽引索拖動載貨小車（含運行小車和載荷）經過支架鞍座。

圖1 貨運索道基本結構Fig.1 Basic structure of freight ropeway

根據承載索特點，貨運索道可分為固定式索道與可滑移式索道。固定式索道的承載索與支架鞍座間固定，不產生相對滑動，且支架間承載索的長度不變；可滑移式索道的承載索與支架鞍座間不固定，可產生相對滑動。

1.2 多檔貨運索道的架設參數

對于具有n個檔的索道，索道各檔的檔距及高差（檔兩端支架鞍座的高度差）分別為Ld、hd（d=1，2，…，n）。圖2所示為3檔貨運索道。

圖2 3檔貨運索道示意圖Fig.2 Diagram of freight ropeway with three spans

1.3 載貨小車與牽引索的參數

如圖3所示，設在多檔貨運索道上共有m輛載貨小車Pj（j=1，2，…，m），載貨小車的重力為Gj。載貨小車固定在牽引索上，其間共有m-1段牽引索，其長度分別為sPj（j=1，2，…，m-1）；首個支架與第1輛載貨小車間的牽引索的長度為sP0，最后1輛載貨小車與最后1個支架間的牽引索的長度為sPm。在運輸過程中，載貨小車間的牽引索段在牽引力、載貨小車重力的作用下產生彈性延伸。

圖3 載貨小車與牽引索的參數示意圖Fig.3 Diagram of parameters of freight car and traction cable

1.4 工作索索段編號

計算時以僅受自重作用的懸鏈線為基本單元，因此以載貨小車及支架為節點，將工作索分為n+m個索段。為方便分析，從運行起點起依次對工作索各索段進行1至n+m的編號，每個索段的起點記為A，終點記為B，可知：共有n個索段以支架節點為B點，令其序號為k1，k2，…，kn；共有m個索段以重物為B點，令其序號為g1，g2，…，gm。

2 工作索的張力分析

工作索索段可視為僅受重力作用的彈性懸鏈線，各索段i（i=1，2，…，n+m）的檔距、高差可分別表示為［8］：

式中：q為每米索段的重力；E為工作索的彈性模量；A0為工作索的截面面積；si為各索段的初始長度（無載荷情況下）；Hi為各索段的水平張力；VAi為各索段起點的垂直張力；VBi為各索段終點的垂直張力。

各索段起點和終點的垂直張力的關系為：

各索段起點和終點的切向張力可表示為：

由上述公式可以看出，工作索各索段的檔距、高差和切向張力等主要參數均與索段的初始長度si、水平張力Hi、A點垂直張力VAi有關。因此，可以si、Hi、VAi為基本變量，開展多檔貨運索道承載索與牽引索耦合作用下分段懸鏈線分析與計算方法的研究。

基于貨運索道的結構參數及其工作索張力的分析，從結構守恒及力平衡兩個方面分析多檔貨運索道的承載索、牽引索與載貨小車之間的耦合作用。

3 工作索結構守恒分析

在多檔貨運索道的運行過程中，與工作索總體結構相關的一些參數不會發生變化，以此可建立相應的守恒方程。

3.1 承載索與牽引索的檔距和高差相等

如圖3所示，可以認為承載索與牽引索各索段的檔距和高差相等，即：

式中：Llj、Ltj分別為承載索與牽引索各索段的檔距；hlj、htj分別為承載索與牽引索各索段的高差；下標l、t分別表示承載索和牽引索，下同。

3.2 各檔內工作索的總檔距及總高差守恒

在多檔貨運索道運行過程中，索道各檔內的工作索索段的檔距總和始終等于該檔的檔距，各索段的高差總和始終等于該檔的地形高差，即：

3.3 載貨小車間牽引索長度守恒

載貨小車被牽引索連接牽引，多檔貨運索道運行時載貨小車間可能包含1個或多個牽引索索段。如圖4所示，載貨小車Pj+1和Pj+2之間包含牽引索索段i+1和i+2。

分別建立載貨小車間牽引索索段的長度守恒方程及最后1個載貨小車與末端支架間牽引索索段的長度守恒方程：

圖4 載貨小車間牽引索分段示意圖Fig.4 Diagram of segmented traction cable between freight cars

3.4 承載索長度守恒

1）固定式索道承載索檔內長度守恒。

固定式索道各檔內承載索的總長度不隨索形、載重等因素變化，可表示為：

式中：sld為第d檔承載索總長度，可通過測量得到。

2）可滑移式索道承載索總長度守恒。

可滑移式索道各檔內承載索的總長度隨承載索滑移量變化而變化，但其首末端點間的總長度不變，則有：

式中：sl0為承載索總長度，可通過測量得到。

4 工作索張力平衡分析

4.1 載貨小車兩側工作索的張力平衡

設載貨小車左側工作索索段的序號為j，右側序號為j+1。載貨小車通過滾輪與承載索發生接觸，如圖5（a）所示。忽略滾動摩擦時，小車前第j個承載索索段終點Bj的切向張力與小車后第j+1個承載索索段起點Aj+1的切向張力相等，即：

載貨小車同時受到承載索的提升力、牽引索的牽引力與重物的重力，并達到平衡，如圖5（b）所示。分別建立載貨小車水平方向及垂直方向的力平衡方程：

4.2 支架兩側牽引索的張力平衡

由圖6可知，忽略滾動摩擦力時，支架前第d個牽引索索段終點Bd的切向張力與支架后第d+1個牽引索索段起點Ad+1的切向張力相等，即：

圖5 載貨小車及其兩側工作索受力分析Fig.5 Force analysis of freight car and working cables on both sides of car

圖6 支架兩側牽引索受力分析Fig.6 Force analysis of traction cable on both sides of bracket

4.3 可滑移式索道支架兩側承載索的張力平衡

對于可滑移式索道，其第d個支架的承載索與鞍座摩擦時承載索的張力分析如圖7所示。鞍座對承載索的摩擦力由承載索對鞍座的壓力與摩擦系數確定，可表示為：

式中：μ為承載索與鞍座之間的摩擦系數；Nd為承載索對鞍座的壓力。

圖7 與鞍座摩擦時承載索受力分析Fig.7 Force analysis of bearing cable rubbing against saddle

由于接觸段弧度較小，根據文獻［17］，Nd為平均切向張力與包角的乘積，即：

因此，可建立可滑移式索道支架鞍座前后承載索的切向張力平衡方程：

5 表征工作索耦合作用的方程組及其求解

根據上述多檔貨運索道工作索結構守恒及力平衡關系的分析，可以建立完整的表征工作索耦合作用的方程組。

5.1 表征工作索耦合作用的非線性方程組

以承載索各索段的長度sli、水平張力Hli、A點垂直張力VtAi，以及牽引索各索段的長度sti、水平張力Hti，A點垂直張力VtAi為未知變量，構建表征固定式及可滑移式多檔索道工作索耦合作用的非線性方程組，如表1所示。

表1 表征多檔貨運索道工作索耦合作用的方程組Table 1 Equations representing coupling action of working cables of muli-span freight ropeway

由表1可以看出，表征固定式及可滑移式多檔索道工作索耦合作用的非線性方程均有6（n+m）個，與未知數個數相等，因此該方程組閉合，將其表示為：

5.2 非線性方程組求解

方程組（18）的非線性較強，而普通計算方法的收斂性差，迭代速度慢，無法滿足工程應用中快速、準確求解的要求，因此本文采用牛頓迭代法進行求解。

6 工程實例

為驗證本文計算方法的可行性，以特高壓輸電線路建設工程為例，開展固定式與可滑移式多檔貨運索道現場運行試驗，試驗現場如圖8所示。試驗中測量并記錄承載索的切向張力及可滑移式索道承載索的滑移量。

圖8 多檔貨運索道運行試驗現場Fig.8 Operation test site of muli-span freight ropeway

試驗在3檔貨運索道上進行，索道各檔的檔距和高差如圖9所示。承載索直徑為22 mm，彈性模量為110 GPa，單位質量為1.8 kg/m；牽引索直徑為13 mm，彈性模量為100 GPa，單位質量為0.6 kg/m。

為便于表述，索道中每一檔靠近起始支架的承載索的測量點為a點，靠近另一端支架的承載索的測量點為b點。

1）雙載荷工況下固定式索道承載索的張力。

圖9 3檔貨運索道的檔距和高差示意圖Fig.9 Diagram of distance and height difference of freight ropeway with three spans

在第2檔索道內距2#支架40.0 m處懸掛660 kg載荷，在第3檔索道內距3#支架43.3 m處懸掛450 kg載荷。在載荷沿承載索運行210 m的過程中，承載索張力的試驗值與計算值如圖10和圖11所示，圖中載荷水平位置起點分別為2#支架、3#支架所在的水平位置。

圖10 固定式索道第2檔內b點處承載索切向張力的試驗值與計算值對比Fig.10 Comparison of test values and calculated values of tension force of bearing cable at point b of the second span of fixed ropeway

圖11 固定式索道第3檔內a點處承載索切向張力的試驗值與計算值對比Fig.11 Comparison of test values and calculated values of tension force of bearing cable at point a of the third span of fixed ropeway

由圖10和圖11可知，固定式索道各檔內承載索切向張力計算值與試驗值的變化趨勢一致。在固定式索道運行過程中，第2檔內b點處承載索最大張力的試驗值為40.63 kN，計算值為41.11 kN，相對誤差為1.17%；第3檔內a點處承載索最大張力的測量值為39.15 kN，計算值為36.24 kN，相對誤差為7.44%。

2）單載荷工況下可滑移式索道承載索的張力。

在第3檔索道內距3#支架11 m處懸掛450 kg載荷，載荷沿承載索運行114 m，可滑移式索道各檔內承載索的切向張力的試驗值與計算值對比如圖12至圖14所示，圖中載荷水平位置起點為3#支架所在的水平位置。

圖12 可滑移式索道第1檔內a點處承載索切向張力的試驗值與算值對比Fig.12 Comparison of test values and calculated values of tension force of bearing cable at point a of the first span of slippable ropeway

由圖12至圖14可知，在可滑移式索道運行過程中，第1檔內a點處承載索最大張力的試驗值為23.13 kN，計算值為23.26 kN，相對誤差為0.55%；第2檔內b點處承載索最大張力的試驗值為26.30 kN，計算值為25.36 kN，相對誤差為3.59%；第3檔內a點處承載索最大張力的試驗值為28.38 kN，計算值為29.76 kN，相對誤差為4.87%。

3）可滑移式索道承載索的滑移量。

在上述單載荷工況下，可滑移式索道各檔內承載索與支架鞍座間的滑移量如圖15和圖16所示。由圖可知，在2#支架、3#支架處承載索滑移量計算值與試驗值的變化趨勢一致。2#支架處承載索最大滑移量的試驗值為0.094 m，計算值為0.089 m，相對誤差為5.32%；3#支架處承載索最大滑移量試驗值為0.577 m，計算值為0.557 m，相對誤差為3.47%。

圖13 可滑移式索道第2檔內b點處承載索切向張力的試驗值與計算值對比Fig.13 Comparison of test values and calculated values of tension force of bearing cable at point b of the second span of slippable ropeway

圖14 可滑移式索道第3檔內a點處承載索切向張力的試驗值與計算值對比Fig.14 Comparison of test values and calculated values of tension force of bearing cable at point a of the third span of slippable ropeway

圖15 2#支架處承載索滑移量的試驗值與計算值對比Fig.15 Comparison of test values and calculated values of slippage of bearing cable at 2#bracket

圖16 3#支架處承載索滑移量的試驗值與計算值對比Fig.16 Comparison of test values and calculated values of slippage of bearing cable at 3#bracket

7 結 論

本文提出了多檔貨運索道工作索耦合作用下分段懸鏈線的分析與計算方法，從工作索結構守恒、張力平衡兩方面建立了工作索耦合作用的計算方程組。

結果表明提出的計算方法滿足工程應用條件，能夠計算在任意載荷作用下多檔貨運索道承載索、牽引索的張力，支架所受作用力，承載索與支架鞍座間滑移量等索道設計的關鍵參數。通過對比多檔貨運索道承載索張力、滑移量的試驗值與計算值發現，試驗值與計算值吻合良好，承載索最大張力、滑移量的相對誤差均不超過8%，完全滿足索道設計要求，可有效解決固定式與可滑移式兩類多檔貨運索道各部件受力分析與計算及設計選型問題。